天体距离测定

第二章  天体距离测定 为了研究银河系的结构，需要知道银河系内各天体的空间位置。天文学中通常是在球坐标系统中来考试这一问的。其中球面坐标（比如、）的测定是天体测量学的内容，相对来说比较容易，而天体距离r的测定则要困难得多。造成这一困难的主要原因是太阳系外天体离开我们十分遥远。如果以示天体的周年视差，而距离r以秒差距表示，则有以下近似关系 (2-1) 以最近的恒星来说，<1"。 正因为这个原因，恒星距离的测定经历了漫长的历史过程。哥白尼创立了日心体系以后对直接测定恒星距离进行了第一次有意义的尝试。根据日心体系，地球围绕太阳运动，因此不同时间所观测到恒星在天空中的位置应该发生变化。哥白尼测量了在太阳和恒星黄经相同以及相差180两个时刻恒星的黄纬1和2，结果发现1＝2。哥白尼考虑到测量精度为3'-5'，正确地得出了恒星离开地球的距离至少比太阳远1000倍的正确结论。之后，经过近400年的时间人们才第一次测得了恒星的三角视差。现在，除了用三角视差方法直接测定恒星的距离外，还创造了分光视差法、变星法以及利用红移等一系列测定天体距离的方法，成功地测出了银河系内数十万颗恒星以及大量河外天体的距离，从而为研究银河系结构和宇宙大尺度结构奠定了基础。 §2-1  三角视差 一、周年视差对天体坐标的影响 日地平均距离（轨道半长径）在恒星处的张角称为恒星的周年视差，在恒星天文学中即简称为视差。 由球面天文学可知，周年视差对恒星黄道坐标的影响为： (2-2) 式中（、）和（'、'）为恒星在日心坐标和地心坐标中的黄经、黄纬，a为日地平均距离，R为地球向径，L是太阳的黄经。公式中的角度量均以角秒为单位。考虑到R/a的范围在（1－1/60，1＋1/60）之间，近似地有R/a1，再令 (2-3) x、y分别为恒星因视差存在而在黄纬周和黄经周上的位移量，不难得出： (2-4) 式（2－4）是一个椭圆方程，半长轴为，半短轴为sin。由此可见，因周年视差的影响恒星在一年内于天球上描绘出一个椭圆，称为视差椭圆，其中心位置即是恒星在日心坐标系中的位置。对于黄极上的恒星，＝90，椭圆变成半径为的一个圆；而对于黄道上的恒星，因为＝1，椭圆退化为一条长2的线段。 恒星周年视差对天体坐标的影响是： (2-5) 或者 (2-6) 通常把 (2-7) 称为视差因子，它们是时间的函数。于是式（2－6）变为 (2-8) 式（2－8）给出的是把恒星地心位置化算为日心位置的改正数公式。 二、测定三角视差的基本原理 早期对于恒星三角视差采用的是绝对测定方法，精度比较差。十九世纪下半叶开始采用照相观测方法确定目标星的相对视差。目前所用方法的基本原理最早是由卡普坦（Kaptein）在1892年提出的。 1．标准参考系的建立 设在不同历元tj（j=1,2,…m）拍摄了m张底片，令（xij, yij）为第i颗参考星在第j张底片上的量度坐标。通常比较恰当的做法是取全部底片每颗参考星相应坐标平均值所对应的坐标系为标准参考系，其相应的虚拟底片称为标准底片，有 (2-9) 2．底片常数公式 根据照相天体测量方法可以写出（只考虑坐标的一次项）： (2-10) 式中A、B、…F称为底片常数。 通过一定的坐标变换（比如说每张底片的测量坐标先化为重心坐标），可以使诸xio-xij，yio-yij为小量。如果参考星的视差及自行忽略不计，则残差xio-xij，yio-yij主要由观测误差引起，于是可以用最小二乘法解出底片常数，每张底片各有一套底片常数，应分别解算。 3．视差星坐标化算到标准参考系 设（Xj, Yj）为视差星在第j张底片上的量度坐标，利用已求得的底片常数可以导出不同历元tj时视差星在标准参考系中的坐标（X'j, Y'j） (2-11) 其中 (2-12) 4．视差解算 如果认为不同历元ti时视差星坐标（X'j, J'j）的变化是由视差星的视差以及自行（x, y）引起的，根据前面的讨论可以写出 (2-13) 其中t=tj-t0，t0为选用历元，（X0，Y0）为相应于t0历元视差星的坐标。