n阶行列式

§2.3  n阶行列式 教学目的　熟练掌握n级行列式的定义和定理3.1，掌握三角形行列式及其值. 重  点　n级行列式的定义. 难  点　n级行列式的定义及其应用. 课  型　新授课 教学过程 一、 级行列式的定义 通过排列总结二级、三级行列式的共性，我们可以给出 级行列式的定义 定义：称 （1） 是 级行列式（determimant）,它示n! 的代数和，这些项是取自（1）中一切可能的不同行不同列的 个元素的乘积 ，                　（2） 项 的符号是 也就是说当 为奇排列时，（2）带负号；当 为偶排列时，（2）带正号． n级行列式（1）可以简记为 定义也可以表示成 这里 表示对所有1、2、…．n的 级排列求和． 二、例子 例1　计算上三角形行列式 D=     （3） 解　先考察哪些项不为零，由于一般项是 . 行列式第n行除去 外全为零，因而只要考察j n = n的 那些项，即含有因子 的项.　第n-1行除去 外，其余元素外为零，但是j n = n，从而j n-1 只能取n-1.这样逐步推上去，不难看出：D的展开式中除去 外全为零，这一项的符号是 .故 D＝ .█ 同样可得下三角形行列式 .    （4） 例2 已知 ， 求 的系数． 解：由 级行列式定义， 是一个 的多项式，且最高次幂为 ．显然含 的项有两项： 与 ，即 与 ，故 中 的系数为－1．█ 三、 级行列式的等价定义 引理　在n级行列式中项 中 （5） 的符号是 .    （6） 这里 证明　由数字的乘法有交换律，将（5）中的元素重新排列，使元素的行标成自然顺序： ＝ 由行列式的定义知，（5）的符号是 下面证 . 由 变到 可以经一系列的元素间的对换来实现，因而只要证经一次因子的对换行排列与列排列反序和的奇偶性不变.在两个因子对换时，行排列与列排列也都同时经过一次对换，假定（5）经过这样一次对换后的两个排列的逆序数分别是 ，因为对换改变排列的奇偶性，于是 是奇数.由 是偶数，得s+t与 的奇偶性相同，从而 ， 这就是说作一次元素的对换不改变 的值，因此作一系列的对换后 ＝ .? 由引理立得 定理3.1　设 是n级行列式，则 ，    （6） 其中 表示对所有1、2、 、 的n级排列求和．