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引力波的电磁响应:经典图象及其量子对偶性(可编辑)

2017-09-21 41页 doc 73KB 45阅读

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引力波的电磁响应:经典图象及其量子对偶性(可编辑)引力波的电磁响应:经典图象及其量子对偶性(可编辑) 引力波的电磁响应:经典图象及其量子对偶性 重庆大学 硕士学位论文 引力波的电磁响应:经典图象及其量子对偶性 姓名:苏荀 申请学位级别:硕士 专业:理论物理 指导教师:李芳昱 20020505重庆大学硕士学位论文 中文摘要 要 摘 引力波的理论研究和实验检测具有十分重要意义。引力波是. 广义相对论的一个重要预言,但迄今没有直接的实验验证。对引 力波的观测,将是对 引力理论和其他相对论引力理论最直接最 严格的检验,并可提供天文观测的新窗口,可极大地扩涨人类...
引力波的电磁响应:经典图象及其量子对偶性(可编辑)
引力波的电磁响应:经典图象及其量子对偶性(可编辑) 引力波的电磁响应:经典图象及其量子对偶性 重庆大学 硕士学位论文 引力波的电磁响应:经典图象及其量子对偶性 姓名:苏荀 申请学位级别:硕士 专业:理论物理 指导教师:李芳昱 20020505重庆大学硕士学位论文 中文摘要 要 摘 引力波的理论研究和实验检测具有十分重要意义。引力波是. 广义相对论的一个重要预言,但迄今没有直接的实验验证。对引 力波的观测,将是对 引力理论和其他相对论引力理论最直接最 严格的检验,并可提供天文观测的新窗口,可极大地扩涨人类对于宇宙及 天文现象的认识。 和引力波直接相关的重大问题是引力场自身的能量动量赝张量的表述 及引力量子化的问题,以及如何解决量子论与广义相对论的统一问题。利 用传统的量子场论对广义相对论的量子化方法,由于不可重整化,一度被 抛弃。随着对量子场论重整化过程及发散现象的理解,提出了有效量子场 论的观点,对量子化广义相对论重新赋予意义,即引力广义相对论的 有效场论描述。 本文利用引力的有效场论描述,研究了引力波与电磁场的相互作用,并 将其与经典图象的引力波与电磁场相互作用结果比较,以考察经典计算与 量子计算的一致性。据此考察显示引力波效应的可能的新途径。 关键词: 引力波,电磁波,量子引力,有效量子场论英文摘要 重庆大学硕士学位论文 . ’. . , ? . ,, . , , , : 重庆大学硕士学位论文 理论背景 理论背景 .广义相对论 .在年创立狭义相对论以后,遗留了引力问题。牛顿引力理论 是非协变的,不满足相对论要求,其作用是超距的。狭义相对论原理要求物理 规 律在所有惯性系中有洛伦兹不变性,这提出了惯性系的定义和特殊地位问 题。这 两个问题的结合和解决,由年爱因斯坦创立的广义相对论完成。 本节主要参考文献.】。 ..线性化广义相对论及引力波,引力子的预言 广义相对论的基本假设可以归纳为以下三点: 维空间的引力本质上是四维时空的弯曲。当引力存在时,时空背景不再是闵 氏时空,/。而是某种弯曲时空,‰,其中是某个维流形,乩是 的某个非平直的洛伦兹度规。这样,将引力认定为纯粹的时空几何效应,广义 相 对论是几何动力学。除引力外不受力的为自由质点。 自由质点的世界线是它所在的弯曲时空的的测地线。 时空的弯曲情况由时空的物质场决定,其间的关系由爱因斯坦方程描述: . 吒:如一昙匙:?』? 其中,。为爱因斯坦张量,心为张量,只为标量曲率,。为度规,号差 约定为,一,一,一,瓦。为时空背景引力外物质分布的能量动量张量。 由场方程可以看出,左边为几何量,右边为物理量,场方程实际上描述了时 空曲率与物质场能动张量关系。爱因斯坦方程是高度非线性的,叠加原理不 成 立。 对于狭义相对论物理学对应的阂氏时空,尺。。“,故。。由场方程知 乙。这并不意味着狭义相对论物理中有严格的乙。实际上,狭义相对论 物理学中,由于塑呈~,,在研究各种物理客体的运动及相互作用, ’ 常忽略它们之间的引力作用,忽略各物理客体产生的引力场。或者说,其能动 张 量的引力效应极小,对于时空曲率的影响而言,,时空近似平直。狭义相 对论物理学是广义相对论在引力时空曲率可忽略时的近似,只要引力不可忽 略,时空就不能近似看作平直,就要用广义相对论。 对于真空.。,爱因斯坦场方程为: 一?? . 此即真空爱因斯坦方程。闵氏时空是一种解,但上式亦有弯曲度规解,如施瓦西 解,这对应于纯粹引力作用的情况。重庆大学硕士学位论文 理论背景 爱因斯坦方程的非线性性给求解以及整个广义相对论带来许多困难。在弱场 情况下,可用近似处理把场方程变为线性方程,从而使问题大为简化。弱引力场 意味着时空度规。接近于阅氏度规‰,即可写为下述。,对平直时空的一阶扰动 形式】, . 乳,以,。, 以,的二阶和高阶项都可忽略。在这一近似条件下,,可当作阂氏时空中的某种 物理场。%。又可看作叩。,的一种微扰。相应地有 “玎”一“” . . 』嘧寺叩”,毋%,。一%,脚 . 足矿矿%。,竹一‰。 选定谐和条件: . ‖‰,《 得到爱因斯坦方程的线性近似为取的几何单位制: . ,一石‘,一?吼,巧 或者,等价地,令 一,以,一?以, 则 ?? 一 . 九,,一寺巩,九, 利用。,线性化的场方程为: 一 . 只,,,一?仉,一, 即 . %,。仉,伪一一瞄.,一蝼.。一;。, 谐和条件为: 礤 . 此时,亦称为洛伦兹规范条件。最后,得到场方程 瞄,。