式（2-13）共有5个未知数，即X0、Y0、x、y、，称为恒星常数。由于通常情况下P>>P，P为一小量，因此x坐标解算视差有较高的精度。目前的趋势是分别由x、y两个方向解算出，记为x、y，然后取加权平均值作为视差解算的最后结果。 由以上解算步骤我们可以知道： （1）为了用式（2－10）解出底片常数，参考星至少应有3颗，在利用最小二乘法进行解算时，参考星数n>3，通常的做法是取n=6左右（比如Greenwith天文台）。 （2）为了用式（2－13）解出恒星常数，至少要有三个不同历元的底片各一张。但要按最小二乘法解算时应有m>3，通常取m5。 （3）为了使值有较高的测定精度，应选取使|P |为最大的时刻tj来进行观测，而且各tj应相隔半年以保证法方程式解算时未知数有尽可能大的权重。 （4）为了减少各种偶然误差的影响，每一历元应拍摄5张或5张以上底片，底片总数至少应有15～25张。 三、按重迭法解算三角视差 1．基本原理 经典的底片常数法实际上是采用了两步平差的：即首先分别就每张底片通过底片常数解算求得目标星的标准坐标，然后就不同历元底片目标星的坐标来解算该星的恒星常数。如果目标星不止一颗，第二步解算要就不同目标星分别进行。很明显，这样做法有两个缺点。第一，只能求得目标星的恒星常数，而无法求得参考星的恒星常数，事实上有些参考星也可能是大视差或大自行星。第二，不同历元底片上参考星位置之间是存在一些约束条件的，这些条件没有得以利用，从平差的角度来说就使解算精度有所损失。所谓底片重迭法就是这一背景下于本世纪七十年代提出来的。 首先我们把式（2－10）一般化，把目标星和参考星一并加以考虑，则对于第j张底片上的第i颗恒星，可以写出 (2-22) 另一方面，式（2－13）用于第j张底片上任意第i颗星时为 (2-23) 一并考虑第j张底片的底片常数和第i颗恒星的恒星常数对测量坐标（xij, yij）的影响，我们就有 (2-24) 其中已引入新的恒星常数 (2-25) 代替（xi、yi），以方便于解算。同时把残差（xij、yij）明确写出来。 由误差式（2－24）组成的法式的系数矩阵是奇异的，为了求得唯一的解，必需引入一些约束条件。对于我们现在的问题应该引入15个条件，通用用的是 (2-26) 上式中[  ]并不是对全部恒星求和，而仅仅是对全部参考星求和。 现在问题归结为在满足条件（2－26）前提下求出使得（2－24）中[VV]=min的全部未知数。这是数学上的求条件极值问题，在数据处理中称为带有条件的间接观测平差。如果共有n恒星，m张底片，则恒星常数有5n个，底片常数有6m个。另外，对于解条件极值问题，需引入15个拉格朗日常数，所以问题的未知数总数为N＝5n+6m+15个。误差方程式（2－24）的总数为2mn（如果有的底片上缺少一些恒星，则<2mn）。 2．法方程式组成 显然，由式（2－24）直接导出法方程式的一般形式是极其复杂的，也不好记忆。为此，我们引入以下的记号 (2-27) 分别表示第i星的恒星常数和第j底片的底片常数，以 (2-28) 分别表示两个坐标分量上与恒星常数Si和底片常数pj相应的系数。又以 (2-29) 表示第i星在第j片上的观测量和相应的残差。 于是，式（2－24）可以统一写为 (2-30) 式（2－30）中下标、不是作为矩阵相乘对待，而是对应元素相乘的记号（共有n×m个式子组成）。尽管表面上式（2－30）中每一方程都有5n+6m个未知数，但由式（2－24）我们知道，实际上每一对方程中只有5＋6＝11个未知数。但对不同底片上不同恒星来说，这11个未知数可能部分重复（同底片不同星，不同底片同一星），也可能完全不一样（不同底片上不同的星）。这一点在组成法方程式时是必须十分小心的。 