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特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面

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特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言 空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面,曲线产生的旋转曲面这三大类。 1.柱面 定义1:一直线平行于一个定方向且与一条定曲线 相交而移动时所产生的曲面叫做柱面(图1),曲线 作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。 显然,柱面的准线不是唯一的,任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线,通常取一条平面曲线作为准线。特别地,若取准线 为一条直线,则柱面为一平面,可见平面是柱...
特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面
引言 空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面,曲线产生的旋转曲面这三大类。 1.柱面 定义1:一直线平行于一个定方向且与一条定曲线 相交而移动时所产生的曲面叫做柱面(图1),曲线 作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。 显然,柱面的准线不是唯一的,任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线,通常取一条平面曲线作为准线。特别地,若取准线 为一条直线,则柱面为一平面,可见平面是柱面的特例。 下面分几种情形讨论柱面的方程。 1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程 选取合适的坐标系,研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于 轴,准线为 面上的一条曲线,其方程为: 又设 为柱面上一动点(图2),则过点 与 轴平行的直线是柱面的一条母线,该母线与准线 的交点记为 ,因点 在准线上,故其坐标应满足准线方程,这明柱面上任一点 的坐标满足方程 反过来,若一点 的坐标满足方程 ,过 作 轴的平行线交 面于点 ,则点 的坐标 满足准线 的方程 ,这表明点 在准线 上,因此直线 是柱面的母线 (因为直线 的方向向量为 ),所以点 在柱面上。 综上所述,我们有如下结论: 母线平行上于 轴,且与 面的交线为 的柱面方程为: (1) 它表示一个无限柱面。若加上限制条件 ,变得它的一平截段面。 同理,母线平行于 轴,且与 面的交线为 的柱面方程为 ;母线平行于 轴,且与 面的交线为 的柱面方程为 。 定理1:凡三元方程不含坐标 中任何一个时必表示一个柱面,它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。 应该注意,如果母线不平行于坐标,柱面方程就要包含所有的坐标。 例1:以 面上的椭圆 ,双曲线 和抛物线 为准线,母线平行于 轴的柱面方程分别为 它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面,由于它们的准线是二次曲线,故又统称为二次柱面,其图形见(图3)。 