一, . 相应的度规场为 一 一 ,,吼,哆,,一?叩, . 上述线性近似场方程,就是闵柯夫斯基空间中的波动方程,这表明引力场和 电磁 场一样可以用波的方式辐射和传播,而且引力波的波速就是光速。 方程的通解为下列形式解的线性叠加: . %,%,吒,重庆大学硕士学位论文 理论背景 其中,?,,七一。谐和坐标条件有: . ”,:??,旷, 共四个约束。并且巳,对称,,。,称为极化张量。×对称矩阵有个分 量,减去个,独立分量数降为。继续利用规范变化: 。?。占 . 仉,%,斗仉,%,,%,以,,一气,,一邬.。 可以证明,变换后,波动仍然满足谐和坐标条件。这样,。只有个有物理 意义。 考虑一个沿轴传播的波,其波矢量为 , . 在这种情况下,由谐和坐标条件.有: 巳 . 岛一‰一。亡岛】% 。作变换: ?: ,乞七屯, 《 ,‰一女岛 . 作坐标变换: 毛一每,吒一睾 ‘ 毛一轰,岛轰 毛一翥’岛翥 可以使除,,:,《:;。外的:,分量均为零,即只有,和:由绝对的物理意 义。 对于一个绕轴的转动, . .口 。一. ;::其它:; 保持七。不变, . 。,::。 利用.式,得到: . :?,正六,五” 氏。 式中,? 一干,正一?。 任一平面波‖,通过绕传播方向转动任一角度而变换为 ‖’ / . 就说它具有螺旋量。重庆大学硕士学位论文 理论背景 这样,引力平面波可以分解为螺旋量为?的部分,螺旋度为?的部分 和螺旋度为零的部分‰和‰。螺旋量为零和?的部分可以通过适当坐标而变 为 零。所以,只有螺旋量为?的分量才有物理意义。 从量子化的角度,即引力子的自旋为,这与量子场论的观点一致。已知引 力有下列特性:引力是长距力,遵守平方反比律;只有吸引;与所有物质 同强度的耦合,即其荷应该是能量动量张量。从粒子物理学的观点,要建立一 个 描述引力的场论,首先假定一种传播这种相互作用的传播子一引力子。这种 粒子 是无静质量的,因为引力表现为长距作用。进一步,应该是波色子,因为考虑两 个同种粒子的交换单引力子的引力作用,若引力子是费米子,将使相互作用的两 个粒子变为不同的粒子。这不符合实际情况。也应该排除自旋为零,因为这意味 着这种标量场与物质场能动张量的迹 藕合,而这将无法给出光线的偏拆光线 的砰。这样,进一步考虑简单性,一个合理的选择为。这样,建立一个静 质量为零的自旋为的粒子的量子场论,给出其拉氏量,作为其主要部分的第一 项,正好与广义相对论的拉氏量一样。详细推导,请参考文献。 另一方面,要构造一个质量为零,自旋为?的不变的量子场论,必 须引进某种规范不变性【】。而引力辐射的规范不变性是因为广义相对论是广义协 变的,广义协变又不过是等效原理的数学表示,因而一定程度上,引力量子论的 不变性将导致等效原理。以上讨论,一定程度上说明了引力量子化的可能 性。 ..引力波的检测 上一节在线性近似意义下,说明爱因斯坦场方程存在波动解.,,。这 一点从广义相对论创立不久就为人所知,然而在相当一段时间内,引力波的真实 性一直受到怀疑,在年提出如下疑问:引力波解可能只代表时空 坐标的波动,因而没有观测效应。到世纪年代,及其合作者借用不 依赖于坐标系的手段证明引力波的确携带能量动量以及系统在发射引力波时质量 必然减小,使引力辐射的物理真实性及其可探测性逐渐被普遍接受。 然而引力波的探测十分困难,因为引力波与实物相互作用极其微弱。 年,.宣称探测到来自银河中心的引力辐射,没有得到其它实验的验证而 被认为是不真实的。但这一事件激起了引力探测研究的热潮。及其合作者 基于对脉冲双星的多年观测,获得了引力波携带能量的间接定量证 据,获得年诺贝尔物理学奖。世纪的前几年,有一批极高灵敏度的探测 器建成或将建成。用激光干涉仪有:德英合作建于德国的,意法合作的 建于意大利,美国的两座装置,以及本的。用棒状探测器的 有美国的,意大利的和,的重庆大学硕士学位论文 理论背景 ,澳大利亚的。/中的天基激光干涉仪预 计发射。上述装置有些已开始运转,但仍然没有确切的结果。引力波的探 测涉及到实验和理论两个方面的大量研究工作,尽管这方面的工作进展困难,但 一旦有突破,将极大地促进天文和物理学的发展,并可望开创一个引力波天文学 的新时代。 引力波的物理行为和对引力波的检测主要具有以下特征 : 引力波与物质相互作用弱,在天文学上有极大的潜在效应,即它意味着天 文现象产生的引力波受到传播过程中的其它物质干扰而造成的信号失真最小。 .引力波是由波源质量的加速运动产生,与由加速电荷产生电磁波的电磁 波源不同,这样,引力波携带了新的信息,这是一种在许多方面与电磁波完全不 同的信息。 .引力波可由黑洞发射。这是直接观测这类天体的唯一手段。许多间接证 据显示,许多星系中心有大质量黑洞,恒星质量级黑洞亦不少,对其直接的观测 有重要意义。 引力波可源于宇宙的极早期演化。对宇宙微波背景辐射的观测揭示了大爆 炸后年的状况。对于原初核合成的研究,提供了大爆炸后分钟的信息。如 果探测到引力波,则可以描绘宇宙在图象,这正是暴胀结束的时刻。 .引力波是广义相对论的基本预言中唯一未直接验证的。引力波的 特性,可以作为检验广义相对论和其他引力理论的标准。广义相对论不是一个量 子理论,引力量子化是理论物理研究的一个长期目标。引力波的直接检测,不仅 为引力波动效应的存在,而且为其量子形式的存在,提供晟直接的证据。一般还 相信存在一个将引力包含其中的四种基本力的统一理论。对大爆炸产生的引力波 的观测可能提供这方面的信息,这对于理论的发展致关重要。 