欧拉公式的推导欧拉公式eix=cosx+isinx中,e是自然对数的底,i是虚数单位。它将函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数里占有非常重要的地位!
eix=cosx+isinx的证明:
因为ex=1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! +……
cos x=1 - x2/2! + x4/4! - x6/6!……
sin x=x - x3/3! + x5/5! - x7/7!……
在ex的展开式中把x换成±ix.
因为(±i)2=-1, (±i)3=∓i, (±i)4=1 ...
欧拉公式eix=cosx+isinx中,e是自然对数的底,i是虚数单位。它将函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数里占有非常重要的地位!
eix=cosx+isinx的证明:
因为ex=1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! +……
cos x=1 - x2/2! + x4/4! - x6/6!……
sin x=x - x3/3! + x5/5! - x7/7!……
在ex的展开式中把x换成±ix.
因为(±i)2=-1, (±i)3=∓i, (±i)4=1 ……
e+ix=1 + ix/1! - x2/2! - x3/3! + x4/4!…… =(1 - x2/2! +……)+i(x - x3/3!……)
所以e+ix=cosx+isinx ,
将公式里的x换成-x,得到: e-ix=cosx-isinx,
然后采用两式相加减的方法得到:
sinx=(eix-e-ix)/(2i)
cosx=(eix+e-ix)/2
这两个也叫做欧拉公式。
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