【doc】下侧二重随机Dirichlet级数的收敛性与增长性

【doc】下侧二重随机Dirichlet级数的收敛性与增长性 下侧二重随机Dirichlet级数的收敛性与增 长性 广东工业大学 J?atGm啤dD啤u呐atT.曲?Iogy Vd.18No3 ScVt=a~2001 下侧二重随机Dirichlet级数的 收敛性与增长性 尤秀英 (广东工业大学应用数学系,广东广州5113090) 摘要:定义了双侧与下侧二重D/fichlet级数;通过引进一个随机变量序列,在概率空间(n,,P)上定 义了下侧二重随机Ditldllgt级数,建立了该级数的相关收敛横坐标及日线性下级与该级数的随机系 数la硼()l的分布函数之间的关系;建立了该级数所定义的随机解析函数的0线性下级与下型的 存在定理,推广了单复变数的随机Difichlet级数与下侧二重I,一eB积分的有关结果. 美?词:下侧二重随机Diiiehlet级数;随机解析函数;相关有界收敛横坐标;分布函数;口级性下级;日 线性准确下级;口级性下级的下型 中图分类号:O2115.0174兜文慧标识码:A文章缩号:1007—7162(2001)03-0085-07 l有关概念与结论 余家荣先生在文献[1,2]已研究了二重DirichLet级数 (=d+iv,t=+i叩,d,r,,叩?R,an?C)(1) 的收敛性与增长性,其中0<1<…<十+?,0<1<…<十+?.这里推广 得 定义1级数 ??II1 ??‰e一一=???e一+???e一+一…一一…-—0 ?-t?? ???e一+???e 0…mi0=0 (2) 称为双侧二重Dirichlet级数.为方便起见,式(2)右边第一个级数称为下侧二重 Dirichlet级数, 记为 ^():??n—e一2.s一(3) =】】 其中0>一1>…>一?一?.0>一1>…>一一?(m,n?N)(4) 与级数(1)一样,级数(3)也有成对相关的收敛横坐标:与.e,与},与.设 d:rcos0,e:rsin~(0<口<詈),它们对应的参数是:r=r(,r=r(, 收稿日期:?0D.08.24 作者简介:尤秀英(1944-).女,副教授,主要研究方向为随机级数 , ^ 卜 ? ?? 广东工业大学第18卷 ,=,(0).推广,当r=+*时,级数(3)定义了一个二元整函数^(,,). 设数列(4)满足 =一*,=一(5)r^一mrr'*^一 n 又lira‰=lira厕lnla_~I=0(0<口<号)(6) 则有r,=r=r=0,级数(3)定义二元解析函数^(s,f)(r<0). 又令Mx(rcosO,r8In口)=sup{lfl(o+ir,+iv)i,r,口?Rt, mI(rcosO,rsin0)=m"{?一e一"m一.),,m,?Ni.推广有如下定义与结论: 定义2在条件(5),(6)下,^(s,f)的.级性下级(0<0<詈)为 业 Ill = (r<.)ch一当 .(7)———?—,L<uJ?n1n当n…1时J—.一v,H 结论1在条件(5),(6)下,对级数(3),有 , lnlnl?l … llm + ln_mi(?N.0cc号)(8) 当为*时,公式右边为1.而{一InIlt为{一Inl一lj的凸正规化序列. 结论2对级数(3),条件(5),(6)成立,且(7)式下极限为有限正数,J呀(一{)为^(s,,) 的线性准确下级(0<<号),满足(一_})=,limpa(一?)_}ll1(一_})=0(9) 则对^(s,,)o线性下级的下型 即: InM(rc,u(一):(一一(10). osO;rsinO)1)~ol Tt-,rr ,一 , 有者=(即)(…?N)(11)?'I 设{()t(m,是整数)是概率空间(n,,/8,P)上独立,对称,同分布且有有限方差的随 机变量N序列.令n一()=一一()则有 定义3与级数(3)相对应,级数 ^(s,,;叫):??口一瑚(叫)e_.一一(m,nC-N)(12) 称为下侧二重随机Dirichlet级数. 2定理及其 2.1收敛性 设级数(12)满足条件(4)与(5),推广[r6]得(12)的三对相关收敛横坐标的参数式 ,(0,),r(0,?),,(0,?)均满足 重 第3期尤秀英:下侧二重随机Dirichlet级数的收敛性与增长性盯 r)-lira ro COcO" (13) m而;_^一+一s山0 用[r()?r,]表示满足r,()?,的所有所成的集,推广_6_有如下引理及定理 引理1对级数(12),条件(4),(5)成立,则 (i)当一*<,一<+*的[,():r]:{"…rnlim[ 【nlira[ ()[r()=+*]=皿[I.一I<e一-一] (洒)[r()=一*]=nlira[I口一I?e一m] 证明:当式(13)成立时,r=r.=r有精确的表达式,简记为 (15) (16) ,,=}面(m,n?N,.