例2:证明,若柱面的准线为 母线方向为 ,则柱面方程为 (2) 证:设 为准线 上一点,则过此点的柱面母线的参数方程为: ( 为叁数)  ① 当点 遍历准线 上的所有点,那么母线①就推出柱面,消去参数 ,由①式中最后一个式子得 ,代入其余两个式子,有 因点 在准线上,代入 ,即得(2)式 若柱面的准线为    母线方向为        则柱面方程为:             (3) 若柱面的准线为: 母线方向为        则柱面方程为              (4) 1.2 柱面的一般方程 设柱面的准线 是一条空间曲线,其方程为 母线方向为 ,在准线 上任取一点 ,则过点 的母线方程是:      ( 为叁数) 这里 是母线上点的流动坐标。因点 的坐标应满足: 从上面这两组式子中消去参数 ,最后得一个三元方程 (5) 这就是以 为准线,母线的方向数为 的柱面方程。 例3:柱面的准线是球面 与平面 的交线,母线方向是 ,求柱面的方向。 解:设 是准线上任一点,则过这点的母线方程为 由此得              代入准线方程,得    消去参数 ,得      展开,化简后得    这就是所求的柱面方程。 1.3 柱面的参数方程 设柱面的准线的参数方程为:    : 母线方向为 又设 是准线 上的一点,则过 的母线方程为 ( 为参数) 令 在准线 上移动,即让 取所有可能的值,并让 取所有可能的值,则由上式决定的点 的轨迹就是所求的柱面。因此,柱面的参数方程是: (6) 例4:设柱面的准线为:    母线方向为 ,求柱面的方程。 解:由(6)式,柱面得参数方程为:  从上式中消去参数 和 ,得住面的一般方程  1.4 由生成规律给出柱面的方程 有时不给出柱面的准线,只给出生成规律下面举一例。 例5:求以直线 为轴,半径为 的圆柱面方程,其中直线 通过点 ,方向向量为 。 解:设 为所求柱面上的一点(图4),按题意 到 的距离为 ,设 ,按向量的定义有 两端平方即得所求柱面的向量是方程: ① 写成坐标式,即 ② 若利用公式                    ③ 则②式又可写成 或 =         特别地,若取直线 为 轴,令 ,则比时柱面方程为 。 1.5 曲线的射影柱面 定义2:设 是一条空间曲线, 为一平面,经过 上每一点作平面的垂线,由这些垂线构成的柱面叫做从 到 的射影柱面(图5) 显然, 在 上的射影就是从 到 的射影柱面与 的交线。通常我们将平面 取为坐标平面。 给定空间曲线    那么怎样求曲线 到 平面上的射影柱面方程?因为这个柱面的母线平行于 轴,因此它的方程中不应含变量 ,这样只要消去 即从 的某一个方程中解出 来,把它代入另一个方程中,就得到从 向 面的射影柱面方程: 同理,曲线 在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为: 因为射影柱面方程比一般三元方程简单,所以常用两个射影柱面方程来表示空间曲线。具体做法是:从曲线 的方程中轮流消去变量 与 ,就分别得到它在 面, 面和 面上的射影柱面方程,然后于这三个柱面方程中选取两个形式简单的联立起来,那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作图。 例6:求曲线 在 面上的射影。 解:欲求曲线在 面上的射影,需先求出曲线到 面上的射影柱面,这又须从曲线方程消去 ,由 的第一个方程减去第二个方程并化简得 或 将 代入曲线的方程中的任何一个,得曲线 到 面的射影柱面: 故两球面交线在 面的射影曲线方程是  这是一椭圆. 2. 锥面 定义3:通过一定点 且与一条曲线 相交的一切直线所构成的曲面叫做锥面(图6),定点 叫做锥面的顶点,定曲线 叫做锥面的准线,构成锥面的直线叫做锥面的母线。 由定义3,可见,锥面有个显著的特点:顶点与曲面上任意其它点的联线全在曲面上。 显然,锥面的准线不是唯一的,任何一条与所有母线相交的曲线都可以作为锥面的准线。通常取一条平面曲线作为准线。 下面分几种 情形讨论锥面的方程: 2.1 顶点在原点,准线为平面曲线的锥面方程 设锥面的准线 在平面 上,其方程为 又设 为锥面上一动点(图7), 为准线 上一点,且 、 、 三点共线,则 或 即 ,于是 。 由于 应满足 ,可见 应满足方程: 反过来,若一点 的坐标 满足方程(1),则将上式逆推可知,点 在过点 与 的直线上,因而在锥面的母线上,即点 是锥面上的点。 