机械振动基础

机械振动基础 第4章 机械振动基础 4-1 图示两个弹簧的刚性系数分别为k= 5 kN/m，k = 3 kN/m。物块重量m = 4 kg。求物体1 2自由振动的周期。 k解:根据单自由度系统自由振动的固有频率公式 ,,nm 2π 解出周期 T,,n 图(a)为两弹簧串联，其等效刚度 kk12 k,eqk，k12 kk12所以 ,,n m(k，k)12 m(k，k)2π12 T,,2π,kkn12 代入数据得 4(5000，3000) T,2π,0.290 s 5000，3000 图(b)为两弹簧串联(情况同a) 所以 T = 0.290 s 图(c)为两弹簧并联。 等效刚度 k = k + k eq12 k，k12所以 ,, nm 2πmT,,2π ,k，kn12 代入数据得 T = 0.140 s 图(d)为两弹簧并联(情况实质上同(c))。 所以 T = 0.140 s 4-3 如图所示，质量m = 200 kg的重物在吊索上以等速度v = 5 m/s下降。当下降时，由于 吊索嵌入滑轮的夹子内，吊索的上端突然被夹住，吊索的刚度系数k = 400 kN/m。如不计吊 索的重量，求此后重物振动时吊索中的最大张力。 解:依题意，吊索夹住后，重物作单自由度自由振动，设振幅为A，刚夹住时，吊索处于平 衡位置，以平衡位置为零势能点，当重物达到最低点时其速度v = 0。 根据机械能守恒，系统在平衡位置的动能与最低点的势能相等。即 T = V maxmax m122其中 T,v ， V,kAmaxmax22 mA,v k F,mg，kA,mg，vmk吊索中的最大张力 max 3F,200,9.8，5200,400,10,46.7 kN代入数据得 max 27 4-5 质量为m的小车在斜面上自高度h处滑下，而与缓冲器相碰，如图所示。缓冲弹簧的 。求小车碰着缓冲器后自由振动的周期与振幅。 刚性系数为k，斜面倾角为, 解:取小车为研究对象，假设斜面光滑，选静平衡位置为原点，沿斜面向下为x轴的正向。当弹簧压缩量为x时，小车受恢复力作用，而为弹簧的静压缩量，显然F,k(x，,),00 mgsin, (受力分析如图所示) ,,0k ，，小车自由振动微分方程 mx,mgsin,,k(x，,)0 k，， (1) 即 x，x,0m k2令 , ,nm m2π周期 T,,2π,kn k设微分方程(1)的解为 x,Acos(t，,)m ，x,2gh当t = 0时 x,,,， 000 22mghmgmgsin,2,(，2h)解得 振幅 A,,，0kkk 4-7 质量为m的杆水平地放在两个半径相同的轮上，两轮的中心在同一水平线上，距离为2a。两轮以等值而反向的角速度各绕其中心轴转动，如图所示。杆AB借助与轮接触点的摩擦力的牵带而运动，此摩擦力与杆对滑轮的压力成正比，摩擦因数为f。如将杆的质心C推离其对称位置点O，然后释放。(1)证明质心C的运动为谐振动，并求周期T;(2)若a = 250 mm，T = 2 s时，求摩擦因数f。 解:取AB杆为研究对象，其受力如图所示。以AB杆质心在静平衡位置(即对称位置O)为坐标轴的原点O。 ，，y,0,,,0 1)杆作水平方向(x轴方向)平动，所以。根据平面运动微分方程有 C ，， (1) F,F,mx12 ,, (2) F，F,mg,012 ,, (3) F(a,x),F(a，x),021 ,,式中 F,fF,F,fF1122 axax,，,,由式(2)、(3)解得 及 FmgFmg,,122a2a fmg,,，，把及代入式(1)得 FFmx,,x12a fg，，即 x，x,0a fg2令 ,,na 2 ，，则上式可写为 x，,x,0n 2πa因此，证明了杆AB质心C作谐振动，其周期为 T2π,,,fgn 28 24πaa得 2)由,fT,2π2Tgfg 24π0.25把有关数据代入算得滑动摩擦系数 f,,0.2522,9.8 4-9 均质杆AB = l，质量m，其两端销子可分别在水平槽、铅垂槽中滑动，为静平衡,,0 位置。