特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言
空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面,曲线产生的旋转曲面这三大类。
1.柱面
定义1:一直线平行于一个定方向且与一条定曲线
相交而移动时所产生的曲面叫做柱面(图1),曲线
作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。
显然,柱面的准线不是唯一的,任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线,通常取一条平面曲线作为准线。特别地,若取准线
为一条直线,则柱面为一平面,可见平面是柱...
引言
空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面,曲线产生的旋转曲面这三大类。
1.柱面
定义1:一直线平行于一个定方向且与一条定曲线
相交而移动时所产生的曲面叫做柱面(图1),曲线
作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。
显然,柱面的准线不是唯一的,任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线,通常取一条平面曲线作为准线。特别地,若取准线
为一条直线,则柱面为一平面,可见平面是柱面的特例。
下面分几种情形讨论柱面的方程。
1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程
选取合适的坐标系,研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于
轴,准线为
面上的一条曲线,其方程为:
又设
为柱面上一动点(图2),则过点
与
轴平行的直线是柱面的一条母线,该母线与准线
的交点记为
,因点
在准线上,故其坐标应满足准线方程,这
明柱面上任一点
的坐标满足方程
反过来,若一点
的坐标满足方程
,过
作
轴的平行线交
面于点
,则点
的坐标
满足准线
的方程
,这表明点
在准线
上,因此直线
是柱面的母线 (因为直线
的方向向量为
),所以点
在柱面上。
综上所述,我们有如下结论:
母线平行上于
轴,且与
面的交线为
的柱面方程为:
(1)
它表示一个无限柱面。若加上限制条件
,变得它的一平截段面。
同理,母线平行于
轴,且与
面的交线为
的柱面方程为
;母线平行于
轴,且与
面的交线为
的柱面方程为
。
定理1:凡三元方程不含坐标
中任何一个时必表示一个柱面,它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。
应该注意,如果母线不平行于坐标,柱面方程就要包含所有的坐标。
例1:以
面上的椭圆
,双曲线
和抛物线
为准线,母线平行于
轴的柱面方程分别为
它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面,由于它们的准线是二次曲线,故又统称为二次柱面,其图形见(图3)。
例2:证明,若柱面的准线为
母线方向为
,则柱面方程为
(2)
证:设
为准线
上一点,则过此点的柱面母线的参数方程为:
(
为叁数) ①
当点
遍历准线
上的所有点,那么母线①就推出柱面,消去参数
,由①式中最后一个式子得
,代入其余两个式子,有
因点
在准线上,代入
,即得(2)式
若柱面的准线为
母线方向为
则柱面方程为:
(3)
若柱面的准线为:
母线方向为
则柱面方程为
(4)
1.2 柱面的一般方程
设柱面的准线
是一条空间曲线,其方程为
母线方向为
,在准线
上任取一点
,则过点
的母线方程是:
(
为叁数)
这里
是母线上点的流动坐标。因点
的坐标应满足:
从上面这两组式子中消去参数
,最后得一个三元方程
(5)
这就是以
为准线,母线的方向数为
的柱面方程。
例3:柱面的准线是球面
与平面
的交线,母线方向是
,求柱面的方向。
解:设
是准线上任一点,则过这点的母线方程为
由此得
代入准线方程,得
消去参数
,得
展开,化简后得
这就是所求的柱面方程。
1.3 柱面的参数方程
设柱面的准线的参数方程为:
:
母线方向为
又设
是准线
上的一点,则过
的母线方程为
(
为参数)
令
在准线
上移动,即让
取所有可能的值,并让
取所有可能的值,则由上式决定的点
的轨迹就是所求的柱面。因此,柱面的参数方程是:
(6)
例4:设柱面的准线为:
母线方向为
,求柱面的方程。
解:由(6)式,柱面得参数方程为:
从上式中消去参数
和
,得住面的一般方程
1.4 由生成规律给出柱面的方程
有时不给出柱面的准线,只给出生成规律下面举一例。
例5:求以直线
为轴,半径为
的圆柱面方程,其中直线
通过点
,方向向量为
。
解:设
为所求柱面上的一点(图4),按题意
到
的距离为
,设
,按向量的定义有
两端平方即得所求柱面的向量是方程:
①
写成坐标式,即
②
若利用公式
③
则②式又可写成
或
=
特别地,若取直线
为
轴,令
,则比时柱面方程为
。
1.5 曲线的射影柱面
定义2:设
是一条空间曲线,
为一平面,经过
上每一点作平面的垂线,由这些垂线构成的柱面叫做从
到
的射影柱面(图5)
显然,
在
上的射影就是从
到
的射影柱面与
的交线。通常我们将平面
取为坐标平面。
给定空间曲线
那么怎样求曲线
到
平面上的射影柱面方程?因为这个柱面的母线平行于
轴,因此它的方程中不应含变量
,这样只要消去
即从
的某一个方程中解出
来,把它代入另一个方程中,就得到从
向
面的射影柱面方程:
同理,曲线
在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为:
因为射影柱面方程比一般三元方程简单,所以常用两个射影柱面方程来表示空间曲线。具体做法是:从曲线
的方程中轮流消去变量
与
,就分别得到它在
面,
面和
面上的射影柱面方程,然后于这三个柱面方程中选取两个形式简单的联立起来,那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作图。
例6:求曲线
在
面上的射影。
解:欲求曲线在
面上的射影,需先求出曲线到
面上的射影柱面,这又须从曲线方程消去
,由
的第一个方程减去第二个方程并化简得
或
将
代入曲线的方程中的任何一个,得曲线
到
面的射影柱面:
故两球面交线在
面的射影曲线方程是
这是一椭圆.
