求抛物线曲率的数学和物理方法

求抛物线曲率的数学和物理方法 求抛物线曲率的数学和物理方法 一条光滑曲线的任何一小段都可以看成是圆的一部分，这个圆就叫做曲线在这点的曲率圆，圆的 半径就叫做曲率半径，求曲线在某点的曲率半径是高等数学的内容，但是对某些特例我们却可以 巧妙地用中学数学方法或中学物理方法来加以解决，这在竞赛物理中是非常重要的，在第十九届 2x,2py全国中学生物理竞赛复赛中就遇到了求抛物线在某点的曲率问题，下面就通过求 2x,2py在原点的曲率半径的例子来介绍这些方法。 ( 数学方法 1 2x,2py如图所示，在O点和抛物线相内切且只有O点这个交点的所有圆中必存在一个半径最大的圆，此圆就是抛物线在O点的曲率圆，其半径就是抛物线 2x,2py在O点的曲率半径，设此曲率圆的圆心为O’ ，半径为r，在抛物线上任取一点P，显然可以设(0,r) 22xx22(,)xP点的坐标为,则必有: OP,x，(,r),r2p2P 2rx2化简得: x(1,，),0p4p 2rx,2py要使上式对所有x都成立，显然有，所以的最大值为,即抛物线在O点的曲r,pp率半径为。 p 2( 物理方法 如图所示，一个质量为m的小球以初速度v作平抛运动，总可以看成是水平方向上的匀速0 直线运动和竖直方向的上的自由落体运动的合成，显然有: 12x,vty,gt，消去t可得抛线方程: 02 222vv200x,y,p……? 令……? gg 2x,2py显然可以得到:。 又因为的瞬间可以认为物体在作圆周运动，设圆周运t,0 rr动的半径为，即在抛出点的曲率半径为，这时重力提供向心力，则: 22mvv00,rF,mg,，有:…………………………? gr 2vx,2py由??消去可得:，也就是说抛物线在O点的曲率半径为 r,pp0 2x,2py顺便提一下，在高等数学中求抛物线并不是一个很复杂的问题，只要代入下面的 曲率半径公式即可: 322(1，y')r,…? y'' x1y',y'',y'y''这里和分别是函数的一阶导数和二阶导数。由于，，代入?式并令x=0pp可得: r,p