法方程式的矩阵形式是 (2-31) 其中未知数阵为： 恒星常数； 拉格朗日常数， 底片常数； 系数阵为： C (6m×6m)。 常数阵为： 。 具体结构是很复杂的，比如以C为例，这是6m×6m阵，又可分为m×m个子阵，其中位于主对角线上的m个子阵为（等权为例）： 其余的子阵均为另阵。 3．法方程的简化 在全部N＝5n+6m+15个未知数中，以5n所占的个数为最大，现在要设法从法方程式（2－31）中消去恒星常数部分，以使系数矩阵的阶数大大减小。 令 (2-32) 为 之逆阵，式（2－31）两边左乘 后得 上式两边以第一行乘 与第二行相加，又以第一行乘 与第三行相加，得 到这一步实际上已把S与M和P分开来了，由上式第一行可得 即 (2-33) 而剩下的为 (2.34) 这样分块解的好处是明显的，因为式（2－31）是（5n+6m+15）×(5n+6m+15）阵，而式（2－34）为（6m+15）×（6m+15）阵，阶数大大降低。由式（2－34）求得M、P后，代入式（2－33）即可求得恒星常数S，解算中最大的工作量是计算5n×5n阶矩阵A的逆阵  。 具体解算时还有许多细节问题，这儿就不一一叙述了。 当底片多而恒星少（如单颗视差星）时，分块法要相反，先解恒星常数和15个拉氏常数，后解底片常数，这时求逆的阵为 (5n+15)2阶。 §2-2  光谱－光度图（赫罗图，HR图） 以恒星的光谱型为横坐标，绝对星等为纵坐标所作出的图称为光谱－光度图。这是由丹麦天文学家赫茨普龙（E.Hertzsprang，1911年）和美国天文学家罗素（H.N.Russe，1913年）在上一世纪初创制的，所以又称为赫罗图或HR图。 图2－1是根据到1954年为止用最可靠的三角视差算出的绝对星等所画出的光谱－光度图。很明显，绝大多数恒星都位于图中从左上角到右下角的对角线区域内，这个区域称为主星序（简称主序，也叫矮星序）。沿着主星序，恒星的表面温度随着光度的下降而降低。光度范围约为20个星等，或者说光度相差108倍左右，而温度范围则从30000K以上到3000K左右。光度大的是O、B型星，一直延续到微弱的M型星。 图2－1  恒星的光谱－光度图 赫罗图反映了不同恒星的光度和表面温度之间所存在的内在关系。正因为如此，赫罗图中恒星的分布就不是均匀的，恒星的物理性质归根结蒂决定于恒星的质量和化学成份，而化学成份的不同可以是原始化学成份的不同，也可以是恒星处在不同的演化阶段，因此赫罗图中恒星的分布状况就可以用来研究恒星的形成和演化。从总体上来说，恒星在赫罗图上的分布表现为若干个序列。除了最密集的主星序外，另一个比较密集的序列接近图的右上角，大致呈水平走向，序列中的恒星是一些巨星，所以称为巨星序。此外，还有不少星分散在图中巨星序的上部，称为超巨星序，它的范围是不太确定的，这一点与主星序和巨星序不同。在主星序下面与主星序大致平行的是亚矮星序，其中恒星的绝对星等比同光谱型的主序星平均约低2m.5。图的底部有一个特殊的分支，称为白矮星序，其中恒星的光谱多属于A型，光度很小，绝对星等＋10m～＋15m。 新书图3.5是11000颗已由依巴谷卫星测得距离的场星所作的HR图，除MS外，亚巨星支（SGB）从主序B－V0.7及M4开始，沿水平方向延伸到B－V1处，从其右端起恒星密集区表现为很陡地向上翘向到达红巨星支（RGB），之后向更亮但温度更低的方向伸展。在B－V1处，RGB比同光谱型的MS星约亮30倍（3.7星等）。 图2-2用曲线表示了按摩根－基南二元分类法所得各类光度型恒星在赫罗图上的大致分布情况，其中的虚线表示对 些星序的认识是不确定的（O－O称为青白星序）。 应当注意的一点是，得出图2－1所示光谱－光度图的恒星大部分是视星等亮于6m的恒星，因此它不能给出属于赫罗图上各不同部分相对星数实际情况的客观估计，说得明确一点的是图2－1有利于真正的亮星。如果取某一距离范围（比如说10pc）内的恒星来给出相应的HR图，那么图的样子就会有相当大的不同，其表现是图上不同区域恒星密度的改变。