阻滞增长模型

阻滞增长模型 76366476阻滞增长模型 表1 美国人口(单位:百万) 年1890 1900 1910 1920 1930 份 t 0 10 20 30 40 人62.979766 76.212168 92.228531 106.021568 123.20266 口 年1940 1950 1960 1970 1980 份 t 50 60 70 80 90 人132.165129 151.325798 179.323175 203.211926 226.545805 口 年1990 2000 2010 份 t 100 110 120 人248.709873 281.421906 308.745538 口 人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5,20年)和长期预测(20,50年)。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。而中远期人口预测的建模较多地是LOGISTIC模型的演绎. 人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因中，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。阻滞增长模型就是考虑了这些因素，对指数增长的基本假设进行修改后得到的。 模型假设: (1)假设人口增长率r(p)是t时人口p(t)的函数，根据实际考虑，r(p)应 该是p的减函数。 (2)假设r(x)是一个关于x的线性函数，即r(P)=r-Px(r>0,s>0) (3)考虑自然资源和环境条件能容纳的最大人口数量P(t)当P(t)= P(t)时，人口mm不再增长，即增长率r(P)=0 模型建立与分析: 根据以上的假设得方程: dP,rP， dt P(0)=P0 把假设r(P)=r-Px(r>0,s>0) 带入上方程式得 PP(t)=r(1-) Pm P(0)=P0 求解上述阻滞增长模型方程组可得 Pm P(t),P,rtm1，(,1)eP0 模型的求解 利用表1中1890-2000的数据对r和P拟合; m Matlab输入语句: t=[0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110]; p=[62.98 76.21 92.23 106.02 123.20 132.17 151.33 179.32 203.21 226.55 248.71 281.42]; 构造t，p两个矩阵 然后输入命令: >> cftool 打开曲线拟合工具箱，选择拟合横纵坐标，输入新的曲线拟合公式: a/(1+(a/62.98-1)*exp(-b*x)) 得到结果如下: General model: f(x) = a/(1+(a/62.98-1)*exp(-b*x)) Coefficients (with 95% confidence bounds): a = 572.7 (436.3, 709.1) b = 0.01853 (0.01704, 0.02001) 拟合曲线 即r=a=0.01853, P=b=572.7 m 人口数目变化方程为: 572.7/(1+(572.7/62.98-1)*exp(-0.01853*x)) 用上面得到的公式预测1890-2000的人口数，结果见表二第3、4列. 表二 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较 实际人阻滞增长模型 年 口 预测人口(百万) 相对误差(%) (百万) 1890 62.98 62.98 0.00% 1900 76.21 74.14 2.71% 1910 92.23 86.94 5.73% 1920 106.02 101.51 4.26% 1930 123.20 117.92 4.29% 1940 132.17 136.21 3.06% 1950 151.33 156.37 3.33% 1960 179.32 178.29 0.57% 1970 203.21 201.80 0.69% 1980 226.55 226.63 0.03% 1990 248.71 252.43 1.49% 2000 281.42 278.80 0.93% 300 250 200美国实际人口 150按阻滞增长模型计算的人 口100 50 0 18501900195020002050 图三 阻滞增长模型拟合图形(以1890年为起点) 从从图表二可以看到，前半段误差相对大一点的，在允许的误差范围之内，而后半段误差很小。另外从图表三拟合程度看出，曲线相当吻合得很好，所以这个模型能够更好的预测人口增长。 在2010，t=120，带入 得p(2010)=305.30，与美国实际人口的相对误差为1.12%.这个模型很好的预测了2010年的美国人口