高中数学第一册讲义 反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系.

高中数学第一册讲义 反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系. 2.4反函数(三课时) 教学目的:1.掌握反函数的概念和示法，会求一个函数的反函数 2.互为反函数的图象间的关系. 3.反函数性质的应用. 教学重点:反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系. 教学难点:反函数的定义，反函数性质的应用. 教学过程: 第一课时 教学目的:1.掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数 2.互为反函数的图象间的关系. 教学重点:反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系. 教学难点:反函数的定义和求法。 教学过程: 一、复习引入: 由物体作匀速直线运动的位移公式s=vt,(其中速度v是常量)s是时间t的函数;可 s以变形为:t,，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数. v 又如，在函数中，x是自变量，y是x的函数. 由中解出x，y2x6(xR),，,y,2x，6 yy得到式子. 这样，对于y在R中任何一个值，通过式子，x在Rx,,3x3(yR),,,22 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数:y为自变量，x为y的函数，定义 ,,域是yR，值域是xR. sy上述两例中，由函数s=vt得出了函数t,;由函数得出了函数，y,2x，6x,,3v2 不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系:?它们的对应法则 是互逆的;?它们的定义域和值域相反:即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域 是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数. 二、讲解新课: 反函数的定义 设函数的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得y,f(x)(x,A) 到x=(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对,, ,应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC),, ,1,1叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成 y,f(x)(x,A)x,f(y)y,f(x) t,1开始的两个例子:s=vt记为，则它的反函数就可以写为，同样f(t),vt()ft,v 第 1 页 共 3 页 TOSIX BOX tosix x,1记为，则它的反函数为:. y,2x，6(),,3f(x),2x，6fx2 从映射的角度看，若确定函数y=f(x)的映射是定义域A到值域C的一一映射，则它的 -1-1-1-1逆映射f : (x=f (y)) C?A 确定的函数x=f (y)(习惯上记为y=f (x))叫做函数y=f(x) 的的反函数. ,1即，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数是集合C到y,f(x)y,f(x)集合A的映射，由此可知: 21. 只有“一一映射”确定的函数才有反函数.如(x?R)没有反函数, y,x 2而,有反函数是 y,xy,xx,[0,，,)x,[0,，,) 2.互为反函数的定义域和值域互换.即函数的定义域正好是它的反函数y,f(x) ,1,1的值域;函数的值域正好是它的反函数的定义域.且y,f(x)y,f(x)y,f(x) ,1,1(如下表): f[f(x)],x,f[f(x)],x ,1y,f(x)y,f(x)函数 反函数 定义域 A C 值 域 C A ,13. 函数与互为反函数。即 y,f(x)y,f(x) ,1,1若函数有反函数，那么函数的反函数就是. y,f(x)y,f(x)y,f(x)y,f(x) 三、例题: 例1(求下列函数的反函数: 3?; ?; y,3x,1(x,R)y,x，1(x,R) 2x，3?; ?. y,x，1(x,0)y,(x,R,且x,1)x,1 小结:?求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ?反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到。 ?求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射。 3例2(求函数()的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像。 yx,x,R 第 2 页 共 3 页 TOSIX BOX tosix 解:(略) 8它们的图像为: 6 由图象看出，函数 3y=x43()和它的反yx,x,Ry=x 2133函数的图象关于yx(xR),,y=x-10-5510直线y=x对称. -2一般地，函数 的图象f(x)-4 ,1-6和它的反函数的图象关f(x) -8于直线y=x对称.. 2例3求函数 (,1