绝大多数的星是处于主星序下部的G、K、M型星，A、F型星比较少，白矮星并不会象图2－1这样少，而巨星和超巨星是极其稀少的。目前的恒星演化理论已经可以对恒星的赫罗图作出较好的说明。 图2－2  不同光度型恒星在赫罗图上的分布 由于恒星距离测定、视星等以及光谱型的决定都是有误差的，这就给恒星在赫罗图上的位置带来了颇大的不确定性。前面已经指出，恒星在赫罗图上的位置要受到化学成份及演化年龄的影响。在这一方面，星团的赫罗图有着它特有的重要性。同一星团内的恒星可以认为有着相同的化学成份和年龄；而且星团成员星的距离基本相同，这样，星团距离的不确定性只是导致绝对星等零点不确定，使整个图上下移动，而不会影响图中星点的相对位置。这些特点使得星团赫罗图在天体物理研究中有着重要的地位。 新书图3.5中的主序星有着不同的年龄，因此，在同一颜色处绝对星等会有较大的弥散。如果全部这些恒星的主序龄为零，即刚刚从分子云演化成恒星而到达MS，那么它们构成的MS会变得更窄，这样的主序称为ZAMS，新书P106表3.9给出ZAMS上不同（B－V）相应的（UB）和Mv。要是有一个星数众多、离开我们又近的非常年轻的星团，构成ZAMS就很容易，可惜实际情况并非如此。一种做法是利用近距离较年老星团MS的暗端（这部分恒星演化很慢）以及较远年轻星团的亮端来合成ZAMS，其中还要应用恒星演化理论，尽管如此，仍然存在一定的误差。 新书P107表3.10及P108表3.11分别给出不同光谱型MS星和巨星以及超巨星的绝对星等Mv及若干种颜色（色指数）。表列Mv为该类恒星的平均值，包括已经历一定程度演化的恒星。因此对于早于G型的恒星，表列数字必然比ZAMS星来得亮。注意，表3.11的误差比表3.10更大，原因是超巨星很少，距离远就测得不准。 利用以上两表还可以用来构成颜色－颜色图（双色图），如新书P109图3.7所示，双色图在有些问题的研究上是有用的。 §2－3  分光视差 一、原理 如果恒星在赫罗图上的分布只是唯一的一条星序，那么就可以从恒星的光谱型Sp定出它的绝对星等，于是利用式（1－10）就可以确定恒星的距离（或视差）。但是实际上赫罗图上有好几个星序，同一光谱型的巨星和矮星在光度上的差异是很大的。 决定光谱型差别的主要因素是恒星大气内物质的激发度和电离度的不同。激发只与温度有关，而电离则除温度外还与压力有关。电离度随温度升高而升高，又随压力的升高而降低。同光谱型矮星与巨星相比，温度比较高，另一方面是密度高因而压力大。正因为如此，使得巨星一方面因温度低而造成电离度低，另一方面又由于压力小而电离度高。这种补偿作用使得同一光谱型的巨星和矮星几乎有相同的光谱，要是对所有元素的情况都是如此，那么巨星和矮星的光谱就无法加以分辨了。事实上有些元素的激发和电离对小的压力比对高的温度更为灵敏，其结果便得在同一光谱次型中，有些谱线强度是有变化的。 光谱不仅与温度有关，而且又与压力有关，这便是测定恒星绝对星等M的分光方法的基础。 二、方法 1914年，美国威尔逊山天文台阿当斯（W.S.Adams）和柯舒特（A.Kohoschntler）发现，同一光谱型的巨星和矮星的光谱中有一些谱线的强度相差很多。例如，天鹅61的光谱型是K6，金牛为K5，两者光谱型很相近，一颗是矮星，一颗是巨星，由三角视差和视星等定出的绝对星等分别为＋8m.0和＋0m.4，后者的光度是前者的1100倍。两颗星光谱的一般特性和大多数谱线强度是一样的，但个别谱线的强度相差很大。如CaI+4455线在天鹅61的光谱内很强，在金牛光谱内却很弱。SrII4216线的情况正好相反。 如果在光谱中选择一系列类似的“灵敏”谱线，把它们配成对，先用任意标度估算它们的强度差别，然后用已知三角视差（因而知道绝对星等）的恒星来进行定标，定标后则所得到的绝对星等－强度差关系就可用来由谱线强度差求恒星的绝对星等。