不计销子质量和摩擦，如水平槽内两弹簧刚度皆为k，求系统微幅振动的固有频率。 又问，弹簧刚度为多大，振动才可能发生。 解: x,lsin, l， ,,vC2 111lm22222，，， (),,,T,m，,ml,,l222126 lk2 (以y = 0位置的重力势能为0) V,cos,,mg，2(lsin,)22 d,Tm2，，,(),l，,dt3, ,Vl2,2klsin,cos,,mgsin,,2, d,,TV代入 ()，,0，,,d,,t ml22，，即 l,，(2klcos,,mg)sin,,032 kg63 ，， ,，(cos,,)sin,,0ml2 kg63，，微振动时，，则 ,,,1,cos,1,sin,,,,，(,),,0ml2 6k3g ,,, nm2l mg6k3g振动能发生的条件为 即 k,,,04lm2l 4-11 如图所示，已知均质杆AB长2l，质量为2m，在中点O与杆CD相铰接，杆CD的角 ,,0速度为，质量不计，CD = 2h，盘簧刚性系数为k，当时，盘簧无变形。求:(1),0 ,当时杆AB微振动的固有频率;(2)当 = 常数时，与的关系;(3)当 = ,,0,,,0常数时，C、D处的约束反力;(4)在 = 常数时，杆AB微振动的频率。 , ，，J,,,k,解:1)以AB杆为研究对象。如，则AB杆绕O轴转动微分方程为 ,,0O 222mml2由于 (2),, JlO123 k3，，将上述方程改写为 ,，,,02ml2 3k故 , (1) ,n22ml 2)以AB杆为研究对象，如 = 常数时，由于AB杆的惯性力矩为 , 29 22l,mml2 2d,sin,cos,sin2,M,r,r,r,I000,03l 由动静法知AB杆的平衡条件为 M,k,I0 ,3k0,故 ,2mlsin2,0 3)以整个系统为研究对象，如图(a)，由动静法知系统的平衡方程为 ,F,0,F,F,0xCxRD ,F,0,F,2mg,0 yCy ,M,0,M，F，Fh,0OIRDCx kM,0I解得 (与原设反向) F,,,,DR2h2h k,0 (与原设反向) F,,Cx2h F,2mgCy 4)设杆AB偏离动平衡位置微小角度，如图(b)所示。杆AB在图示位置时的运动微分, ，，J,,M,k(,，,)方程为 (2) OI0 其中M可参照第2)部分推导得到 I2222,,mlml M,sin2,(，,),(sin2,cos2,，cos2,sin2,)I00033 因角微小，sin2,,2,,cos,,1 于是得 , 22,ml M,(sin2,，2,cos2,]I003 222,2mlml，，把上式代入式(2)中， ,,(sin2,，2,cos2,),k(,，,)00033 22,3k2mlml0，，(sin22cos2)再把式(1)代入，,,,，,,,,k,,k, 000233sin2ml,0 22ml，，即 ,,,k,(1,2,cot2,)003 ,,k3(1,2cot2)00，，故 ,，,,02ml2 3k ,,(1,2,cot2,)n0022ml 4-13 大皮带轮半径为R，质量为m，回转半径为，由刚性系数为k的弹性绳与半径为r, ,,,sin,t的小轮连在一起。设小轮受外力作用作受迫摆动，摆动的规律为，且无论小轮0如何运动都不会使弹性绳松驰或打滑。求大轮稳态振动的振幅。 