引力波探测的方法目前主要有以下几种。激光干涉仪,是测量电磁波在引力 波中传播的相位移动。韦伯棒是利用引力波的潮汐作用在棒中产生机械应力,并 将其转换成其他信号,常利用共振效应,以增大灵敏度。本文讨论的引力波与电 磁场的相互作用,是从理论上探索一种显示引力波效应的新的机制,并分别从经 典理论和弱引力场的量子理论两个方面来加以考察,并证明两种理论的结果在一 定程度上是自治的。 ..引力场与电磁场的相互作用 广义相对论认为一切物理现象不过是物理客体在某种弯曲时空背景,‰ 上的演化。用广义相对论的观点研究物理,首先就要找出各种物理客体在给定的 弯曲时空背景上的演化方程。由于实际生活和实验室中的引力场太弱,广义相对 论同牛顿力学的区别一般难以察觉,想通过观察或实验来归纳出弯曲时空的物理重庆大学硕士学位论文 理论背景 定律是没有希望的。能归纳出的最多不过是狭义相对论平直时空背景的物理 定 律。进而根据某些基本原则用假设的方法得到弯曲时空的物理定律,其正确性有 待于由这些定律推出的各种结论的自洽性及其与实验可能的话结果的一致性来 验证。这一过程的一个重要依据就是广义协变性原理:除动力学量以外,只有时 空度规。及其派生量才允许出现在物理定律的张量表达式中。 弯曲时空物理定律必须服从的两个原贝.广义协变性原理;在时空度规 。变为闵氏度规野。时,应能回到狭义相对论的相应定律。利用所谓“最小替换 法则”,把狭义相对论相应定律表达式中的所有仉。和。分别换为&。和。,就可 以得到符合上述原则的广义相对论条件下的物理定律。但是,含高阶导数两个或 多个。相继作用的公式在从狭义相对论到广义相对论的过渡中会遇到问题。即 由于导数算符的不对易性,最小替换法则在这种情况下不能导致唯一的物理定 律。这时,应进一步考察其它物理条件,如电荷守恒,选定规范等。 阔氏时空电动力学的麦氏方程为】: . ‖瓦一石以, 电磁场的能动张量为: . .亡兄劈一?‰巴“ 按照上述原则,并且考虑到电荷守恒,得到弯曲时空的麦氏方程: . 。匕不。。 电磁场的能动张量应表为: . 瓦。??一气?譬一?。。“。 化为: 利用疋。的反对称性质,又可将.. 击专瓜”译%等,” 竖监生: 蚴、 出“ 砒” 毋 本文将利用上述方程,计算引力波与电磁场的相互作用,与量子图象的引力 子光 子作用的结果对比,并证明两者在一定条件下的自洽性。 .量子场论 量子场论,顾名思义,即场的量子理论。量子力学创立之初,就知道有若于 经典场,如电磁场,引力场。将量子力学与狭义相对论结合,经过长期的努力, 创立了量子场论。但是,电磁场的量子化因为非物理极化态附加的规范自由度, 成功较晚。引力场的量子化迄今尚在探索中。对其他标量场,旋量场的量子化是重庆大学硕士学位论文 理论背景 成功的。相应的观点也有一个逐渐发展的过程。最初人们认为.世界上同时存在 着场和粒子。电子是粒子,由方程描述。电磁场是场,即使表现出粒子 性。今天对此问题有一种新的理解是:量子化并不是量子化波函数,麦克斯韦场 并不是光子的波函数。量子场是宇宙的基本构成,粒子仅仅是场的能量动量的定 域激发。通常的波函数应理解为场的泛函,丽不是粒子坐标的函数。 本节主要参考文献?。 ..量子场论的基本概念 量子场论是量子力学与狭义相对论结合的产物。它是世纪取得巨大成功 的粒子物理学所依靠的主要理论工具。首先按照群的表示,得到各种场 的场方程。然后,将场方程的通解表达成傅立叶展开的形式,展开系数理解为相 应自由场粒子的产生和消灭算子。场的这一展开式相应地理解为场算符。由产生 算子从真空生成任意的多粒子态,所有这些态组成空间。由因果性要求, 类空间隔的场算符有等时反对易关系,并有相应的产生与消灭算符的对易关 系。求场算符的非等时反对易式的囊空期望值,得到相应场的传播子。传播子 可以类比于电磁场辐射时的点源影响因子,或者相应场方程的函数。 对于粒子物理中具体物理过程的计算。从相互作用哈氏量出发,利用矩阵 描述初态到末态的幅。在相互作用表象中,相互作用哈氏量的时序结对于时间的 积分给出矩阵,并且有级数展开: .毫?脚 舶 一??卉一出?.,‘一??,‘, 图为简化相关的计算和清晰的物理图象,提供了一个有力的工具。 用各种不同的点,实线,波浪线等代表不同的粒子,相互作用等,并赋予一定的 规则。因为是级数展开,这种表示成为可能,高阶图代表高阶过程。分析的微观 过程,画出对应的图,就可以直接写出几率幅。利用几率幅,进一步考 虑初末态的自旋求和,四动量守恒。相空间求和,参照系的选择和变换等,就可 以计算粒子间相互作用的截面。 量子场论的微扰展开出现的无穷大量,需要对其进行处理,现在有一套标准 的程序,叫做重整化。首先,将发散的无穷大量分离出来,这一过程称为正规 化。将无穷大量消去的过程,称为减除。研究发散的图形,发现可以归结于若干 基本发散图或原始发散图。导致基本发散的物理过程只有有限几种,所有其他的 发散都可以约化或分解成这有限几种基本发散。重整化的整个处理,可以用电 荷,质量等相互作用的耦合系数的从新定义,改写系统的拉氏量而系统解决。 ..重整化的新认识 上一小节提到量子场论的微扰展开,需要一系列过程去消除无穷大,而得到 真实的物理结果。这种考虑并不能导致处理问题的微扰理论是完全正确的,可重 整化要求对物理理论加上了严格的限制。这一限制对于物理结构形成十分关键。重庆大学硕士学位论文 理论背景 例如,和规范不变,允许在量子电动力学的拉氏量中加入项一 矿眇。,,】?,这将在电予磁矩中引入一个可调参数。但是,可重整化要求,排 除了该项。