因此,以原点为锥顶,准线为 或 的锥面方程分别为:      例7:采用上式易知,以原点为锥顶,准线为椭圆    双曲线 和抛物线 的锥面方程分别是: 和 即 和 。 这三个二次方程都是关于 、 、 的二次齐次方程,因此统称为二次锥面(图8)。 2.2 锥面的一般方程 设锥面的准线 为一空间曲线:  顶点 的坐标为 。又设 为准线上一点,则过点 的母线方程为: 因为 在准线上,故应有  (7) 从以上一组方程中消去 可得  这就是以 为准线 为顶点的锥面方程。 例8:锥面的顶点在原点,且准线为  求锥面的方程。 解:设 为准线上的任意点,那么过 的母线为 ① 且有                                  ② ③ 由①、③得                      ④ ④代入②得所求的锥面方程为                  这个锥面叫做二次锥面。 定理2:关于 的齐次方程表示以坐标原点为顶点的锥面。 证:设 是关于 的 次齐次方程,点 是方程所表示的曲面 上的任意一点(但不是原点),那么 连结 ,在此直线上任取一点 ,因为 ,故有 把点 的坐标代入曲面 的方程,利用 是 次齐次,有 这表示直线 上任何点都在曲面 上,因而 是由过原点的动直线构成的,这就证明了它是一个以原点为顶点的锥面。 推论:关于 的齐次方程表示以 为顶点的锥面。 证:平移坐标轴,以 为新原点,利用定理(2)即得证明。 例9:求顶点在 ,准线为  的锥面方程。 解:设 是锥面上一动点,则母线 的方程为 ( 为叁数) 其中 为母线 与准线 的交点,从上式可解得交点 的坐标 由此可解得 ,将点 的坐标代入准线方程中,得 或 此即              这就是所求的锥面方程。 2.3 锥面的参数方程 设锥面的准线的参数方程为  顶点为 ,又设 为准线上一点,则母线 的参数方程为 当点 在准线 上移动时,母线 的轨迹就是锥面,因此锥面的参数方程是 (8) 从(8)式可见,锥面有两叶, 是一叶, 是另一叶。 例10:已知锥面的顶点为 ,准线为 求它的方程。 解:由(8)式,所求锥面的参数方程是 (9) 消去参数 和 ,就得所求锥面的一般方程,它是二次锥面 ( ) 2.4 由生成规律给出锥面的方程 定义4:已知一定直线 上的一定点 ,过空间一点 与 作直线使与 所成锐角等于定角 ,则动点 的轨迹叫做(直)圆锥面, 叫做锥面的轴 ,锐角 叫做半锥项角,定点 叫做锥顶。 例11:求以 为轴,半锥角为 的圆锥面方程。 解:设 为所求圆锥面上的一点, 为锥顶(图9)。 与 的夹角为 的条件是: (10) 其中 为直线 的方向向量, 。 方程(10)即为所求圆锥面的向量式方程,写成坐标形式是: ( ) 它是关于 的二次齐次式,因而是二次锥面。两个特例是: 以原点 为锥项,且轴的方向为 的锥面方程为 (11) 若设 、 、 为方向余弦,则(11)式简化为 ( ) 以原点 为锥顶, 轴为轴, 为半锥项角的圆锥面方程是(此时 ): 或 此即            (12) 其图形见图10 例12:求以原点为顶点且过三条坐标轴的圆锥面方程。 解:设将过原点且方向角为 、 、 的直线 取作轴,因为所求圆锥面包含三条坐标轴,所以它的轴必与三条坐标轴交成等角,因而有 ,但 ,故有 , , 。根据不同的符号, 的位置共有四种,且分别在八个封限内,但圆锥的半锥顶角 满足 (因为此时 )。 设 位于第Ⅰ、Ⅶ封限,则有    写出母线方向 与 成角为 的条件: 由此出锥面的方程为:  此时轴的方程是:  设 位于第Ⅱ、Ⅷ封限内,同理得锥面的方程为: 此时轴的方程是:  设 位于第Ⅲ、Ⅴ封限内,则锥面方程为:  且轴的方程是:  设 位于第Ⅳ、Ⅵ封限内,则锥面方程为:    且轴的方程是:  3. 旋转曲面 定义5:一条曲线 绕一条定直线 旋转而产生的曲面叫做旋转曲面(图11),曲线 叫做旋转曲面的母线,直线 叫做旋转轴, 上每一点在旋转过程中生成的圆叫做纬线圆或平行圆。 