解:如图(a)，设弹簧原来处于静平衡，当小轮转角，大轮转角时， ,, R,,r,上边弹性绳缩短， (图b) F,k(R,,r,)1 R,,r,下边弹性绳伸长， (图b) F,k(R,,r,)22，，m,,,,2R(R,,r,)k微分方程 30 22，， 即 m,,，2kR,,2Rrk,sin,t0 2,2Rrk2kR0，， ,，,,sin,t22mm,, 22kRR2k, (1) ,,n2,mm, ,2Rrk0 h,2m, 2,Rrk22kRr0,022,,hRmm,,,,稳态振幅: m2222,,22,kRkR22n,,,,22mm,, r,0,r0R,即 ,, (2) m,,221,()R[1,()],,nn 4-15 如图半径为r的半圆柱体，在水平面上只滚动不滑动，已知该柱体对通过质心C且平 行于半圆柱母线的轴的回转半径为，又OC = a。求半圆柱体作微小摆动的频率。 , ，,,Φ,解:设半圆柱微摆动规律为，其最大角速度为，因半圆柱纯,,Φsin(ωt，,)maxnn 滚，点A为半圆柱的速度瞬心(图a)，故半圆柱最大动能为 12,，T,JmaxmaxA2 12222,,,(m，m,AC)Φ n2 122222,[m，m(r，a,2racos)]Φ,,,n2 ，，,,,因在时，弦呈水平，,,0，故 max 12222 T,m[,，(r,a)]Φ,maxn2 以半圆柱静平衡位置为其零势能位置，则半圆柱的最大势能为 Φ2(1cos)2sin V,mga,Φ,mgamax2 1ΦΦ2ΦV,mgaΦ因很微小，，则 sin,max222 ag,由机械能守恒 T= V得 ,max max n22,，(r,a) ,1agn故摆动频率 f,,222π2π,，(r,a) 4-17 用下法测定流体的阻尼系数:在弹簧上悬一薄板A，如图所示。测定它在空气中的自 由振动周期T，然后将薄板放在欲测阻尼系数的液体中，令其振动，测定周期T。液体与12薄板间的阻力等于2scv，其中2s是薄板的表面积，v为其速度，而c为阻尼系数。如薄板 质量为m，试根据实验测得的数据T与T，求阻尼数c。薄板与空气间的阻力略去不计。 12 31 解:以薄板为研究对象，取薄板A上一点的静平衡位置为坐标轴Ox的原点，如图(a)所 ，，，示。由此，列出质点运动微分方程 mx,,kx,2scx 2sck，，，即 x，x，x,0mm sc令 n,m sc nscm,则阻尼比 ,,,T12π,2πmn T12 ,,TT21n,,由公式知，当T = T，T = T时 1,,, T,n1d2d,,2T1,,2,, sc2πm22将代入上式解得 ,Tc,T,T,211sTT2πm12 ,4-19 车厢载有货物，其车架弹簧的静压缩为=50mm，每根铁轨的长度l = 12m，每当车st 轮行驶到轨道接头处都受到冲击，因而当车厢速度达到某一数值时，将发生激烈颠簸，这一 速度称为临界速度。求此临界速度。 解:车厢作受迫振动，干扰力是轨道接头对车轮的冲击力，而 g,车厢固有频率 ,n,st ,冲击力圆频率 ,2π,l lg当时发生共振，车厢激烈颠簸，此时速度为临界速度 v,,,,n2π,st ,将l = 12m，= 0.05 m代入，得车厢临界速度 v = 26.7 m/s st 4-21 电动机质量m = 250kg，由四个刚性系数k = 30kN/m的弹簧支持，如图所示。在电动1 机转子上装有一质量m = 0.2kg的物体，距转轴e = 10mm。已知电动机被限制在铅直方向2 运动，求:(1)发生共振时的转速;(2)当转速为1000 r/min时，稳定振动的振幅。 