复数辐角主值与反三角函数的关系及应用.doc

复数辐角主值与反三角函数的关系及应用.doc 复数辐角主值与反三角函数的关系及应用 对于一些复杂的反三角函数问题，如果我们采用普通的三角方法，很难求解.但是，如果我们采用复数法，将反三角函数转化为复数的辐角主值再求解，既方便省事又简化了运算. 一、复数辐角主值与其他反三角函数的关系 z1=arctanyx;(-?，+?);(-π2，π2); z2=arcsinyx2+y2;[-1，1];[-π2，π2]. z3=arccosxx2+y2;[-1，1];[0，π]; z4=arccotxy;(-?，+?);[0，π]. 复数辐角主值与其他反三角函数的关系如下表: 象限 关系第一象限 x>0，y>0第二象限 x0第三象限 x<0，y<0第四象限 x>0，y<0 z1与argzargz=z1argz=z1+πargz=z1-πargz=z1 z2与argzargz=z2argz=z2+πargz=z2-πargz=z2 z3与argzargz=z3argz=z3argz=-z3argz=-z3 z4与argzargz=z4argz=z4argz=z4-πargz=z4-π 轴向 关系x轴正半轴 x>0，y=0y轴正半轴 x=0，y>0x轴负半轴 x<0，y=0y轴负半轴 x=0，y<0 z1与argzargz=z1=0z1不存在argz=z1+π=πz1不存在 z2与argzargz=z2=0argz=z2=π2argz=z2+π=πargz=z2=-π2 z3与argzargz=z3=0argz=z3=π2argz=z3=πargz=-z3=-π2 z4与argzz4不存在argz=z4=π2z4不存在argz=-z4=-π2 二、应用 1.巧解反三角问题 例1计算arctanx+arctan1-x1+x(x<-1). 解:?x<-1，1-x1+x=-1+21+x<-1， ?-π2 ?-π ?arctan(-x)+arctanx-1x+1 =arg(1-xi)+arg[(x+1)+(x-1)i] =arg(1-xi)[(x+1)+(x-1)i] =arg[(x2+1)-(x2+1)i] =-π4. ?arctanx+arctan1-x1+x=π4. 2.求角问题 例2若α，β为锐角，tanα=17，sinβ=110， 试证:α+2β=45?. 证明:?α，β为锐角tanα=17，sinβ=110， 0<α<π6，0<β<π6，0<α+2β<π2， 又?α+2β=arg[(7+i)(3+i)2] =arg(50+50i)=arg[502(cosπ4+isinπ4)]， ?α+2β=π4=45?. 3.求解反三角函数的证明题 例3已知a2+b2=c2， arcsin1a+arcsin1b=π2(a?0且b?0)，求证:ab=c. 证明:?arcsin1a+arcsin1b +arg(b2-1+i) =arc(a2-1+i) =arg[(a2-1)(b2-1)-1+(a2-1+b2-1)i] =π2. ?(a2-1)(b2-1)=1，即a2b2=a2+b2. 又a2+b2=c2， ?ab=c. 综上所述，在解决复杂的反三角问题时，如果不能直接求解，可将它转化为复数辐角问题，或可收到意想不到的效果. 参考文献 钟玉泉.复变函数论.北京:高等教育出版社，2013. 李中恢.复数法在三角问题中的应用.南昌:南昌高专学报，2008(4). 张建忠.复数辐角与反三角函数.甘肃:数学教学研究，1999(1). 李中恢.复数法在平面几何中的应用.宁波:宁波教育学院学报，2006 (4).