高等数学试题库

高等数学试库 《高等数学》试 一、填空题 21( 函数的定义域为__________。{x|x} ,2或x,,2x,4 2( y=ln(x+1)的定义域为__________。 (x>-1) 23( y=的定义域为___________。({x|x3或x1}) x,4x，3,, 11，x4( 设f(x)=，则f(f(x))=______________。() x，12，x 2,x(0,x,1)f(x),5( 设，则f(1.5)=___________.( 3) ,xx2(1,,2), 2,x，1(0,x,1)f(x),6( ，则f(f(1/2))=__________。(5/2) ,xx2(1,,2), 2x,37( lim=____________.(3/5) 2x,3x，1 1，2，？，n8( =_____________。(1/2) lim2n,3n 33x，19( y=的反函数为____________。(y=x-1) 210( 已知f(x)的定义域为D=[0,1]，则f(x)的定义域为__________。([-1,1]) 2x,1lim11( =____________。(2 ) x,1x,1 12,lim()12( =______________。(-1/2) 2x,1,x,x11 1xlimsin13( =_____________。( 0 ) x,0x arctanxlim14( =____________。( 0 ) x,,x 12xlim(1，2x)15( =_______________。(e) 0x, 1cos2x,lim16( =_________________。(2) x,0xsinx 2,x，a(0,x,1)f(x),17( 设连续，则a=__________。( 1 ) ,xx2(1,,2), tanxsinx,lim18=_____________。(1/2) 2x,0xsinx x2tdtcos,019.=____________。( 1 ) lim,0xx ,32cosxsinxdx20. =____________。 (1/4) ,0 21sinxx21. =________________。 ( 0 ) dx,,1cos，1x 1||tanxx22. dx=______________。 ( 0 ) ,2,1，1x arcsin5xlim23.=______________。 x,03x 1xsinx1，,24. lim=___________。 x,0xarctanx 2xxk,2，25.若lim,4，则k=__________。 x,1x,3 1cos2x,lim26. =__________。 x,0xsinx x1，2xlim()27. =_____________。 x,,x x1,2sintdt(x0),,2,028.设函数，则a=_________。 f(x),x, ,a(x0),, 2x1. 设，则_________。 f'(0),f(x),xe 2. 设f(x)=x(x+1)(x+2)….(x+100)，则f’(0)=_________.。 y3. 设y=y(x)由方程确定，则y’(0)=___________。 y,1,xe 3,x,costdy,4. 设，则=________________。 ,3dx,y,sint, 218( 设y=xlnx，则dy=_____________。 ((2xlnx+x)dx) 105(15)519( 设y=(1+x)(2x+1)，则y=____________。( 2.15～) 32122,2x，,20( 曲线x+2y=1经过点()的切线方程为_________________。(y=) 222 x21( 函数,,,，, 上点(,，,)处的切线方程是__________。( y=2x+1 ) fhfh(2),(,)22( 设f’(0)=1，则=_________________。 ( 3 ) limh,0h x2223( =_______________。(cos1，x ) (sin1，x)'21，x xx24( 设y=xe，则y’’=_________________。((2+x)e) lnxlnxlnx/x) 25( 设y=x，则y’=________________。(2x 2,x(x,1)26( 设在x=1处连续且可导，则a=_____，b=______。(2，-1) f(x),,axbx，(,1), xyeyx27( 求隐函数xe+ye=1的导数y’=___________。(,) yxxe，e x,cost,,t,28( 曲线上对应处的切线斜率为___________。(-1) ,4y,1，sint, 329( 函数y=x的拐点为____________。 ((0,0)) 1213x30( 曲线y=在(1,)处的曲率为__________。( ) 332 31( 半径为3的圆上任一点的曲率为______________。(1/3) 232( 设某产品生产x单位的总成本为C(x)=1100+x/1200，则生产900个单位时的边际 成本为__________。(1.5) 33( 使得拉格朗日定理对函数y=lnx在区间[1,e]上成立的=__________。(e-1) , 234( 使得拉格朗日定理对函数y=x在区间[1,2]上成立的=__________。(3/2) , 335( 函数y=4x-x的凹区间为______________。() (,,,0) 36( y=sinx的n阶马克劳林公式为______________________。 352m,1xxxm,12m,1() x,，，？，(,1)，o(x)3!5!