排列组合公式

排列组合公式 久了不用竟然忘了 排列定义 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力; (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解; (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算时需要的思维量较大; (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1(加法原理 2(加法原理的集合形式 3(分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法，互不相同(即 分类不重);完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1(乘法原理 2(合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S(A)=9～ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3～ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S(A)=S(B)*3～ S(B)=9～/3～ 这就是我们用以前的方法求出的P(9，6) 例2:从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法, 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6～个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则 S(B)=S(C)*6～ S(C)=9～/3～/6～ 这就是我们用以前的方法求出的C(9，6) 以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数 量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合(1，2，3，4，5)建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合(1， 2，3，4，5)的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。 例3:9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种, 9个人排成一排，不同排法有9～种，对应集合为前面的集合A 9个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合A中都对应不同元素，但在集合D中相当于同一种坐法，所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素，所以S(D)=9～/9 我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人，再排其他人，结果为8～。这个方法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系。用集合的思路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系，使一个集合的子集与另一个集合的元素形成一一对应的关系。 例4:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，但要求1排在2前面，求符合要求的九位数的个数。 集合A为9个数的全排列，把集合A分为两个集合B、C，集合B中1排在2前面，集合C中1排在2后面。则S(B)+S(C)=S(A) 在集合B、C之间建立以下对应关系:集合B中任一元素1和2位置对调形成的数字，对应集合C中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此S(B)=S(C)=9～/2 以同样的思路可解出下题: 从1、2、3…，9这九个数中选出3个不同的数作为函数y=ax*x+bx+c的系数，且要求a>b>c，问这样的函数共有多少个, 例5:M个球装入N个盒子的不同装法，盒子按顺序排列。 这题我们已经讨论过了，我再用更形象的方法说说。 假设我们把M个球用细线连成一排，再用N-1把刀去砍断细线，就可以把M个球按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。而 砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式(如两把刀排在一起，就表示相应的盒子里球数为0)。所以方法总数为C(M+N-1，N-1) 例6:7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共有________排法. 解:甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分，设四部分人数分别为X1，X2，X3，X4，其中X1，X4》=0，X2，X3》0 先把其余4人看作一样，则不同排法为方程 X1+X2+X3+X4=4的解的个数，令X2=Y2+1，X3=Y3+1 化为求X1+Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数，这与把2个球装入4个盒子的方法一一对应，个数为C(5，3)=10 由于其余四人是不同的人，所以以上每种排法都对应4个人的全排列4～，所以不同排法共有C(5，3)*4～=240种。