2. 锥面
定义3:通过一定点
且与一条曲线
相交的一切直线所构成的曲面叫做锥面(图6),定点
叫做锥面的顶点,定曲线
叫做锥面的准线,构成锥面的直线叫做锥面的母线。
由定义3,可见,锥面有个显著的特点:顶点与曲面上任意其它点的联线全在曲面上。
显然,锥面的准线不是唯一的,任何一条与所有母线相交的曲线都可以作为锥面的准线。通常取一条平面曲线作为准线。
下面分几种 情形讨论锥面的方程:
2.1 顶点在原点,准线为平面曲线的锥面方程
设锥面的准线
在平面
上,其方程为
又设
为锥面上一动点(图7),
为准线
上一点,且
、
、
三点共线,则
或
即
,于是
。
由于
应满足
,可见
应满足方程:
反过来,若一点
的坐标
满足方程(1),则将上式逆推可知,点
在过点
与
的直线上,因而在锥面的母线上,即点
是锥面上的点。
因此,以原点为锥顶,准线为
或
的锥面方程分别为:
例7:采用上式易知,以原点为锥顶,准线为椭圆
双曲线
和抛物线
的锥面方程分别是:
和
即
和
。
这三个二次方程都是关于
、
、
的二次齐次方程,因此统称为二次锥面(图8)。
2.2 锥面的一般方程
设锥面的准线
为一空间曲线:
顶点
的坐标为
。又设
为准线上一点,则过点
的母线方程为:
因为
在准线上,故应有
(7)
从以上一组方程中消去
可得
这就是以
为准线
为顶点的锥面方程。
例8:锥面的顶点在原点,且准线为
求锥面的方程。
解:设
为准线上的任意点,那么过
的母线为
①
且有
②
③
由①、③得
④
④代入②得所求的锥面方程为
这个锥面叫做二次锥面。
定理2:关于
的齐次方程表示以坐标原点为顶点的锥面。
证:设
是关于
的
次齐次方程,点
是方程所表示的曲面
上的任意一点(但不是原点),那么
连结
,在此直线上任取一点
,因为
,故有
把点
的坐标代入曲面
的方程,利用
是
次齐次
,有
这表示直线
上任何点都在曲面
上,因而
是由过原点的动直线构成的,这就证明了它是一个以原点为顶点的锥面。
推论:关于
的齐次方程表示以
为顶点的锥面。
证:平移坐标轴,以
为新原点,利用定理(2)即得证明。
例9:求顶点在
,准线为
的锥面方程。
解:设
是锥面上一动点,则母线
的方程为
(
为叁数)
其中
为母线
与准线
的交点,从上式可解得交点
的坐标
由此可解得
,将点
的坐标代入准线方程中,得
或
此即
这就是所求的锥面方程。
2.3 锥面的参数方程
设锥面的准线的参数方程为
顶点为
,又设
为准线上一点,则母线
的参数方程为
当点
在准线
上移动时,母线
的轨迹就是锥面,因此锥面的参数方程是
(8)
从(8)式可见,锥面有两叶,
是一叶,
是另一叶。
例10:已知锥面的顶点为
,准线为
求它的方程。
解:由(8)式,所求锥面的参数方程是
(9)
消去参数
和
,就得所求锥面的一般方程,它是二次锥面
(
)
2.4 由生成规律给出锥面的方程
定义4:已知一定直线
上的一定点
,过空间一点
与
作直线使与
所成锐角等于定角
,则动点
的轨迹叫做(直)圆锥面,
叫做锥面的轴 ,锐角
叫做半锥项角,定点
叫做锥顶。
例11:求以
为轴,半锥角为
的圆锥面方程。
解:设
为所求圆锥面上的一点,
为锥顶(图9)。
与
的夹角为
的条件是:
(10)
其中
为直线
的方向向量,
。
方程(10)即为所求圆锥面的向量式方程,写成坐标形式是:
(
)
它是关于
的二次齐次式,因而是二次锥面。两个特例是:
以原点
为锥项,且轴的方向为
的锥面方程为
(11)
若设
、
、
为方向余弦,则(11)式简化为
(
)
以原点
为锥顶,
轴为轴,
为半锥项角的圆锥面方程是(此时
):
或
此即
(12)
其图形见图10
例12:求以原点为顶点且过三条坐标轴的圆锥面方程。
解:设将过原点且方向角为
、
、
的直线
取作轴,因为所求圆锥面包含三条坐标轴,所以它的轴必与三条坐标轴交成等角,因而有
,但
,故有
,
,
。根据不同的符号,
的位置共有四种,且分别在八个封限内,但圆锥的半锥顶角
满足
(因为此时
)。
设
位于第Ⅰ、Ⅶ封限,则有
写出母线方向
与
成角为
的条件:
由此出锥面的方程为:
此时轴的方程是:
设