(2m,1)! 7222xxdx37( =______________。(x+C) ,7 122,(oscx)xsin(x)dx38( =_____________。(+C) ,2 11dx,ln|1,2x|39( =_____________。(+C) ,1,2x2 1dx40( =_______________。(+C) 2(x,ln(1，x)),1，x 241( =______________。(+C) arcsinxdxxnicsarx，1,x, 1242( =_____________。(+C) (xnatcrax，natcrax,x)xarctanxdx,2 3343( =_________________。(sinx-sinx/3+C) cosxdx, x，111x2dx44( =______________。(+C) n(l2)anctarx，，2,x，2222 22xx45( =________________。(+C) lnx,xlnxdx,24 xx46( =___________________。(+C) edx2e(x,1), 4=____________。 xdx,1 4247( (x，1)dx=______________。(24) ,1 4x，248( =_______________。(22/3) dx,02x，1 1x49( edx=______________。(2) ,0 50 设xf(x)dx,x，lnx，C，则f(x)=_______________。 , 2(x,2sinx)dx51 =____________. , sinxxf'(x)dx52(已知是的一个原函数，则=__________________。 f(x),x 二、选择题 1.下列函数中f(x)与g(x)相同的是 ( ) D A.f(x)=|x|/x，g(x)=sgn(x) B. f(x)=x/x，g(x)=1 233xC.f(x)=ln(x-4)，g(x)=ln(x-2)+ln(x+2) D. f(x)=x，g(x)=() x,02.时，与x等价的无穷小量是 ( ) C 22A. sin2x B. tanx C. arctanx D. ln(1+x) xx,03. 设f(x)=e-1，则当时，有 ( )A A. f(x)与x是等价无穷小 B. f(x)与x同阶但非等价无穷小 C. f(x)是比x高阶的无穷小 D.f(x)是比x低阶的无穷小 fx，,x,fx(2)()00lim4.设f(x)在x可导且导数为f’(x)，那么= ( ) B 00,x,0,x A. f’(x) B. 2 f’(x) C. -f’(x) D. -2 f’(x) 0000 215.,= ( ) D lim()2x,1x,x,11 11A. 0 B. C. 2 D. - 22326. 设函数f(x)=x-3x+x-1，则函数f(x)的拐点为 ( ) B A. (0,-1) B. (1,-2) C. (-1,-6) D. 不存在 17. 设f(x)=，g(x)=1-x，则f(g(x))= ( ) C x 111A. 1- B. 1+ C. D. x xx1,x 8. 设,(X)在 X,Xo 的左右导数存在且相等是,(X)在 X,Xo 可导的 ( )A A. 充分必要的条件 B. 必要非充分的条件 C. 必要且充分的条件 D.既非必要又非充分的条件 (下列说法正确的是 ( )D 9 A. 若,(X)在X,Xo连续，则,(X )在X,Xo可导 B. 若,(X)在 X,Xo不可导，则,(X)在X,Xo不连续 Xo不可微，则,(X)在X,Xo极限不存在 C. 若,(X)在 X, D. 若,(X )在X,Xo不连续，则,(X)在X,Xo不可导 10.?xsinxdx= ( ) C A. xcosx,sinx，c B. xcosx，sinx，c C. ,xcosx，sinx，c D. ,xcosx,sinx，c 22f(x)dx,x，Cxf(1,x)dx11.若，则= ( )D ,, 112222222(1,x)，C,(1,x)，CA. B. C. D. 2(1,x),2(1,x)，C22 f'(lnx),xdx12. 设，则= ( )C f(x),e,x 11,，C，CA. B. –lnx+C C. D. lnx+C xx 121,xdx13. = ( ) ,,1 ,,,,,,A. B C. D. 4242 2x,1f(x),14. 设函数，则x=1是 ( ) x,1 A. 跳跃间断点 B.可去间断点 C.无穷间断点 D 连续点。 2x,1f(x),15. 设函数，则f(x)有 ( ) x(x,1) A 一个可去间断点，一个跳跃间断点 B 一个可去间断点，一个无穷间断点 C 2个可去间断点 D 2个无穷间断点 1 xe,116.设 ，则x=0是 ( ) f(x),1 xe，1 A 可去间断点 B 跳跃间断点 C 第二类间断点 D 连续点 1，g(x)17. 设函数g(x)可微，，则g(1)= ( ) h(x),e,h'(1),1,g'(1),2A ln3-1 B –ln3-1 C –ln2-1 D ln2-1 18. 在区间[-1,1]上满足罗尔定理条件的有 ( ) 122A B C D f(x),f(x),|x|f(x),1,xf(x),x,2x,12x 19. 函数的导数的零点个数为 ( ) f(x),x(x,1)(x,2)(x,3)f'(x) A 0 B 1 C 2 D 3 20. 