口号)由上式得,Vs,.,当m,n充分大 时,有e一蝴n)(<In批I<e一-?一枷'一",从而 [r,(埘)?r]=[I口一脚I<e"一m?一一一)._,除去有限个m,n外,V>0], [(埘)?r]=[I口一脚I?e?一m?一呻)('对无穷多个m,n,V,>0].即式(14)成立. 类似可证式(15)与式(16). 定理1在满足条件(4)及(5)的级数(12)中,如果I..()I(m,n?N)是独立的,且 分布函数为,一()(m,n?N),那么 1)当一?<r<+?时 rc=r,n.s.耋耋c?一F—ce舢一?{::::==ct 2)r,(叫):+?口.甘??[I一,一脚(e"一蝴+幽)]<+?,vc>0(18) 3)r,(?):一?口..???[1一,一(ee(,t_eaa0+asin0))]=+?,vc<0(19) 证明:1)我们有Vc<,时, Plirn[In—mI<ec"一?一呻]=I—Plim[I4一mI?e"一一.幛一] 自式(14).P[m)-,『]-.mlI删J]-:: 由Boml—Cantelli引理,式(17)成立,类似可证式(18)与式(19). 在定理1情形1)下,推广[0,,我们说级数(12)在双带形?x?(?s,At是当r<0时 r与玑昕满足的闭区域)上确定随机全纯(无奇点)函数^(s,,);在情形2)下,级数(12)在概 率空间(n,,P)上确定随机整函数^(,t,). 定理2在满足条件(4)及(5)的级数(12)中,如果In()I(m,?N)是独立的,有 相同的分布函数F(),并且F(+0)<1(指F()非退化)那么 ) 4 ( ]] 口口眦卧 ^ ++ 耐耐 ll ?< 88广东工业大学第18卷 ,(?)=0口.5.村lN(6In)dF(y)<+v6>0l ? ,(埘)=一??.5.甘1.N(占Iny)dF(y)=+?vb>0 这里?()表于小于的一=一的相同个数(?0). 证明:记u=—mcos0+一sin0,l=(cos0+sinS)r (2O) (21) 由F(+0)<1,得?[1一S(e)]=+*,vc>0,因此由式(17)及式(19) ,():0口.5.糟?[1一S(e)]<+?,vc<0(笠) ,():一??.5.甘?[1一S(e")]=+?,vc<0(23) 不难看出Vc<0时 . [1一:』[1一]d,liraf.r[1一F(e~t)]d)=I.l…'' lim1N()[I—F(e~1)]+IN(x)dF(e)j,vT>0(24) 从而,如果r?()dF(.):+,那么[1一F(.")]:+ 如果f+?()dF(.")<+,那么r?()dF(.一)+0,当T++时. 而r+?()dF(..)??()r+dr(.):?[1一F(..)](25)J1J 故?()[I—F(e-)]一0(T一+*),由(24)及(25), 如果f+?()dF(.)<+,那么[1一F(.")]<+,根据式(22)及式(23),并在积 分号下作变量替换y=c1,即得式(20)及式(21)成立. 2.2增长性 设已给满足条件(4)及(5)的二重Dirichlet级数(12),其中I?一一()I(m,n?N)是独立 的.设级数(12)有相关收敛横坐标(m)=0a.s.,则有收敛区域r<0,这里ln一()l的分 布函数F一一()满足式(17)(一=0) 令Ml(rcosO,rsinO,m)=sup1l^(+iv,f+j)lr,?Rj(r<0) 由结论1得 定理3对级数(12),在条件(5),(6),(9)下有 一 lim m..'. 由于In一(m)l(m,nC--N)是独立的,我们有()=阳(常数)n.s 推广[有 BI氇2对级数(12),条件(5),(6),(7)成立,则有 (26) (押) 葶3期尤秀英:下侧二重随机级数韵收敛性与增长性89 rn堕[In一啪I<e一-?—nr] (i)当0<<+?,[(珊):阳]:{?蒂 Lnlira[In一I?e.-"..''] …, (ii)[(甜)=0]=n_衄[In一瑚I<e一-哺一''] (iii)[(甜)=+?]=.… lilt, . [In一啪I?e一一枷_^|?'] 证明:由式(26)右边及等式(27),V,>0,当m.n充分大时有 InI一 ?日+sin0}ps+l<kkI口.册I<kIA_ ~cosO+sin0I籍 故el~rS枷+呻市<In— I<一.枷+一口l和 从而结论()成立,同理可证(i)与(iii). 定理4在满足条件(4)与(5)的级数(12)中,如果In一()I(m,n?N)是独立的,其 分布函数为F一()(m,n?N),并且一():0,那么 1)当0<<?时, 阳():..?宝[1一F一(...)]』'+Vc?''+?, 【=+*'vc?(0,鼎) 2)():0.营[1一F一(?..l)]<+,v?(0,1) 3)舶():+*.营[1一F一(e?.l)]:+,v?(0,1) 】】 证明:)V?