正弦函数y=sinx的图象和性质

【本讲教育信息】 一. 教学内容： 1.3.1  正弦函数的图象和性质 二. 教学目的 1、掌握用几何法绘制正弦函数的图象的方法；掌握用五点法画正弦函数的简图的方法及意义； 2、掌握正弦函数的性质及应用； 3、掌握正弦型函数的图象（特别是用五点法画函数的图象）、性质及应用。 三. 教学重点、难点 重点： 1、用五点法画函数的简图； 2、函数的性质及应用； 3、函数与的图象的关系。 难点： 1、正弦函数的周期性和单调性的理解； 2、函数与的图象的关系。 四. 知识 1、正弦函数图象的几何作法 采用弧度制， x、y 均为实数，步骤如下： （1）在 x 轴上任取一点 O1 ，以 Ol 为圆心作单位圆； （2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份； （3）过圆上各点作x轴的垂线，可得对应于0、、、、的正弦线； （4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～这段分成 12 等份； （5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合； （6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。 2、五点法作图 描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，的图象上有五点起决定作用，它们是。描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了。 因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。 注意： （1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。 （2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。 （3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中。 （4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。 （5）如果函数表达式不是，则那五点就可能不是 如：用“五点法”作函数的简图，所用的五个关键点列表就是： 而用“五点法”作函数的简图，开始的一段图象所用的五个关键点列表就是： x 0 π 2π y 0 1 0 －1 0 3、正弦曲线     下面是正弦函数的图象的一部分： 4、正弦函数的值域 从正弦线可以看出：正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度； 从正弦曲线也可以看出：正弦曲线分布在 y = 1 和 y＝－1 之间，说明|sinx|≤1，即正弦函数的值域是［－1 , 1 ］。 注意：这里所说的正弦函数的值域是[－l,1]，是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲线。如果定义域不为全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是［－1,1］。如，则值域就是[0，1]， 因而在确定正弦函数的值域时，要特别注意其定义域。 5、周期函数的定义     一般地，对于函数 y＝f ( x ) ，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时， f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数 y = f(x)叫做周期函数，不为零的常数 T 叫做这个函数的周期。 注意：( 1)定义应对定义域中的每一个 x 值来说，只有个别的 x 值或只差个别的 x 值满足f(x＋T)＝f(x)或不满足都不能说 T 是 f(x)的周期。     例如： 但是 就是说，不能对x的定义域内的每一个值都有, 因此不是 sinx的周期 。 （2）从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调的是与自变量 x 本身相加的常数才是周期，如 f (2x + T) = f (2x) , T 不是f(2x)的周期，而应写成 f(2 x + T)＝＝ f( 2x ) ，则是 f ( 2x)的周期。 （3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期。 （4）并不是所有周期函数都存在最小正周期．例知，常数函数 f ( x ) = C ( C 为常数) , x ∈R ，当 x 为定义域内的任何值时，函数值都是 C ，即对于函数 f( x)的定义域内的每一个值 x ，都有 f ( x + T ) ＝ C ，因此 f (x)是周期函数，由于 T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以 f (x)没有最小正周期。 再如函数 设 r 是任意一个有理数，那么当 x 是有理数时， x + r 也是有理数，当 x 为无理数时， x + r 也是无理数，就是说 D ( x )与 D ( x + r )或者等于 1 或者等于 O ，因此在两种情况下，都有 D ( x + r ) ＝ D ( x ) ，所以 D ( x )是周期函数， r 是 D ( x )的周期，由于 r 可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以 D (x)没有最小正周期。 （5）“f ( x + T )＝f ( x ) ”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立， T 是非零常数，周期 T 是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值。 （6）周期函数的周期不只一个，若T是周期，则 kT ( k∈N* )一定也是周期。 （7）在周期函数 y ＝f（x）中，T是周期，若 x 是定义域内的一个值，则 x + kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集。 6、正弦函数的周期性 （1）从正弦线的变化规律可以看出，正弦函数是周期函数，是它的周期，最小正周期是 2π。 （2）正弦函数的周期也可由诱导公式 sin ( x + 2kπ)＝sinx ( k∈Z)得到。 7、正弦函数的奇偶性 正弦函数 y = sinx ( x∈R )是奇函数。 （1）由诱导公式 sin（－x ） ＝－sinx 可知上述结论成立， （2）反映在图象上，正弦曲线关于原点 O 对称； （3）正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心为（ kπ, 0 ）。正弦曲线也是轴对称图形，其所有的对称轴方程为。 注意：正弦曲线的对称轴一定是经过正弦曲线的最高点或最低点，此时正弦值为最大值或最小值。   8、正弦函数的单调性     由正弦曲线可以看出：当x由增大到时，曲线逐渐上升，sinx由－1增大到1；当x由增大到时，曲线逐渐下降，sinx由1减小到－1。     由正弦函数的周期性知道：     正弦函数在每一个闭区间［］（）上都从－1增大到1，是增函数；在每一个闭区间［］（）上，都从1减小到－1，是减函数。也就是说正弦函数的单调区间是：［］及［］（）   9、函数图象的左右平移变换     如在同一坐标系下，作出函数和的简图，并指出它们与图象之间的关系。     解析：函数的周期为，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。     设，那么，     当Z取0、时，x取。所对应的五点是函数，图象上起关键作用的点。     列表：     类似地，对于函数，可列出下表：     描点作图（如下）     利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出，及，的简图（图略）。     由图可以看出，的图象可以看作是把的图象上所有的点向左平行移动个单位而得到的，的图象可以看作是把的图象上所有的点向右平行移动个单位得到的。     注意：一般地，函数的图象，可以看作是把的图象上所有的点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位而得到的。     推广到一般有：     将函数的图象沿x轴方向平移个单位后得到函数的图象。当a>0时向左平移，当a<0时向右平移。   10、函数图象的横向伸缩变换     如作函数及的简图，并指出它们与图象间的关系。     解析：函数的周期，我们来作时函数的简图。     设，那么，当Z取0、时，所对应的五点是函数图象上起关键作用的五点，这里，所以当x取0、、时，所对应的五点是函数的图象上起关键作用的五点。     