设在[0，1]上，则下列大小关系正确的为 ( ) f"(x),0 A B f'(1),f'(0),f(1),f(0)f'(1),f(1),f(0),f'(0)C D f(1),f(0),f'(1),f'(0)f'(1),f(0),f(1),f'(0)21 下列函数中不为sinxcosx的原函数的是 ( ) 111122sinx,cosx，1,cos2x，Csin2x，CA B C D 4224 22 设f(x)为可导函数，则 ( ) A f(x)dx,f(x)(f(x)dx)',f(x) B ,, f'(x)dx,f(x)(f(x)dx)',f(x)，CC D ,, 223.由y=x，x=1，y=0所围图形绕x轴旋转的旋转体体积为 ( ) A ,/2 B ,/3 C ,/4 D ,/5 24由y=x，x=1，y=0所围图形绕x轴旋转的旋转体体积为 ( ) A ,/3 B 2,/3 C 4,/3 D 8,/3 25设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y(x)，y(x)，C为任意常数，则该12方程的通解为 ( ) A C[y(x)-y(x)] B y(x)+C[y(x)-y(x)] 12112 C C[y(x)+y(x)] D y(x)+C[y(x)+y(x)] 12112 三、计算题 21. 设f(x)=xlnx，求f''(x) 解:f’(x)=2xlnx+x f’’(x)=2lnx+2+1=2lnx+3 nsin(x)2. 求 () limm,n,Nm,0x(sinx) nn解:当x?0时，sin(x)~x,sinx~x nx 故原式= limmx,0x 0(n,m), ,1(n,m) = , ,,(n,m), 2xe,13. 求 lim,0xcosx,1 22xx(e,1)'2xe解:原式= lim,lim,0,0xx(cosx,1)',sinx 2xlim(,2e),,2 = x,0 324.求函数f(x)=x-6x+9x-5的极值 解:f’(x)=3(x-1)(x-3) 驻点为x1=1，x2=3 当x<1时，f’(x)>0 当13时，f’(x)>0 故f(1)=-1为极大值，f(3)=-5为极小值 435.求曲线y=3x-4x+1的拐点及凹凸区间 2解:y’’=36x-24x=36x(x-2/3) 由y’’=0得x1=0,x2=2/3 当x<0时，y’’>0,为凹的 当02/3时，y’’>0，为凹的 故拐点为(0，1)及(2/3,11/27) 325’ 求曲线的拐点及凹凸区间。 y,x,5x，3x，5 (1，x,3sin2x)dx6. 求 , 3/2解:原式=x+2/3x+3/2cos2x+C 237. 求 sinxcosxdx, 2222解:原式= sinxcosxdsinx,sinx(1,sinx)dsinx,, 1135 = sinx,sinx，C35 x8. 求 edx, 2解:令t,x，则x=t，dx=2tdt，故 tt原式=2=2e(t-1)+C tedt, x = 2e(x,1)，C 1x9. 求 xedx,0 1xx1解:原式=xe|,edx 0,0 x1 =e-=1 e|0 2210.求由两条抛物线y=x和y=x所围成的图形面积。 解:两条抛物线交点为(0，0)及(1，1)，围成区域的x的变化区间为[0,1], 12(x,x)dxs= ,0 3211312()|=x,x, 0333 211.求抛物线y=2x与直线x-y=4所围成的图形面积。 解:两曲线交点为(2，-2)，(8，4)，取y为积分变量，则 412(y，4,y)dy S= ,,22 11234(y，4y,y)|==18 ,226 1x，1dx12. 求 ,20x，1 111x，1x1dxdx，dx解:= ,,,222000x，1x，1x，1 211111d((x，1))，dx = ,,22002x，1x，1 121 = (ln(x，1)，arctanx)|02 1, = ln2，24 2,x,x,113.设函数在x=1处连续且可导，求a,b的值。 f(x),,axbx，,,1, 解:?f(x)在x=1连续，故a+b=1 2x,x,1,f'(x),又 ,a,x,1, 而f(x)在x=1处可导，故 f’(1-)=f’(1+)，即2=a 故得:a=2,b=-1 14.某农场要用长20m的铁丝靠一面墙围一个长方形养鸡场，问应围成怎样的长方形才能使 这间小屋的面积最大。 解:设长为x,则宽为(20-x)/2 (00， ?f(x)在[0,2]内有零点。 又f′(x)=1,cosx>0(0,b>0)至少有一个不超过a+b的根。 证明:设f(x)=x-(asinx+b) 显然f(x)在[0,a+b]上为连续函数 又f(0)=-b<0 f(a+b)=a+b-(asin(a+b)+b) =a(1-sin(a+b)) 当sin(a+b)=1时，f(a+b)=0,此时x0=a+b为原方程的根 当sin(a+b)1时，f(a+b)>0 , 由零点定理，至少存在一个根x0(0,a+b) , 综上，原方程至少存在一个不超过a+b的根 b,abb,ab,a,0,;ln,3. 证明不等式(其中) baa 1证明:设f(x)=lnx，显然f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导且f’(x)= x 由Lagrang中值定理，存在?(a,b)，使得: , lnb,lnaf(b),f(a) f’()== ,b,ab,a 111又 0时， ,ln(1，x),x1，x 证明:设f(t)=ln(1+t)，显然f(t)在[0,x]上连续，在(0,x)上可导且 1 f’(t)= 1，t 由Lagrange中值定理，存在?(0,x)，使得: , ln(1，x),ln(1，0)ln(1，x)f(x),f(0) f’()=== ,x,0xx 11又?(0,x)，故