数学问题的根基本质是方程的解集

数学问题的根基本质是方程的解集 数学问题的根基本质是方程的解集-中学数学论文 数学问题的根基本质是方程的解集 四川省泸县二中(646106)熊福州四川省汶川中学(623100)张龙跃 在教学中,认真读了文\[1\]P111阅读不思考《笛卡尔不解析几何》中的一段:他(笛卡尔)曾写一本《思想的指导法则》,在书中他大但地提出了一个解决一切问题的:把一切问题归结为数学问题,把一切数学问题归结为代数问题,把一切代数问题归结为方程,最后得到关于一个未知数的方程。可能不久他自己发现这个设想过于大胆,根本无法实现,这本书没写完就搁下了，在他去世后人们将它出版，,他的这个方案虽然失败了,但确有很多问题可以用列方程的方法来解决。 在读这段话以前,已在一些期刊上见过相似的叙述,如文\[2\]的述:“一切问题都可数学化,化归为数学问题,一切数学问题都可化归为代数问题,一切代数问题都可化归为方程问题,有了方程理论就可解决一切问题”,于是顺着这个理论,根据自己在数学教学中的探究,得出了文\[3\]的结论,即把笛卡尔的“最后得到关于一个未知数的方程”推广为“最后得到关于一个未知数或多个未知数的方程”,那么,笛卡尔的解题理论至少在中学数学是正确而不失败的。因此,数学教学应返朴归真于基本的方程中。 实际上,在中学数学中,仸何表示实数的字母(未知数)进入方程(组)或不等式(组),其取值(实解)范围就是自然确定了的,只要能解出一个字母(分离变量)就得到一些显函数(显函数就是代数式,即多元方程实解的表达式),求显函数的定义域(列不等式(组)解不等式(组),好想不好做)或值域(直接求代数式值的范围,好做不好想)就可求得字母的取值范围,也就可判定方程有无实解,有多少实解,实解的分布等,反 映在不之等价的图像(方程的图像就是方程解集的另一等价表现形式)上,就是平行于x轴的直线不图像有无交点,有多少交点,交点分布的那部分函数值域问题,因此,数学问题的本质是方程的解集,在坐标系上就是方程的图像。其它的都是方程解集的衍生物,如均值不等式等。 例1(2011年全国高考浙江文16)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是。 :本题是三个未知数两个方程,未知数多于方程个数,但次数不高,易消元化为两个未知数的方程,就可求出解集(取值范围)。 解:由a+b+c=0得c=,(a+b),代入a2+b2+c2=1得a2+b2+(a+b)2=1,即2b2+(2a)b+2a2,1=0,解得b=,a?2,3a22,求定义域得2,3a2?0,解得,63?a?63。 注:判别式法实质是求分离变量得到的函数的定义域。 例2(2011年全国高考浙江理16)设x,y是实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是。 分析:本题的基本思路是从4x2+y2+xy=1中解出一个未知数如y=,x?4,15x22,代入2x+y得2x+y=2x+,x?4,15x22,求这两个函数的值域之幵,很繁难,换元2x+y=t得方程组4x2+y2+xy=1, 2x+y=t,则问题就为三个未知数两个方程,消去一未知数就是两个未知数一个方程,利用换元产生的方程,代入消元就变得简单易行。 解法1:令2x+y=t,则y=t,2x代入4x2+y2+xy=1得4x2+(t,2x)2+x(t,2x)=1, 即6x2,3tx+t2,1=0,解出x=3t?24,15t212,求定义域得24,15t2?0,解得 ,2105?t?2105。 解法2:令2x+y=t,4x2+y2+xy=1为(2x+y)2,3xy=1,即(2x+y)2,32(2xy)=1, 即(2x+y)2,32?(2x+y)2,(2x,y)24=1,即5(2x+y)2+3(2x,y)2=8,即5t2+3(2x,y)2=8,即3(2x,y)2=8,5t2,?3(2x,y)2?0,?8,5t2?0,解得, 2105?t?2105。 注:此解法2就是均值不等式法,柯西不等式法等的源。 例3关于x的方程x2+(m,3)x+m=0的二实根满足下列条件,分别求m的取值范围。 (1)有二正根;(2)有二负根;(3)有一正根一负根;(4)二根都小于1;(5)二根都大于12;(6)一根大于1一根小于1。 分析:一元二次方程实根的分布一般都有四个解法,二次函数图像性质法;根不系数关系法;分离主元法和分离参数法(通称分离变量法,分离变量后就求是函数定义域和值域问题)。二次函数图像性质法最好做,但不好想,要注意数不形的等价,或熟悉常见分布结论;根不系数关系法比较麻烦,既不好想,也不好做,也要注意等价;分离主元法,最好想,但要解无理不等式,不好做,但只要会解无理不等式也好做,分离参数就既好想,也好做,下面用分离参数法解。 解:由x2+(m,3)x+m=0解出m=3x,x2x+1=5,(x+1+4x+1),作出图像(如图1), 由图1得(1)0m?1;(2)m?9;(3)m0;(4)m?9;(5)56m?1;(6)m1。 图1图2例4解关于x的不等式(a,1)x2,4x+a,10。 解:方程(a,1)x2,4x+a,1=0的根为x=2?3+2a,a2a,1(a?1),解出a4xx2+1+1,令f(x)=4xx2+1+1,其图像如图2,由图像知: (1)当a?,1时,解集为 ; (2)当,1a1时,解集为 (2+3+2a,a2a,1,2,3+2a,a2a,1); (3)当a=1时,解集为(,?,0); (4)当1a3时,解集为(,?, 2,3+2a,a2a,1)?(2+3+2a,a2a,1,+?); (5)当a=3时,解集为(,?,1)?(1,+?); (6)当a3时,解集为(,?,+?)。 例5，2013年全国高考湖北理13，设x,y,z?R,且满足x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,则x+y+z=。 解:设x+y+z=t,不x+2y+3z=14,联立解出x=z+2t,14,y=2z+t,14,消去x,y得 (z+2t,14)2+(2z+t,14)2+z2=1,即6z2+(8t,614)z+(2t,14)2+(t,14)2,1=0, z=614,8t?(8t,614)2,24,(2t,14)2+(t,14)2,1,2×6=314,4t?,14(t,3147)26,由,14(t,3147)2?0得(t,3147)2?0,所以t=3147,即x+y+z=3147。 注:换元使问题进入方程(组),消元使问题在一个尽量少元的方程中,在中学一般是一元方程或二元方程,一个元的方程一般是求值，有限解集，,两个元的方程一般是求取值范围，无限解集，,这是最自然的解题思路。它不但能避免技巧,还能发现技巧。如在例5的解中,当t=3147时,x=1414,y=21414,z=31414,所以已知方程组 x2+y2+z2=1, x+2y+3z=14等价于三元(x,y,z)方程(x,1414)2+(y,21414)2+(z,31414)2=0,即命题者就是由此设计出例5的,对一般解题者而言,是不易想到这个绝技的。参考文献 \[1\]人民教育出版社。普通高中课程标准实验教科书数学?必修,2007,2。\[2\]陈振宣。解析几何技巧漫话。中学生数理化(高中版),1996,6。\[3\]熊福州。最基本的数学思想方法—方程思想,换元法。河北理科教学研究，河北，。2000,4。