(+?),由引理2结论(i) P . [1n—mI<e一--n']:1一P+ lira[I口一I?e?_+-n'] 营P:J0,v'p卫a+l'+一 c?(o, 由Borel—Cantelli引理,结论1)成立,类似可证2)与3). 推广[5】 定义4设对级数(12),条件(5),(b)成立,且式(7)下极限为有限正数,作连续,在每点 有左,右导数并且满足式(9)的函数阳(一{)(r<0),则(一1,)=阳(一{)称为 ^(s,l,)的日线性准确下级,而 广东工业大学第18卷 (r<0) 称为^(s,f,)的线性下级的下型,其中u(一{)=(一{)'一上). 由结论2得 定理5设对级数(12),条件(5),(6)成立,且式(7)下极限为有限正数,(一1,)为 ^(,,)的0线性准确下级并且满足式(9),NNfj(,,,)的下型即()有 一 liraACOSUslnu= mi;?一—m+一 条件(28)是充分必要的.而1一lIll?()l1是{一InI?一()l1的凸正规化序列. 由于I?一()l(m,n?N)是独立的,则即()=珊是常数8_s_ 证明:取级数(12)的随机系数.一()=4一一()中, {z一()1(?n=[o,1],m,n?N)是Rademaeher函数序列,是特殊的随机变量|?序列 ? 满足P[z—m(?)=1]=P[z一呻(?)=一1]=1,则lz— m(珊)l=1. 从而10一()l-10一l0.5.,将上式及即()=珊代人公式(11),即得公式(28)成立. 定理5证毕. 参考文献: [1]余家荣二重Di血岫级数与二重山?变换的收敛性[J].武汉大学(自科版),1962,(1):1-17. [2]余家荣.渐近二重敞利克雷级数及其应用[J].高等学枝自然科学(数学,力学,天文版).1965,(1) 223-253. [3]WklderDV.Anil吐lDb由ntoTRANSFORM11?DRY[M].Plbeb呲:Plbeb呲Urdvet~tyP蛔.1975:94-110. [4]尤秀英.下侧二重随机璐级数的相关收敛性[J]电子科技大学.2001,30(1):95棚. [5]尤秀英.下僵I二重IapIa蹦幽嘴积分的.线性下级与准确下级[J].吉林大学自然科学,加0o,(1) 40-53. 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Kwe~ds:lowersidebit~gentrand~~DirichletBedeB;mnd? lanalyticfunction;abscissaofdependent boundconvergeace;distrlbutlo~funed~;0linearlowerorder;Olinearproximatelowerorder ;lowertypeof0 linearlowerorder (上接第84页) [4]江和源,吕飞杰,部建样.高教液相色谱法测定大豆中异黄酮古量[J].食品科 学.2000,21(4):56 [5]罗宗铬.三元络合物及其在分析化学中的应用[M].北京:高等教育出版 社,1987.188. [6]杨昆山配位化学[M].成都:四川大学出版社,1987.12. StudyonDeterminationofDaidz~UsingSpectrophotometry LUYe-yu,LUOZoo-ruing,HUANGChi—ho,ZHANGYu-shan (Fl蚰ofn?面gandLi出h5时,GDUT,Gll旺u,51(]090,China) Alma.act:InpH6.5pIl?pll8tebl曲solution,daidzin(DN)~tctswithFe(?)一 BPRandAI(?)一BPRtO formcolorcomplexes.Themmum?ofthec0mp】exesis550rim口580rimwiththemolar曲一 sorpfivityof5.88x1o3and3.71x103L?md一?cm-.respectively.InpH10.5NH3一 NabIrsolu— d ?,DNreactstOformcolorasa~iationetanplexesrespecdvdywithmalachitegl'll~n.rhodam ineB.crystal violet,methylvioletandedod?niJIeB.The??fWlDN1ti】1gwith~hylrhodmineBisn埘 sensitivewiththemolarabsorptivityoft7.4x1L?mol?ea'n_..Themechanismsofthecolor吼 of DNwithd/fferentreAigellt~arediscussed. K唧凼:daidzin;c0l【?Ie0n;宕p佻mlpI帕l阳啷