解:用动静法解，以电动机为研究对象，取静平衡位置为x轴原点，受力与运动分析如图， 则电机在x轴方向的平衡方程为 2，， (1) ,mx，mg,4k(x，,),m,esin,t,01102 4k,,mg系统静平衡时 01 m4k22，，x，x,,esin,t式(1)改写成 mm11 4k故系统的固有频率 ,, nm1 (1)系统共振转速 由于 ,,,n 34k4,30,10故 ,,,,21.9 rad/sm2501 32 30, 转速 n,,209 r/minπ 2)强迫振动的振幅 ( m22,,emh1根据强迫振动振幅公式有 b,,2222,,,,,,nn 20.2,101000π,,,,,25030,,b,,0.0084mm将有关数据代入上式得 21000π,,221.9,,,30,, 4-23 图示弹簧的刚性系数k = 20N/m，其上悬一质量m = 0.1kg的磁棒。磁棒下端穿过一线 = 20sin8πt的电流。式中i以A(安培)计。电流自时间t = 0开始流通，圈，线圈内通过i 并吸引磁棒;在此以前，磁棒在弹簧上保持不动。已知磁棒和线圈间的吸引力为F = 160πi，-6式中F以10N计。求磁棒的受迫振动。 解:以磁棒为研究对象，如图(a)，磁棒悬挂的静平衡位置为原点，设x轴向下，得磁棒运 ，，动微分方程 mx,,kx，F 把有关数据代入 ,6，， mx,,kx，160π,10,20sin8πt ,6k3200π10,，，整理得 xxsin8πt，,mm π 设其解 x = bsin8t h其中 b, 22,,, n -63200π3200π，10,62h由于 ,,10,,0.032π m/sm0.1 k202 ,,,,200 rad/snm0.1 0.032πh,,,0.000233m,0.233mm则 b 22,,,200,(8π)n π故磁棒受迫振动规律 x = 0.233sin8t mm 4-27 图示加速度计安装在蒸汽机的十字头上，十字头沿铅直方向作谐振动。在卷筒上 的振幅等于7mm。设弹簧刚性系数k = 1.2，其上悬挂的重物质量m = 0.1 kg。求十字kN/m头的加速度。(提示:加速度计的固有频率通常都远远大于被测物体振动频率，即,,n,,,1) ,n 解:十字头的在铅垂方向作简谐运动，设其运动方程为 (1) x,asin,t1 以静平衡位置为坐标原点，x轴铅垂向下，则重物的运动微分方程为 ，， mx,,k(x,x)1 kkatsin,，，xx即 ，,mm 33 h 其稳定的受迫振动方程为 ,xsin,t22,,,n kka22其中 ,,,h,,,annmm 因为卷筒上记录的振幅，是重物和卷筒的相对运动振幅，而卷筒的运动就是十字头的运动。 所以 22,a,a x = x - x ,,sin,tsin,tr1222,，，,,n,,,2,,,,1-,n,,,,,n,,，， 2，，,,,,,,,，即令1-,1 欲使测得振幅精确，须使,,,,n,,,,,n,,，， 2,a则有 x,sin,tr2,n2,a由题意知x的振幅 ,7 mmr2,n 22a,,7,即 n 2 ，，由式(1)对t二次求导得 x,,a,sin,t 1 3k1.2，102222，， x,,a,7,,7,7，,84000 mm/s,84 m/s1nmaxm0.1 4-29 已知图示结构，其杠杆可绕点O转动，重量忽略不计。质点A质量为m，在杠杆的 点C加一弹簧CD垂直于OC，刚性系数为k。在点D加一铅直方向干扰位移y = bsint。, 求结构的受迫振动规律。 解:设系统自静平衡位置转过微小角度，如图(a)。设y坐标以向下为正，此时弹性力, F,k(d,,y) 根据刚体绕定轴转动微分方程有 2，，ml,,,k(d,,y)d，mgl, 2,,kdgkdb，，,, ,，,,,sin,t 22,,lmlml,, 22kdgkd,mgl,,,, n22mllml 设结构的受迫振动规律为 ,,bsin,t1 hbdkb,,由于 122222,,,ml(,,,)nn bdk,,sin,t故 222,ml(),,n 2kdg2,,式中 , n2lml 4-31 机械系统与无阻尼动力减振器连接，其简化模型如图所示。