二次函数中抛物线形与拱桥问题

二次函数中抛物线形与拱桥问题 1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m． （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式； （2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数表达式； （3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行． 解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2， 且过点（10，－4） ∴     故 （2）设水位上升h m时，水面与抛物线交于点（ ） 则     ∴ （3）当d＝18时， ∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。 2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水 位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶?         解： 以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的 顶点E在y轴上,且B 、D两点的坐标分别为（5，0）、（4，2） 设抛物线为y=ax2+k.                     由B、D两点在抛物线上，有      解这个方程组，得    所以，           顶点的坐标为（0， ）      则OE=             ÷0.1= （h）  所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过 小时会达到拱顶. 3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y= 表示 ．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m． (1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗? (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时， 忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问 :如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能， 要使货车安全通过此桥，速度应超 过每小时多少千米? 解：(1)由对称性，当x=4时，y= ．当x=10时，y= ．故正常水位时，AB距桥面4米，由 ，故小船能通过． (2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶 不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。 4、如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小相同。正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N距水面4.5米。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。(10m) 5、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施? 解：不采取紧急措施。 其理由如下： 设半径OA=     ∵AB=60   PM=18 ∴AM=30    OM= 18 ∴在Rt△AOM中，由勾股定理，得： 解得： =34 即：OA=34OM=16    连接OA ，则：OA =34 ON=(PM―PN)+OM=(18―4)+16=30    ∴在Rt△A ON中，由勾股定理得： 解得：A N=16   则： 32>30   所以不采取紧急措施。   6、有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的解析式； (2)如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥? (3)若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围． 解:(1) (2) ∵CD=9 ∴点E的横坐标为 ，则点E的纵坐标为 ∴点E的坐标为( ，-2)，因此要使货船能通过拱桥，则货船最大高度不能超过8-2=6米 (3)由EF=a，则E点坐标为( ， )，此时ED= ∴S矩形CDEF= 7、（2003?黄石）中华民族的科学文化历史悠久、灿烂辉煌，我们的祖先几千年前就能在生产实践中运用．1300多年前，我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形（如图）．经测量，桥拱下的水面距拱顶6　m时，水面宽34.64　m，已知桥拱跨度是37.4　m，运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高．（运算时取37.4=14 ，34.64=20 ） 解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O AB=37.4=14 m，CD=34.6=20 m，GE=6m 在Rt△OCE中，OE=OG-6，CE=10∵OC2=CE2+OE2，∴OC2=（10 ）2+（OC-6）2 ∴OC=28（m），∴OA=28 在Rt△OAF中，AF=7 ∴ ． ∴拱高GF=28-21=7（m）． 点评：注意：圆中常见的辅助线即作弦的弦心距构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理进行计