列表：     函数的周期，我们来作时函数的简图。     列表：     描点作图，如图：     利用这类函数的周期性，我们可以把上面的简图向左、右扩展，得出，及，的简图（图略）。     从上图可以看出，在函数的图象上横坐标为（）的点的纵坐标同上横坐标为的点的纵坐标相同（例如，当时，，）。因此，的图象可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。     类似地，的图象可以看作是把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的。     注意：一般地，函数的图象，可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。     推广到一般有：     函数的图象，可以看作是把函数的图象上的点的横坐标缩短（当）或伸长（当）到原来的倍（纵坐标不变）而得到。   11、函数图象的纵向伸缩变换     如在同一坐标系中作出及的简图，并指出它们的图象与的关系。     解析：函数及的周期，我们先来作时函数的简图。     列表：     描点作图，如图：     利用这类函数的周期性，我们可以把上图的简图向左、向右扩展，得到及的简图（图略）。     从上图可以看出，对于同一个x值，的图象上点的纵坐标等于的图象上点的纵坐标的两倍（横坐标不变），从而的值域为［－2，2］，最大值为2，最小值为－2。     类似地，的图象，可以看作是把的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）而得到的，从而的值域是［］，最大值为，最小值为。     注意：对于函数（A>0且A≠1）的图象，可以看作是把的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当00且A≠1）的图象，可以看作是把函数图象上的点的纵坐标伸长（当A>1）或缩短（当00，，）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数，它叫做振动的频率；叫做相位，叫做初相（即当x＝0时的相位）。 【典型例题】   例1. 作出函数的图象     分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。     解析：化为     即     其图象如图：     点评：画的图象可分为两步完成，第一步先画出和，的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线。   例2. 求下列函数的周期     （1）        （2）     分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函数去处理。     解析：（1）如果令，则是周期函数，且周期为         即     的周期是     （2）     即     的周期是。     点评：由上例我们可以看到函数周期的变换仅与自变量x的系数有关。一般地，函数或（其中A、为常数，A≠0，x∈R）的周期。   例3. 比较下列各组数的大小。     （1）sin194°和cos160°；（2）和；     （3）和     分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。     解析：（1）         ，     从而     即     （2）     又     在［］上是减函数         即     （3）         而在（0，）内递增         点评：     （1）比较同名的三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小。     （2）比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较。   例4. 求下列函数的最大值和最小值     （1）     （2）     （3）     分析：可利用sinx与cosx的值域求解，求解过程中要注意自变量的取值范围。     解析：（1）         当时，     当时，     （2）     当时，；     当时，。     （3），         当时，；     当时，。     点评：求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用sinx与cosx的有界性，以及复合函数的有关性质。   例5. 用两种方法将函数的图象变换为函数的图象。     分析1：     解法1：             分析2：     解法2：             点评：在解法1中，先伸缩，后平移；在解法2中，先平移，后伸缩，表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的（即和），但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的。   例6. 用五点法作出函数的图象，并指出函数的单调区间。     分析：按五点作图法的要求找出五个点来，然后作图。     解析：（1）列表     列表时取值为0、、、、，再求出相应的x值和y值。     （2）描点     （3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示：     利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到，的简图（图略）。     可见在一个周期内，函数在［］上递减，又因函数的周期为，所以函数的递减区间为。同理，增区间为。     点评：五点法作图，要抓住要害，即抓住五个关键点，使函数式中的取0、、、、，然后求出相应的x，y值。   例7. 如图是函数的图象，确定A、、的值。     解析：显然A＝2                 解法1：由图知当时，y＝0     故有，     所求函数解析式为     解法2：由图象可知将的图象向左移     即得，即         点评：求函数的解析式难点在于确定初相，一般可利用图象变换关系和特殊值法。 【模拟试题】   1、已知，且，则的值等于     A.             B.         C.             D.   2、函数的定义域为     A. R                    B. ［－1，1］     C. ［］        D. ［－3，3］   3、在［0，］上，满足的x取值范围是     A.             B.     C.         D.   4、如图所示，函数（且）的图象是   5、若，则函数的值域是     A.                         B.     C.                 D.   6、已知函数在同一周期内，当时，，当时，，那么函数的解析式为（    ）     A.             B.     C.             D.   7、下列命题正确的是     A. 的图象向右平移得的图象     B. 的图象向右平移得的图象     C. 当时，向左平移个单位可得的图象     D. 的图象由的图象向左平移个单位得到   8、函数的图象，可由函数的图象经过下述_________变换而得到     A. 向右平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍     B. 向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍     C. 向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的     D. 向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标缩小到原来的   9、若，且，则m的取值范围是___________   10、函数的最小正周期是_________     振幅是_________，当_________时，__________     当___________时，__________   11、函数的图象的对称轴方程为____________ 12、若函数的最大值为，最小值为，求函数的最值和最小正周期。 13、求函数的振幅、周期、相位和单调区间。 14、如图为某三角函数图象的一段： （1）用正弦函数写出其解析式；（2）求与这个函数关于直线对称的函数解析式。 【试题答案】 1～8：DABCDAAB 9、 10、 11、 12、由题意，得：，解得，所以的最大值是2，最小值是－2，最小正周期T＝2π 13、振幅是1，周期是，相位是，单调增区间是,单调减区间是 14、（1）  （2）