量子电动力学对电子磁矩的成功计算,可看作是要求理论可重整化的 有效性证明。这一点也适用于弱、电磁、强相互作用的整个标准模型。标准模型 基于的规范场论的可重整化由给出了证明。 但是否拉氏量必须严格限制到仅包含可重整化相互作用呢近年来,理论研 究表明,可重整化不是一个根本的物理的要求。实际上,任何相对论性量子场论 将同时包含可重整化与不可重整化的项。这一观点的改变,可部分地归因于创立 可重整化引力理论的努力不断失败。广义相对论的拉氏量由度规及其导 数构造出,高阶导数的存在不利于重整化。广义相对论的不可重整化也可以从耦 合常数有。量纲看出来。 将新的不可重整化的项引入,又不改变原有理论的预言,这是由于新引入的 项代表了更高能量的物理行为或新的物理规律。不可重整化项代表的高能物理现 象,在低能情况下被极大抑制,但仍然可能探测到。一般认为,重子数与轻子数 的守恒是一非可重整化项破坏的,标准模型不能给出这一个破坏。基于这一认 识,量子场论现在通常认为有效量子场论。广义相对论也可以在这一框架下,给 出的引力的有效场论描述。 .量子引力论 引力量子化的历史,最早可追述到世纪年代。但是,由于问题的复杂 与困难,经过多年的积极努力,迄今没有一个一致而完全的引力量子理论。 引力量子化的困难部分在于广义相对论的高度非线性,直到年,才最终证 明传统的量子场论方法不适用。但更深层次的原因在于,引力量子化.对应于时 空的量子化。而对于时空量子化,目前尚不能给出确切的理解。 本节主要参考文献.】。 ..引力量子化的必要性与困难 广义相对论与量子理论所描述的对象的尺度和能量标度差别很大,但是物理 学的统一性不能允许两个基本观点上冲突的基础理论存在。广义相对论的基础在 于时空的动力学化,参考系平权。量子理论要求确定的背景时空,时空平南而存 在整体的分解。引力量子化的必要性,还体现在如果引力场不能量子化,会 导致不确定原理的破坏,因为可以利用引力来同时确定粒子的位置和动量到任意 精度。理论背景 重庆大学硕士学位论文 基础物理学的发展有一个统一的趋势。从的电磁理论到? 的电弱模型,以至规范理论将电,弱,强三种相互作用的统一描述。这一 系列发展,都体现了这种趋势。 引力量子化的必要性也来自量子论与弓力论二者自身。经典广义相对论预言 了不可避免的奇异性。这意味着宇宙创生的初始条件是不可能有的。宇宙监督猜 想“自然界憎恶裸奇性”没有物理上的依据。量子场论也有自身的困难,即微扰 论产生的无穷大。现在一般认为量子场论实际上是“有效场论”,其中的发 散反 映了高能情况下的新物理。量子引力可以由其自然的能量提供一个自动的 截断。 引力量子化的困难,一方面是技术上的,另一方面是理解量子化时空的意 义。广义相对论作为几何动力学,基本对称为广义协变。物理量不依赖于具体的 坐标,引力场的能量动量张量的定义困难就在于此。广义相对论的物理量是全局 性的。量子场论等都强调相互作用的定域性,以及物理量可以定域地定义。 广义相对论的一个主要原理即广义协变,要求动力学方程在任意坐标变换下 不变。由于量子理论的对象是场而不是坐标变换,我们将上述原理表述为另一个 形式:动力学方程在任意时空微分同胚变换下不变。这意味着广义相对论是一个 规范理论。这样,选定某一坐标系,或参考系,等价于对度规场加上了一个规范 条件。规范条件的变化对应时空微分同胚变换。对于经典理论,这两种观点没有 区别。量子理论则不然。在参照系保持其必要的经典内容时,度规元变为算符, 是相应规范变换的生成元。规范条件变为相应的算符关系。在经典理论中,度规 元及其变换用于定义参照系。在量子理论中,无法给出相应的解释。进一步,上 述算符关系的解释就有困难。 考虑一个半经典模型。量子力学与经典引力的最简单耦合,通常成为半经典 广义相对论。在这方法中,将场方程写成以下形式; 。 . ,妒,矿 其中,物质的能动张量用相应算符的期望值代替。这样,如果物质场是量子化 的,其能动张量是算符,不能与作为数的张量相等,只能是其期望 值。但是,引力耦合的非线性,意味着态叠加原理不成立,方程右边的意义就会 有问题。这简单的示例,说明了问题的复杂性。 量子场论的因果性要求,类空间隔点的场量对易。但引力量子化后,度规有 量子波动,则时空的类空,类时,类光特性不能判定。并且,由经典的广义相对 论的分解的因果关系,将因度规的量子波动而破坏,这亦可能背反因果关 系。重庆大学硕士学位论文 理论背景 量子引力的观测量,必然是有非定域性的,这是因为要满足广义协变。这 样,即使找到这样的观测量,还必须给出其在经典极限下的标准的定域描述。这 在经典广义相对论中,已经存在这个问题。在量子引力论中,这个问题更复杂、 困难。 量子引力的困难,还有很多,表现各异。详细讨论,请参考文献。 ..引力量子化的主要方向 目前,主要有三个主要的研究方向。协变方法试图建立度规起伏的量子场 论,这种起伏是基于度规或其他特定背景度规的。协变量子化将广义 协变微分同胚不变作为基本出发点,并试图保持这一对称,这通常意味着在 某~特定的背景下作微扰量子化。经过艰苦努力,建立了广义相对论的 规则,但世纪,年代证明了其不可重整化。随后,开始努力扩展广义相 对论,以便有可重整化或有限的微扰展开。经过高阶导数理论,超引力理论, 结 合超对称理论,到世纪年代后期,发展为今天试图统一所有相互作用的倍 受关注的弦论。超弦理论的基本物理对象为一维对象一弦,其激发被解释为 各种 粒子,其中包含自旋为的,解释为力子。超弦有维时空,但有维紧致 化。 正则研究方法试图建立一个量子理论。