欧拉公式目录:
1.e**x的微分
2.
3. sinx和cosx的微分
4.程序验证
5.带入复数运算
6.欧拉公式
欧拉
1.e**x的微分
底数为e的指数函数微分后仍然是原指数函数。
2.
e**0=1
a_n=f '(n)(0)/n!
=e**0/n!
=1/n!
经论证,泰勒展开式使用于三角函数和指数函数等函数。
a_0=e**0=1 (a0是函数和y轴的截距,当x=0时即可求到)
a_1=1/1!=1
a_2=1/2!=1/2
所以
3. sinx和cosx的微分
sinx 经过四次微分后便开始循环,co...
目录:
1.e**x的微分
2.
3. sinx和cosx的微分
4.程序验证
5.带入复数运算
6.欧拉公式
欧拉
1.e**x的微分
底数为e的指数函数微分后仍然是原指数函数。
2.
e**0=1
a_n=f '(n)(0)/n!
=e**0/n!
=1/n!
经论证,泰勒展开式使用于三角函数和指数函数等函数。
a_0=e**0=1 (a0是函数和y轴的截距,当x=0时即可求到)
a_1=1/1!=1
a_2=1/2!=1/2
所以
3. sinx和cosx的微分
sinx 经过四次微分后便开始循环,cosx仅比sinx晚一步,紧追其后,接下来我们用微分结果将三角函数进行泰勒展开式,因为sin0=0
cos1=1
a_n=f '(n)(0)/n!
a_0=sin(0)=0
a_1=f ' (0)/1=cos(0)/1=1
a_2=f ' '(0)/2=-sin(0)/2=0
a_3=f '''(0)/3!=-cos(0)/3!
a_4=f ''''(0)/4!=sin(0)/4!=0
a_5=f '(0)/5!=cos(0)/5!=1/5!
sinx=x-(1/3!)*x**3+(1/5!)*x**5-(1/7!)*x**7+........
cosx=1-(1/2!)*x**2+(1/4!)*x**4-(1/6!)*x**6+........
4.程序验证
import numpy,pylab,math
x=numpy.arange(-2,2,0.1)
y=x-(1.0/math.factorial(3))*x**3+(1.0/math.factorial(5))*x**5-\
(1.0/math.factorial(7))*x**7+(1.0/math.factorial(9))*x**9
pylab.plot(y)
z=numpy.sin(x)+1
pylab.plot(z)
pylab.margins(0.3)
pylab.title("Taylor's formula for sinx and cosx")
pylab.grid(True)
pylab.show()
sinx函数基本可以重合其泰勒展开式
import numpy,pylab,math
x=numpy.arange(-5,5,0.1)
z=1-(1.0/math.factorial(2))*x**2+(1.0/math.factorial(4))*x**4-(1.0/math.factorial(6))*x**6+\
(1.0/math.factorial(8))*x**8
pylab.plot(z)
c=numpy.cos(x)+1
pylab.plot(c)
pylab.margins(0.3)
pylab.title("Taylor's formula for sinx and cosx")
pylab.grid(True)
pylab.show()
数值大了还是有误差
5.带入复数运算
i 为虚数单位,i**2=-1
i**0=1
i**1=i
i**2=-1
i**3=i*(i**2)=i* (-1)=-i
i**4=(i**2)**2=(-1)**2=1
i**5=(i**4)*i=1*i=i
i的累乘呈周期性变化,具体是1,i , -1, -i
6.欧拉公式
用i*x代替x
e^(i*x)=1+i*x-(1/2!)*x^2 -(1/3!)*i*x^3+(1/4!)*x^4+(1/5!)*i*x^5-(1/6!)*x^6-(1/7!)*i*x^7+........
一般来说,复数
达式z=a+b*i,分实数部分和虚数部分,我们模仿这一表达式,将上述多项式中不含i的项和含i的项分开写,并将i提出来
e^(i*x)=(1-(1/2!)*x^2+(1/4!)*x^4-(1/6!)*x^6+......)
+i*(x-(1/3!)*i*x^3+(1/5!)*i*x^5-(1/7!)*i*x^7+......)
=cosx+i*sinx
得到欧拉公式 e^(i*x)=cosx+i*sinx
当x=math.pi ,得到e^(pi.i)+1=0
著名物理学家费曼说在一点一点进步数学世界里,实际上欧拉公式起着最基本推动作用
通过三角函数,微积分,多项式函数,指数函数,复数,泰勒展开式 共6个领域结合,得到了欧拉公式
无理数e,pi, i 的值居然有内在联系,不可思议
.这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e[2] ,圆周率π,两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”
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