当 为直线时,若与轴平行,则旋转曲面是(直)圆柱面;若 与轴相交时,旋转曲面是(直)圆锥面;若 与轴垂直,则旋转曲面是平面(图12),因此圆柱面、圆锥面,还有平面都可看作是旋转曲面的例子。 下面分几种 情形讨论旋转面的方程: 3.1 旋转曲面的一般方程 设旋转曲面的母线是一条空间曲线  旋转轴 是过点 ,方向为 的直线 又设 是母线上任意一点, 是过 的纬线圆(它的圆心是 上的一点)上的任意一点(图13),则 且 ,所以有 ① ② ②式表示以 为中心,以 为半径的球面,而①式表示通过点 且垂直于轴 的平面。所以①和②联立表示通过 的纬线圆。又因点 在母线 上,故有      ③ 由三式①、②、③消去 ,即得旋转曲面方程: (13) 例13:求直线 绕直线 旋转所得的旋转曲面方程。 解:设 是旋转曲面上的任意一点,过 作轴 的垂直平面,交母线 于一点 (图14),因为旋转轴通过点,不妨取原点为 ,于是由上述,过点 的纬线圆方程是: 由于点 在母线上,故 或 ⑥ ⑥代入④ 因此          上式代入⑤,得    这就是所求的旋转曲面方程。 在实际运用中,我们常把旋转轴取为坐标轴。特别地,若母线是一条平面曲线,我们又常把母线所在的平面取作一坐标面,旋转轴取作该平面内的某一坐标轴,这时旋转曲面的方程具有较简形式。 3.2 平面曲线绕坐标轴旋转生成的旋转曲面 设 是坐标平面 上的曲线(图15),,它的方程是 旋转轴为 轴: ,如果 为母线 上的一点,那么过 的纬线圆方程为: 且有                  ③ 从上面两组式子消去参数 ,具体做法是:将①代入②,得 将 及 代入⑦即得 (14) 同样,把曲线 绕 轴旋转所得的旋转曲面的方程是: (15) 同理可知,坐标平面 上的曲线    绕 轴或 轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为: 和 面上的曲线      绕 轴或 轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为: 和 因此,我们有如下结论: 定理3:当坐标平面上的曲线 绕此坐标平面内的一个坐标轴旋转时,只要将曲线 在坐标平面里的方程保留和旋转同名的坐标,而以其余两个变量的平方和的平方根去替换方程中的另一坐标,即得旋转曲面的方程。 例14:将 面上的圆 绕 轴旋转,求所得旋转曲面的方程。 解:因为绕 轴旋转,所以方程 中保留 不变,而 用 代替,即得旋转曲面方程为: ,即 ,或 这样的曲面叫做圆环面(图16),它的形状象救生圈。 3.3 旋转二次曲面 例15:圆 绕 轴旋转所得的曲面方程为: ,即 它是以原点为中心, 为半径的球面。 例16:椭圆: 分别绕长轴(即 轴)与短轴(即 轴)旋转二的的旋转曲面方程分别为: (16) (17) 曲面(16)叫做长形旋转椭球面(图17),曲面(17)叫做扁形旋转椭球面(图18)。 在研究地球时,常把地球的表面看成是扁形旋转椭球面;有些锅炉为了减轻蒸汽对炉壁的冲击力,而把它做成旋转椭球面的形状。 例17:将双曲线 ,绕虚轴(即 轴)旋转的曲面方程为: (18)  (图19) 绕实轴(即 轴)旋转的曲面方程为: (19) (图20) 曲面(18)叫做旋转单叶双曲面,曲面(19)叫做旋转双叶双曲面。 旋转单叶双曲面在工程技术中很有用。例如发电厂和水泥厂的冷却塔多半建成旋转单叶双曲面的形式。 例18:将抛物线 ,绕它得对称轴(即 轴)旋转的曲面方程为: (20) 它叫做旋转抛物面。(图21) 旋转抛物面有着广泛的用途,如探照灯,车灯和太阳灶的反光面就是这种曲面。为了保持发射与接收电磁波的良好性能,雷达和射电望远镜的天线多做成旋转抛物面。 参考文献 [1] 朱德祥,朱维宗. 新编解析几何[M]. 西南师范大学出版社, 1989:          342~367        [2] 章学诚. 解析几何[M]. 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