将度规看作算符或者定义的度规函数 在该量子理论的空间有表示。正则量子化将量子力学的辛结构正则变量 关系作为出发点,一开始就将经典变量分为“位置”和“动量”。这方法可以 作微扰处理,但这通常意味着显式协变的丧失。这一个方向在世纪年代取 得新进展。将联络而不是度规作为基本出发点,导出了圈量子引力。这一方 法的 基本对象仍然是一维的。已经建立了面积和体积的量子化的算符。 历史求和方法试图将的路径积分量子化方法用于量子化引力。将相 应的空间流形进行历史求和。这一方向有多种具体发展。如世纪年代开 始的的欧氏量子引力,以及格点量子引力.旋量泡沫模型等。 引力量子化还有些研究方法。如. 提出的扭结子理论。. 创立的非对易几何是描述尺度几何的有用工具,与弦论结合激起了 一个研究热潮。建议引力导致量子态的塌缩。还有一个新观点,认为根本 没有时空,只有引力,而引力与其它场相互作用的的效应,表现为提供一个背 景。这一个观点从马赫原理发展而来。 以上所有方法,发展程度各不相同,至少在目前还都是探索性的。 重庆大学硕士论文 引力的有效场论描述 引力的有效场论描述 .概述 一个理论可能已经经过验证,在一确定能量和尺度范围成立。但是,我们不 知道这些理论是否在更极端的条件下成立。在这种情况下,我们可以首先假定理 论成立,而进一步在理论和实验两方面去探索是否有矛盾。在许多情况下,旧理 论被新理论代替,因为新理论更适合描述高能行为。当我们以这种角度来看待广 义相对论和量子力学的不兼容时,会令人不尽想到在高能下有一个更好的引力理 论,但是,在目前物理学考察的能量下,引力与量子力学是否冲突呢。如果冲突, 那意味着我们目前的理论是错误的,有必要寻求更好的理论。 由于量子引力的不可重整化,给考察量子力学与广义相对论引力的工作带来 困难,量子波动可能关系到所有能量标度,而不仅仅在相互作用粒子的能标处。 或许,由于不知道正确的高能理论,我们无法计算低能下的量子效应。对于可重 整化理论,低能物理计算可不考虑这个问题,因为高能效应,仅体现在少数几个 参数的移动。当这些参数通过实验测定后。所有高能下的行为被掩盖了。 但是,对于不能重整化的理论,高能的影响会保留下来,例如弱相互作用的 费米理论,中子与‖子衰变率之比有一对数发散项,这一点在标准模型中不存在。 发散并不造成问题,而是其对能量标度的敏感程度。 对于不可重整化理论,也可以给出量子预言,这一方法即有效场论。这在计 算方法上显得越来越重要。利用这一方法,计算式表现为某能量下的展开。高能 效应表现为参数移动,但这些参数可通过实验决定。而且,对于按能量展开的一 定簪八,仅有有限数量的参数。这样,可依此作出一些预言。 广义相对论自然地适合用有效场论描述。因为引力相互作用比例于能量,易 于用能量展开。而广义相对论的量子化,在确定背景度规的情况下,将度规微扰 量子化的工作.已经有完整的理论。因而将量子引力作用表述为有效场论,至少 在目前看来,是一种有效的表述。 本章主要参考文献?。 .引力的有效场论描述 广义相对论和量子力学结合,得到相互矛盾的结果是一个自治的物理理论体 系不允许的。另外,电弱强相互作用的统一使我们应考虑高达”的能量,在 这样高的能量时,引力效应已经较强,这也促使我们研究引力量子化的问题。 微扰量子化的方法不能提供一个最终的最子引力理论,但不排除它是一个好重庆大学硕士论文 引力的有效场论描述 的量子引力在低能下的有效理论。不论最终的量子引力理论是怎样的,在低能下 引力总可以近似描述为无质量的自旋为的粒子的场,其作用量必然类似 ?作用量,加上可能的高阶量。如果限制于讨论所有外部粒子的 能量《。。的过程,我们可以写出一有效作用量,其中包含所有广义协变微 分同胚不变性允许的局域项。 从物理上看,不确定原理保证任何高能中间态只发生在短距,从而可用局域 作用量描述。例如,在远低于波色子的能量下,费米理论可近似描写电弱作用。 如果我们用有效作用量去计算低能、长距过程,可以看到高阶项引起的高能 修正 的大小因为乘以因子?墨一而很小。但是其量子效应仍然可以分离出来。 四 当考虑引力的量子理论时,已经清楚,总会有紫外发散问题。简单的量纲分 析可以证明这一点。如果耦合常数有量纲质量,壳则阶费量图的积分在 大动量时表现为咖。其中取决于问题涉及的过程,不依赖于。引起麻 烦的相互作用发生在的情况下,任何过程的积分在充分高阶时都会发生发散。 由于牛顿引力常数有量纲一自,.×。故广义相对论一 开始就会有发散。 这一直观分析,可以用引用量子化得到的协变费曼规则得到验证。考察这些 规则,立即可证明,广义相对论不能重整化,这已经通过详细计算证明。在经典 背景场。,基础上的真空波动的单圈积分有比例于足和”。发散项。对真空 场方程,有。,,这些发散不存在。但耦合于物质场?。?时,就会 表现出来。更一般地量纲分析表明。有圈的图有比例于曲率张量三次方的发 散项。如同在任何非重整化理论中一样,这些紫外发散的消除要求拉氏量中引入 无穷多项,比例于曲率张量及其协变导数的任何次方,以可以经过参数的重整化, 将发散消除。 有效场论技术方法在粒子物理中有普通应用,这个方法并不改变量子力学规 则,而是一个计算方法,应用该方法可以从已有的低能量子效应中分离出高能效 应,广义相对论作为场论适合用这种方法处理。以下描述引力的有效场论。 广义相对论有规范对称,即坐标变换下,物理量的广义协变性。这一特性促 使人们引进几何概念,用一般坐标变换下不变的几何量来定义作用量。但仅仅靠 这一点还不能完全确定整个理论,因为许多量有不变性。