具体做法是用图解方法进行的，以绝对星等为横坐标，强度差为纵坐标，而绝对星等强度关系在图中就是一条曲线，可用来内插出恒星的绝对星等。由此所得到的恒星视差称为分光视差。 1957年，威尔逊（O.C.Wilson）和巴普（M.K.V.Bappn）提出用晚型星（G、K、M）光谱中的CaII H及K线的反转发射线（强吸收线中心部分的发射线）的宽度和绝对星等的关系定恒星视差的新方法。这些H线和K线各是一条很宽的吸收线（H1和K1），由恒星外部大气中低温气体造成。吸收线中心部分有一比较狭窄的发射线（H2和K2），这是由较高层大气中原子的再发射产生的。这些发射线可以第二次被更高层的冷气体所吸收，从而在发射线上面再迭加一条更窄的中央暗吸收带（H3和K3）。图2－3示意性地说明了这种复杂的谱线结构。威尔逊和巴普发现，H2及K2的谱线宽度W2与恒星的绝对星等之间存在着以下的经验相关性 (2－35) 式中W2是以每秒周数表示的谱线宽度，在Mv-logW2图上（见图2－4）式（2－35）就是一条直线。图2－4就是利用三角视差为已知的恒星进行定标所得到的Mv-logW2关系。 图2－3  CaII H线和K线的复杂结构 图2－4  logW2－Mv图 这个方法只对G、K、M型星可以应用，因为只有在这些晚型星光谱内才有较强的CaII吸收线，由此测光的绝对星等的误差为0m.26。 三、精度讨论 式（1－10）顾及星际消光A(r)后为 (2-36) 用视差表示为 (2-37) 显然，用分光法测定的视差，其精度要受到星际消光改正A(r)的影响。过去发表的分光视差大多未作消光改正，因此对于较远的星是不够精确的。但星际消光本身又是一个很复杂而又不容易解决的问题，这就成为分光视差法的一个重大的缺点。 如果不考虑星际消光的影响，那么由式（2－37）可得 (2-38) 由于分光视差的测定精度取决于恒星绝对星等的测定精度，所以对于分光视差来说，相对精度d/与的大小无关。这一点与三角视差的测定精度情况不同，后者是绝对误差d与的大小无关。因此，对于三角视差测定来说，如果设d为一确定的数值（比如对三角视差总表GCTSP是0".016），则当很小时其值的可靠性是较低的，有时甚至会得出负的视差值，这实际上是不可能的，只能说明小视差的测定精度低。相反，对于分光视差来说，永远不会出现负值，愈小，d也愈大。当很大时，三角法的结果就要比分光法来得好。 。分光法是一种可以对恒星视差进行大量而又较为精确测定的方法到七十年代初，已测定了大约6万颗恒星的分光视差。三角视差法目前可以测定250pc范围内恒星的距离，而分光法则使人们对天体距离测定的范围比这远上了成百上千倍，在对宇宙距离尺度的认识上有着它十分重要的地位。除了星际消光的问题外，分光法还无法用于一些较远的暗星，因为对这些恒星很难拍摄到清晰可用的光谱。另外，还有相当一些恒星（如各种变星及新星等）也还不能用通常的方法找出光谱特征与绝对星等之间的联系。 比较表 三角视差 分光视差 与消光无关 受消光影响 d与无关 d/与无关 用于近星（<250pc） 可用于远星（亮星） 应用范围与恒星物理性质无关 有关（不能用于变星、新星、早型星等） 精度与望远镜焦距长短有关 还与色散度有关     §2-4  平均视差 平均视差有时也称为统计视差，它是通过对一群星的运动资料进行合理的统计之后所得到的这群星的视差平均值。平均视差在恒星天文学中有着广泛的应用。三角视差测定中，化相对视差为绝对视差就要用到参考星的平均视差。分光视差测定中，对归算曲线的定标除利用三角视差外也用到平均视差。造父视差法中周光关系的另点是通过平均视差求得的。此外，为研究恒星的光度函数也要借助于平均视差。由于平均视差是从统计分析而求得的，只要分析用的方法合理，用它来确定星群视差平均值的结果一般比较可靠。也正因为如此，关于恒星平均视差的确定方法一直处于不断地改进和完善之中。