位于第Ⅱ、Ⅷ封限内,同理得锥面的方程为:
此时轴的方程是:
设
位于第Ⅲ、Ⅴ封限内,则锥面方程为:
且轴的方程是:
设
位于第Ⅳ、Ⅵ封限内,则锥面方程为:
且轴的方程是:
3. 旋转曲面
定义5:一条曲线
绕一条定直线
旋转而产生的曲面叫做旋转曲面(图11),曲线
叫做旋转曲面的母线,直线
叫做旋转轴,
上每一点在旋转过程中生成的圆叫做纬线圆或平行圆。
当
为直线时,若与轴平行,则旋转曲面是(直)圆柱面;若
与轴相交时,旋转曲面是(直)圆锥面;若
与轴垂直,则旋转曲面是平面(图12),因此圆柱面、圆锥面,还有平面都可看作是旋转曲面的例子。
下面分几种 情形讨论旋转面的方程:
3.1 旋转曲面的一般方程
设旋转曲面的母线是一条空间曲线
旋转轴
是过点
,方向为
的直线
又设
是母线上任意一点,
是过
的纬线圆(它的圆心是
上的一点)上的任意一点(图13),则
且
,所以有
①
②
②式表示以
为中心,以
为半径的球面,而①式表示通过点
且垂直于轴
的平面。所以①和②联立表示通过
的纬线圆。又因点
在母线
上,故有
③
由三式①、②、③消去
,即得旋转曲面方程:
(13)
例13:求直线
绕直线
旋转所得的旋转曲面方程。
解:设
是旋转曲面上的任意一点,过
作轴
的垂直平面,交母线
于一点
(图14),因为旋转轴通过点,不妨取原点为
,于是由上述,过点
的纬线圆方程是:
由于点
在母线上,故
或
⑥
⑥代入④
因此
上式代入⑤,得
这就是所求的旋转曲面方程。
在实际运用中,我们常把旋转轴取为坐标轴。特别地,若母线是一条平面曲线,我们又常把母线所在的平面取作一坐标面,旋转轴取作该平面内的某一坐标轴,这时旋转曲面的方程具有较简形式。
3.2 平面曲线绕坐标轴旋转生成的旋转曲面
设
是坐标平面
上的曲线(图15),,它的方程是
旋转轴为
轴:
,如果
为母线
上的一点,那么过
的纬线圆方程为:
且有
③
从上面两组式子消去参数
,具体做法是:将①代入②,得
将
及
代入⑦即得
(14)
同样,把曲线
绕
轴旋转所得的旋转曲面的方程是:
(15)
同理可知,坐标平面
上的曲线
绕
轴或
轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为:
和
面上的曲线
绕
轴或
轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为:
和
因此,我们有如下结论:
定理3:当坐标平面上的曲线
绕此坐标平面内的一个坐标轴旋转时,只要将曲线
在坐标平面里的方程保留和旋转同名的坐标,而以其余两个变量的平方和的平方根去替换方程中的另一坐标,即得旋转曲面的方程。
例14:将
面上的圆
绕
轴旋转,求所得旋转曲面的方程。
解:因为绕
轴旋转,所以方程
中保留
不变,而
用
代替,即得旋转曲面方程为:
,即
,或
这样的曲面叫做圆环面(图16),它的形状象救生圈。
3.3 旋转二次曲面
例15:圆
绕
轴旋转所得的曲面方程为:
,即
它是以原点为中心,
为半径的球面。
例16:椭圆:
分别绕长轴(即
轴)与短轴(即
轴)旋转二的的旋转曲面方程分别为:
(16)
(17)
曲面(16)叫做长形旋转椭球面(图17),曲面(17)叫做扁形旋转椭球面(图18)。
在研究地球时,常把地球的表面看成是扁形旋转椭球面;有些锅炉为了减轻蒸汽对炉壁的冲击力,而把它做成旋转椭球面的形状。
例17:将双曲线
,绕虚轴(即
轴)旋转的曲面方程为:
(18) (图19)
绕实轴(即
轴)旋转的曲面方程为:
(19) (图20)
曲面(18)叫做旋转单叶双曲面,曲面(19)叫做旋转双叶双曲面。
旋转单叶双曲面在工程技术中很有用。例如发电厂和水泥厂的冷却塔多半建成旋转单叶双曲面的形式。
例18:将抛物线
,绕它得对称轴(即
轴)旋转的曲面方程为:
(20)
它叫做旋转抛物面。(图21)
旋转抛物面有着广泛的用途,如探照灯,车灯和太阳灶的反光面就是这种曲面。为了保持发射与接收电磁波的良好性能,雷达和射电望远镜的天线多做成旋转抛物面。
参考文献
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