例如,考虑下式: . 一 . ,廿,工?一二兄“”。,? ’ 托 其中,,茁,.,,为常数,省略号代表关于,。。口的高阶项。上式中,各项 在坐标变换下都不变。为简化作用量,必须引入其他原理,例如,常数人比例于 宇宙学常数丑一,实验证明极小,从而可首先不予考虑。对,的大小;力的有效场论描述 重庆大学硕士论文 目前所知较少,有证据表明至多,,?”,虽然实际上很可能,:。 其余高阶项没有实验限制,但有理由相信并不会大到引起麻烦。 我们将引力作用量以能量展开,使得,,不会影响到低能物理计算。为了 建立能量展开,首先注意到联络二是度规一阶导数,而曲率为二阶,当计算跃迁 矩阵元时,导数变成能量或动量因子。~,从而曲率有阶,有曲率二阶的 项对应有。引力子能量可以任意小,从而项比较项小。从而,高阶项在 低能下相较于尺项,效应很小。对于一个纯粹的引力理论,作为展开的能量标度, 应该为质量,肘;,:‘.×”。这样,高阶项的效应是很小的。 例如考虑是和足项,爱因斯坦方程修改为:?尺月“”一去。十玎?二””一。??”月 上 叶 一? . .口 式中,除非或竺生?脚~,项一般可忽略。一般化的引力作用量,可 以包含无穷多如,日,的参数,在低能下,只有/项重要。 但是,关键在于区分重粒子的量子效应和无质量粒子的效应。虚重粒子在低能下 不能长距离传播。跟根据量子力学的不确定关系,可以作出大概的估计:,~壶。 对于远大于此的尺度,其效应表现为局域,近似地可用局域拉氏量描述。 例如一个粒子的传播子可用展开如以下形式: 。’驯 面毒一番一番 面面一面一面 用傅立叶变换到坐标空间,常数亩产生一个占函数,成为局域的作用口项 因子可用局域拉氏量的导数代替。这样,虚拟重粒子的量子效应,表现为局域 作 用拉氏量的系数移动。 但是,无质量粒二毫数量子效应不能这样处理。低能下,无质量粒子亦表现为 长距传播,例如传播子不能在 处展开。这样.低能粒子无质量或相较 于物理过程发生的能量而言很小的量子效应,不能在理论中掩盖掉而必须作 显 式计算。 物理学已经对从 他到宇宙学尺度有实验探测。这些实验使我们相信广义 另 相对论和量子力学在上述尺度皆有效,可能的修正发生在尺度~。’瓦重庆大 学硕士论文 引力的有效场论描述 外,由于考虑到低能,也认为曲率小而平滑。 理论的动力学信息可从其路径积分得到。对于最一般化包含引力的理论,其 生成泛函为: . ‖川?且】‖口砂’矗洲‘””? 其中,代表一个引力理论的场.?代表物质场,,代表源场。引力的有 效场论定义为同样的形式: . ‖卅训】且彬?以,%‘川川 这里,雪代表背景度规,代表其微扰。%代表最一般的满足广义协变的拉氏量, 其中含有前面提到过的,。,:等无穷多参数。高能效应体现在这些参数中。此 处将这些写入,是为了下面的解释。实际上,我们只对丸,的小波动和低能位形感 兴趣。由于低能下耦合十分微弱,路径积分的微扰展开,显得很自然。我们也假 定引力子是唯一地在整个引力理论中有作用的低能粒子,如果有其他粒子也应该 包括在其中。 最一般化的有效拉氏量应包含引力和实物场,并以导数形式展开: 。。 。々。。?” ,曲口’? . 上。。,。? 其中, 一. ‘:砉 . 。,,“” 物质场拉氏量的前两项为: ‘。?占?。妒,?一妒 . 厶:一””,妒,?。妒。矿 以上依导数展开,只考虑对引力场的导数。有质量标量场的导数并不是小量。 如 果物质场也是无质量的,那么有不同展开: 云重庆大学硕士论文 引力的有效场论描述 寺””,妒,妒吃矽 ,. 瓦。互“?,妒,声,妒?十乏乏心,一”庐 以下开始讨论有效作用量参数的可能值。,《,坍等已经有测量。其中 ?“。这意味着通常的情况下,八不重要。引力的能量展开从三。:开始, .,:无量纲。因此决定了只考虑引力时,能量展开近似为: . 茁晕,??墨一 几, 虽然没有直接实验验证,但迄今的~般认为“一”接近质量时,有 ,: 。对物质场拉氏量中的常数,问题要复杂些,不仅要考虑粒子只有引 力作用的情况,还要考虑同时具有引力和其他相互作用的情况。通常,有量纲 /卅鲫。对于含引力予的圈图吐发生移动,由茁 /吖;项引起。只有引力的情 况,有/刍。对于有其他相互作用的粒子,期望的引力荷因能量动量在其 他作用分布而受到影响。叠的期望值为: . ,,如。, 引力的有效场论描述,还应该包含圈图,以满足一般性原理,如幺正性。同一般 场论计算一样,圈图计算会产生紫外发散。在低能有效场论的计算中,圈图的紫 外发生在有效场论不适用的高能区,没有太多重要意义。出于理论的完整性,以 及探讨可能的效应,应该处理这一个问题。本文只考虑相应的计算与经典对比, 故不考虑圈图。 这为了进一步说明有效场论的思想,以下考虑纯粹引力的情况。其中,极 小不考虑。为了简化,可以将月,。,一项概略记作只。这样,有拉氏量 上去胡 . 可以导出方程: 口盯 此为一波动方程。其函数有下列形式: ?,皤焉蒜重庆大学硕士论文 引力的有效场论描述 .皤事一觋 括号中的第二项表现为一有质量标量场,只不过符号相反。它对应有一作用 势: ,:一码。:型与 。 考虑到己经有的实验限制,,“,并且当取~时有??~。这样括号 中第二颈是极小的,在通常的能量低能。长距离下没有重要贡献。这 也说明低能下,时空曲率极小与场方程一致,月与低能下的物理没有 多少关系。而整个粒子物理的标准模型根本不考虑引力,即项也不考虑。也 就 是说,此处的低能,相对粒子物理而言,不低。 进一步,由于?盯极小,有下式成立: ?./.一 . 