错位相减

错位相减 错位相减法 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列;分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn;然后错一位，两式相减即可。 例如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)(x?0) 当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1),n^2; 当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1); ?xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n; 两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n; 化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2 Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些) 两式相减 1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n 错位相减法是求和的一种解方法。在题目的类型中:一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子(问题，在a后面的数字和n都是指数形式): S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan (1) 在(1)的左右两边同时乘上a。 得到等式(2)如下: aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 (2) 用(1)—(2)，得到等式(3)如下: (1-a)S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 (3) (1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。 (1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 最后在等式两边同时除以(1-a),就可以得到S的通用公式了。 例子:求和Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方(x不等于0) 解:当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n,1),n平方 当x不等于1时，Sn=Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方 所以xSn=x+3x平方+5x三次方+7x四次方……..+(2n-1)乘以x的n次方 所以两式相减的(1,x)Sn=1+2x(1+x+x平方，x三次方，。。。。。+x的n-2次方),(2n-1)乘以x的n次方。 化简得:Sn=(2n-1)乘以x得n+1次方 ,(2n+1)乘以x的n次方，(1，x)/(1-x)平方 Cn=(2n+1)*2^n Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 2Sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 两式相减得 -Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2 所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 错位相减法 这个在求等比数列求和公式时就用了 Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些) 两式相减 1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n 等比数列求和: 例题:求 2+2~2+2~3+2~4+2~5+....+2~100 这就是错位相减法的一个例子。 设x=2+2~2+2~3+2~4+2~5+....+2~100 则2x=2~2+2~3+.....+2~100+2~101 两式相减:x=2~101-2 设前n项和为S(n) S(n)=A(1)+A(2)+A(3)+...+A(n) =1+3/2+5/4+7/8+9/16+...+(2n-1)/[2^(n-1)]。。。。。。<1> 则 (1/2)*S(n)=1/2+3/4+5/8+7/16+...+(2n-1)/(2^n)。。。。。。<2> <1>-<2>: S(n)-(1/2)S(n)=1+(3/2-1/2)+(5/4-3/4)+(7/8-5/8)+...+2/[2^(n-1)]-(2n-1)/(2^n) 即: (1/2)S(n)=1+1+1/2+1/4+...+1/[2^(n-2)]-(2n-1)/(2^n) 所以S(n)=2+4*[1-(1/2)^(n-1)]-(2n-1)/[2^(n-1)]