三角形重心，垂心，外心，内心性质

三角形重心，垂心，外心，内心性质 重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心; 垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心; 外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心; 内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心; 中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。 旁心 三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心叫做旁心。旁心是 角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。一个三角形内 如图，点M就是?ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分 ?ABC的旁心,线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。 若设O为用向量示则有aOA=bOB+cOC 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线 、每个三角形都有三个旁心。 交于一点，该点即为三角形的旁心。 2 三角形“五心歌” 三角形有五颗心;重、垂、内、外和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混( 重 心 三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重心”，重心性质要明了， 重心分割中线段，数段之比听分晓; 长短之比二比一，灵活运用掌握好((性质解释:三角形中线在三角形内部交与一点(重心)， 且该交点到顶点距离是到对边中点长度的2倍) 垂 心 三角形上作三高，三高必于垂心交( 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心可找清. 内 心 三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源; 点至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”如此定义理当然( 外 心 三角形有六元素，三个内角有三边( 作三边的中垂线，三线相交共一点( 此点定义为“外心”，用它可作外接圆( “内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键( 三角形中线在三角形内部交与一点(重心)，且该交点到顶点距离是到对边中点长度的2倍。 三角形中线平分三角形面积。 2.三角形的内角平分线交与三角形内部一点(内心)。 3.三角形的三条高线也交与一点(垂心)，当三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角 形时，三条高的交点分别在三角形的内部、直角顶点、三角形的外部。 4.N边形内角和定理:(N-2)*180度 5.正N边形每个内角为1/N*(N-2)*180度 6.任意多边形的外角和都等于360度 7.N边形的对角线共有1/2*(N*(N-3)) 重心的几条性质: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3 纵坐标: (Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标:(z1+z2+z3)/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 例1 连接DI1、DI2、AI2、CI1 ??BAD=?ACD ??DAI2=?BAD/2=?ACD/2=?DCI1 又??I2DA=?CDI1=45?，?I1DI2=90? ??ADI2??CDI1 ?DI2/DI1=DA/DC 又??I1DI2=?ADC=90? ??I1DI2??CDA ??I2I1D=?ACB=?BAD ?A、E、I1、D四点共圆。 ??AEF=?ADI1=45?，?AFE=45? ??AEF是等腰直角三角形 即:AE=AF 三角形垂心的性质 设?ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2( 1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心; 3、 垂心H关于三边的对称点，均在?ABC的外接圆上。 4、 ?ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH?HD=BH?HE=CH?HF。 5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6、 ?ABC，?ABH，?BCH，?ACH的外接圆是等圆。 7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC。 8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 9、 设O，H分别为?ABC的外心和垂心，则?BAO=?HAC，?ABH=?OBC，?BCO=?HCA。 10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。 12、 西姆松(Simson)定理(西姆松线) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上 试题 三角形内心 定义 在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心, 三角形内心的性质 设?ABC的内切圆为?I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2( 1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心( 2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r( 3、r=S/p( 4、在Rt?ABC中，?C=90?，r=(a+b-c)/2( 5、?BIC=90?+A/2( 6、点O是平面ABC上任意一点，点I是?ABC内心的充要条件是: a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0( 7、点O是平面ABC上任意一点，点I是?ABC内心的充要条件是: 向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)( 8、?ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么?ABC内心I的坐标是: (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))( 9、(欧拉定理)?ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr( 10、(内角平分线分三边长度关系) ?ABC中，0为内心，?A 、?B、 ?C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R， 则BQ/QA=a/b, CP/PA=a/c, BR/RC=c/b. 三角形外心 定义 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心( 三角形外心的性质 设?ABC的外接圆为?G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2( 1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2、锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3、GA=GB=GC=R. 3、?BGC=2?A，或?BGC=2(180?-?A). 4、R=abc/4S?ABC. 5、点G是平面ABC上一点，那么点G是?ABC外心的充要条件是: (向量GA+向量GB)?向量AB= (向量GB+向量GC)?向量BC=(向量GC+向量GA)?向量CA=0. 6、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是?ABC外心的充要条件是: 向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 7、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是?ABC外心的充要条件是: 向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2;c=c1+c2+c3。 重心坐标:( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 14.(2009宁夏海南卷理)已知O，N，P在所在平面内，且,ABC ，且，则点O，OAOBOCNANBNC,,，，,,0PAPBPBPCPCPA,,,,, N，P依次是的 ,ABC (A)重心 外心 垂心 (B)重心 外心 内心 (C)外心 重心 垂心 (D)外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心) 解析: ; 由知为的外心;由知，为的重心OAOBOCOABCNANBNCOABC,,,，，,,,0 PAPBPBPCPAPCPBCAPBCAPB,,,？,,,？,,？,，，00,,，， 同理，为APBCPC,？,,.ABC的垂心，选 已知:如图，点I是?ABC的内心，AI交边BC于点D，交?ABC外接圆于点E。 求证:(1)IE=BE (2)IE^2,AE*BE 证明: 1) 连接BI、BE 因为I是?ABC的内心 所以?BAE,?CAE，?ABI,?CBI 因为?BIE,?BAE，ABI ?IBE,?CBE，?CBI ?CAE,?CBE(同弧所对的圆周角相等) 所以?BIE,?IBE 所以IE,BE 2) 因为?DBE,?CAE,?BAE，?E,?E 所以?AEB??BED 所以AE/BE,BE/ED 所以BE^2,AE*ED 因为IE,BE 所以IE^2,AE*BE 已知E是三角形ABC内心，角A的平分线交BC于点F,与三角形ABC的外接圆相 交于点D 若AD=8CM，DF:FA=1:3，求DE长 证明: 连接BE 因为E是?ABC的内心 所以?BAD,?CAD，?ABE,?CBE 因为?BED,?BAD，ABE ?EBD,?CBD，?CBE ?CAD,?CBD(同弧所对的圆周角相等) 所以?BED,?EBD 所以BD,ED 因为?FBD,?CAD,?BAD，?D,?D 所以?ADB??BDF 所以AD/BD,BD/DF 所以BD^2,AD*DF 因为AD=8CM，DF:FA=1:3 所以DF,2CM 所以BD,4CM 所以DE,BD,4CM