生兰一万 从而项表现为引力相互作用的极弱并且短距的修正。 另一方面,相应的函数有: 志?汁一.’ 第二项为常数项,其傅立叶变换为函数,与.式一致。 以上说明了引力适用于有效场论描述的理由。 .量子化 用普通量子场论的方法。将引力量子化,已经有多年的研究历史。本文采用 参考文献的背景场方法。即在一固定的背景度规上,作微扰量子化。 规范理论的量子化总是要涉及固定某一个规范。首先要确定满足规范对称的 拉氏量。如果量子化过程的发散不能吸收进相应拉氏量的系数的话,原则上 会引 起困难。背景场方法解决了这个问题。因为整个计算过程保持了背景场变换 的对 称性,从而保持了广义相对论的对称性。 首先,考虑度规在某一个平滑的背景场虱,基础上的展开: . ?。邑。茁%。 重堡型苎堑生咝生. 垄塑塑垫堑堡塑垄 现在,各种指标的升降皆用季相应的拉氏量可以依据量子场九,展开: 吉?积卮吉夏毪’《?‘ 《’::竖虿一?豆一豆一” 鸳与;。”一。。??。 . 承寺一毒以,‖”豆”碍一以, 这里,见是对应背景度规的协变导数。对于所有的对九,线性的项包括从物质 场 拉氏量来的项,都会消失,因为我们要求瓦,满足方程。这样,就剩下 二次项及更高的项。 二次项的量子化必须选定某一个规范。并且需引入鬼场。司 场的情况完全一致。路径积分的积分空间多计算了规范变化下等价的场位形, 必 须引入项以限制。考虑下面的路径积分: 胁以啪警矿 其中,瓯矗是加入的规范约束,霎蔓为该约束在无穷小规范变换下的变分。指 数 口 化万,矗将在拉氏量二阶项基础上引入规范固定项如。指数化要,可以 通过引入新的费米场实现: 彳‘撕 引入鬼场拉氏量,最终得到一个规范固定的二次拉氏量。 此处,我们对背景场的谐和规范约束,选择约束: 。?%。一寺贸” . ‘ 其中, 叩‖舻啦‖? , 这导致规范固定拉氏量: 店拶,一,,.见”一.”蟛 . 由于规范约束包含自由指标,如同规范变换变量岛。鬼场将带有 指标,表现为费米性的向量场。将.式化简,可以得到:重庆大学硕士论文 引 力的有效场论描述 . ?动”邑,一心,? 从而,整个作用量成为: ?手古豆一圭%艰一%叩”见‖瓦叩 其中,印一芦为前述的可逆微分算符。这一作用量形式可直接用于确定传播 子和相 关的规则。 对于一般的背景时窑,计算相当困难。对于平直时空,计算相对简单。相应 的动量空间传播子为: 峨唧赢印. . 唧;?‰%%‰一%% 单引力予与物质场耦合的顶角: 。 一 二。 。,一暂’。::,一?,’?。一】 ,一 一? 双引力子与物质场耦合的顶角: .芦飞碑刘;.搐。秒。‖。、一妥,婶衅幔坤‖。自 . 一圭,一圭‰‰【. 其中, ,.暑寺品叩峭妇研。】 表示为: 作为上述规则的一个简单应用,考虑两个重质量的相互作用。 . ,”?筇‘掣 取非相对论性极限,一,,并且考虑态归~化,得到: 上上:竺錾 .。 这导致通常的势函数: :一竺& . 这当然是经典结果,不需要采用量子化过程也可得到。 最后,有效场论技术适用于低能和小曲率。这方法在能量曲率达到尺 度时失效。简单地将低能理论推广到高能是危险的。 以下,我们将沿用上述两章的方法和思考,去计算引力波与电磁场相互作用 的经典和量子过程。 .重庆大学硕士论文 引力波与电磁场的相互作用 引力波与电磁场的作用 .经典计算 本节主要参考文献【?。 以下计算一个引力波通过一静态电磁场引起的电磁扰动。模型如下:在 一,和之间,,有静态电磁场,表示为”,日“。一,和的平面 假定为对电磁波透明。所有计算在引力的线性近似下进行。 图 在这一条件下,?方程表现为这里采用单位制: .互?雌,,矗” .民.”,..只。. ,一 . 口彬:一.。, 考虑到对称因素,场仅以来于,甜。此处,度规选定为 捌一,因而,。方程进一步化简为: 一 口?,民.。,”.,”. ., 引,,已‘,,厂”, 仅区有静态场,分别表示为: 叭掣,口,口?:毯、,重庆大学硕士论文 引力波与电磁场的相互作用 口”碰”,‖研’,”噬。 . 方程.和.结合,得到: %,?口“ . , 口口” . 其逆变表示为: . ??一碰?呜日圹’足’】岛 将.和.,变换到逆变表示为: . 等等嗲叫”‖垲%. . 百可刘 . 【:”爿罗’】嚏, 等簪:【矽一趟。,【矽‰, ‘万?西丁【点;?一月:” ”” 、 . 可可刮 此即:“矽’一碰?,。【掣?‰, . ”:【矽一硝】‰。秽’鹾?% ”;【秽’一噬?‰川【鹾?打‰】 . . ”哕’一世’‰,砷钟’‰川 . ,.的解必须满足方程.,.,.,。的解必须满足.,.。 将方程. ,.表示成下列形式: “;?, . 口“ ?】 . 其中, 一七掣’一??口罗掣’】, 方程.,.表示成: 口“】, . “】, . 其中, 一;。’一硝’】口《?斛’】‰ 则,...有下列形式: ’ 卅 . 等警要刚 可可磊。九卜 : ”。 . 百可 . 等等妄唧瞰一例, 面可。瓦【“卜小 重庆大学硕士论文 引力波与电磁场的相互作用 :, ?一’ 等等。 缸‘ 缸。 .?.以及...的平面波解有下列形式: ,剖 , .;要?】副工一】占 一七 上厅 腩卜们卜 一埘】. 篆一参地纠 . 一腩工“】 口’::引?】 极川】一?,】. 习篆一参诹一】‖ 其中,“和铲为任意常数。 在弯曲时空中,仅有观者在其世界线所作的局域测量才有确定的意义。观测 者的四轴系由三个相互正交的类空向量以及沿观者世界线切向的类时向量 组成, 并且三个类空向量与代表观者四速的类时向量垂直。观者所测的物理量为相 应物 理量在其四标架上的投影。我们将四轴系表示成吃、,其中,括号中的指标表 示 标架向量,另一指标表示其在某一个确定的坐标系中的四轴系分量。这样, 观者 测得的量为电磁场张量在标架上的投影: . 硼‘,“叱 相应的场量为: 曩。?鼻:?置《 . 皿功,‘川,以, 显然,假定观者相对于静磁场静止是合适的。这样,观者的四维速度仅有时间 分 量易于零,而其余分量均为零,从而,四标架有如下形式: ,,, 《。,《,嵋,,《,,芘, 《,呓,,啪 《,略,呓,喀 显然,本文采用引力场的线性近似: :‘翟?, 约定:?为,背景‘%;,,,一。相应有: ““一“ 并且考虑到对称性,有: %一绣,矗一吃。啊 嚏。一%。,。‰,如,一曩。?一?群 进一步考虑到上诉四向量的正交性,有:重庆大学硕士论文 引力波与电磁场的相互作用 『:,,,罢‰】 《一‘?,,一矗:,一鼻,,。 《::,一妻,,呜。】, 《,,【,一琏,,一去也,,如。】 . 对应的逆变的分量: 『矗,红,也,一?‰】, 昙啊,,,, ,鼻,?吃,, . ,,,寺吃,, 匝用.,得到: 疋”一日妒‰?, 【似卜?】 矽一圭‰一蚴去一互尹吣叫 占”,】罡?也趟?如。一碰?岛。十《矗, 卿佩叫】 妒‖卜吉铲酬一去一参瞰一 万引一】《计矗?’一,疋’琏。 爿日:?《钟一夕’ 耻”嗽】十 舯圭。】丽 万”一】 坼叫 螂坼叫卜 且叫圭一?卜瓦 “一?:’ . 为了确定其中的常数,,我们需要考虑边界条件: ?一,?一, . .。?。 。张量的其他元有类似的条件。另外,要求区和区仅存在向外传播的波。 这以为着,,。 将上述边界条件引入.式,我们可以得到相应的常数值: 『川政与电僦场册利当作荆 垩塑型量望型墨壁鳖????????~一 ?????????????????????~一 查鎏兰皇堡当塑塑兰堡型 肛扣:%岷,一抄‰吲圳象嘉 等%峭’争譬”丁%一。,争, 爵 够’‰~%趟%~嘉一霹。,等 一趟钟挚噬。警一。’等一?孚 。,?一‘’ 一聂’ 吣卅舯八一百月%?朋:丢‖‰飞:嘉 ?:?。一癌一?口】兰岔二口,, “ ‘ 川 上’ 竽%竽‰一竿‰竽‰譬%, 碍一矽‰鹕丢掣‰吲筹嘉 蚪粤辈‰一辈‰ 簖一抄’”七‘黜‰嘞卜而一‖警 一硝’警碰?孕, 聘篆, 劈咄。?蹦?七嘉一《。,‰飞 竽,掣,粤~碰?孥】 . 从而,得到电磁场: 区域: 弓妄‘。一哇彬”一矽’。。一%:?秽’口:, 【, 钟’口。。一一,耐 以~吉。卜【圭日,一哕%。一,。毯娜秽’哎: . 彬?%。《?%参叫?明 丘专【‘。~圭联~‰嘞嘉 墅垫量皇墼塑墼堡里 墅型型塑二?~一 ????????????????????????一。/?切口且 【‘。一丢雕’琏口参 鹾。’%一碳。’哆。卜 区域. 矽’十等一妇,】丢叫”一矽,%。一%十 《。秽‰。’%。‰万 一兰学艄一明 。‘了/一艇,】投毒碰”一掣’口。。~:: 辨缈’?班如:参】 一丛岩?? 毯?畸一缸卜三。蟛。’%。一心, 嘉弧,一廿旦警陬一例 //,一髓,】舡,、,鹾。’口 孬?,一。哎。】兰。豪尘【七。一“】 孬点:”,一捌?哎。】靠?。【七。 一“ . 区域 , 毛:一百’陬, 止一一瓦。九 ”一等?一纠 量:一等硼女? 上:~百。瞰 筹瞰一】 如果这个理想的探测装置满足下面的静场条件: ??碰“,日四一《“, 。。。,一。。??。“。 型要丝鲁犁一皇磁波,以逆彳.方向传播。这里,葫门只考虑产生的沿轴的?: 这种情况下,有,从而有下列解: .重量墅苎塑坠竖鱼生 查鎏量皇燮堑塑塑至堡旦 丢砭?:。’%淑‘?卜似甜 以一圭掣: 擎’卜材懈卜卜腩。们 墨一圭碰。’%删。卜卜瞰?】 髟一圭噬%。~掣‰删四卜硼 . 区域 《。’艇。’钙。要一 以一《。’口,:趔”手一舡 一碳。呜。一霹。’%,昙~肪,】 ‘ 月一磁?口一毯。’口【要一幻 . 区域: ,:, ,. . 进一步,考虑.的纯粹的磁场趟”。这种情况下,我们得到的扰动 电磁波与只有纯粹电场霹?的情况一样,只不过有不同的线性极化。实际上, 对 于静电场,状态可以由上述情况中的,代表,对于静磁场,由。.表 示。参见.下图: 羔 / 一 耋/ 除 垮 图 为了与量子计算的情况作出对比。我们进一步计算一个简单情况。假设系统 只有 静态磁场:趔。’”其余“”。另外,简单计算表明:‰%。%:订”, 口如日”,吼代表了引力扰动。计算,系数得:重庆大学硕士论文 引力波与电磁场的相互作用 尼‘?‖口 】 将上述结果代入【.】式,得到区域产生的扰动电磁场为 邑一掣一纠 丘一兰笔删一明 。 . 则考虑到垒竺~,。产生的电磁能流为: ~艇哪, . .量子计算 本节主要参考文献.】。 我们考虑在~均匀的静磁场背景中引力予与光子的转化。 首先,假设有一平面引力波: ’”。~” .、 沿:轴方向传播,进入一均匀静磁场西。如图所示: 背景静磁场束缚在平面:一导和平面::导之间,与引力波方向‘成口夹角。如 图。可以将背景静磁场表示成: . 占。。。‘/。口二 其中,函数定义为:重庆大学硕士论文 引力波与电磁场的相互作用 。。:?,圭 ,其它 在横向无迹规范 ,?中,引力子一光子转化过程描述为两光予 单引力予作用顶角,可以表示为: , . ‖嵋, 此处,五?万。,和。包含了产生的电磁波和背景磁场。电磁波成分: 巴,?:豇:吒““。 . 背景磁场成分: ,一, ,一。, :一, ‖鼢卟筹???矽“等 ,一巧: 雄万胁参洲四‰?啬其中,
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