已知主体质量为m，主弹n 34 mk11aa;减振器的质量为m，弹簧刚性系数为k，。试求系统的簧刚度为k,,,,,naa55mknn固有频率和振型。 解:选取两物块的平衡位置O、O为坐标原点，两物块的位移分别为x、x，受力如图(a)，1212分别建立两物块的运动微分方程。 ，，,,，(,)mxkxkxx,n1n1a21 ,，，mx,,k(x,x)a2a21, ，，，(，),,0mxkkxkx,n1na1a2即 (1) ,，，mx,kx，kx,0a2a1a2, k，kkknaaa令 a,,b,,c,mmmnna ，，x，ax,bx,0,112)改写成 (2) 则方程(1, ，，xcxcx,，,0212, ,,,sin(，)xAt,1设方程(2)的解为 (3) ,xB,t,,sin(，)2, 其中A、B是振幅，为圆频率，,为初相位，将方程(3)代入方程(2)中，得 , 2,,aAbB(,),,0, (4) ,2,,cA，(c,,)B,0, 42若A、B有非零解，则得频率方程为 ,,(a，c),，c(a,b),0 2a，ca,c,,2解得 (5) ,,,，bc,,1,222,, kk，kkkm11qnaaaa将和已知条件代入式(5)，得 a,,b,,c,,,,,,m5k5mmmnnnna kk22aa,,0.642,,,1.558 1,22mmaa 6kkaa,0.64225mm,Ba,aa11,,,,2.79故 ,1kAba1 5ma 2Ba,,22,,,,1.79 ,2Ab2 11(1)(2),,或 ,,0.358,,,,0.556 ,,12 振型如图(b)、(c)所示。 4-33 图示一均质圆轴，左端固定，在中部和另一端各装有一均质圆盘。每一圆盘对轴的转 动惯量均为J，两段轴的扭转刚性系数均为k，不计轴的质量。试求系统自由扭转振动的频n 率。 解:以整个系统为研究对象，取两盘各自绕平衡位置的转角为、为广义坐标，则系统,,21 1122，，的动能为 ,,T,J，J1222 35 1112222 系统的势能 ()V,k,，k,,,,k,,k,,，k,nnnnn1211122222 112222，，拉氏函数 L = T – V = ()J,，,,k,，k,,,k,nnn12112222代入拉氏方程 d,L,L,(),,0,,,，dt,,,11 ,LLd,,, (),,0,，dt,,,,22, 得到系统振动微分方程组 ,,,，，J，2k,k,0,1n1n2 (1) ,，，J,,k,，k,,02n1n2, ,,,,Asin(t，),1设方程(1)的解为 (2) ,,B,t,,sin(，)2, 式(2)代入式(1)并整理得 2,,(,J，2k)A,kB,0,nn (3) ,2,,kA，(,J,，k)B,0nn, 若振幅A、B有非零解，得频率方程 2242 J,,3Jk,，k,0nn 22223Jk,9Jk,4Jkk3,5nnn2n解得 ,,, ,1,222J2J kknn故 ， ,,0.618,,1.61812JJ 4-35 刚杆AB长l，质量不计，其一端B铰支，另一端固连一质量为m的物体A，其下连接 一刚性系数为k的弹簧，并挂有质量也为m的物体D。杆AB中点用刚性系数也为k的弹簧 拉住，使杆在水平位置平衡。求系统振动的固有频率。 解:以整个系统为研究对象，取如图所示的角和x为系统广义坐标，x轴原点O取在静平, 衡时D的位置，则系统动能 11222，，T,ml，mx ,22 设静平衡位置为零势能点，则系统势能 2,1l1,,2 V,k，k(x,,l) ,,222,, 2,111l1,,2222，， L = T - V,m,l，mx,k,k(x,,l) ,, 22222,, 代入拉氏方程 ,d,L,L,,,,0,,,，,dt,,,,,, (1) ,d,L,L,,,,,0,,,，dt,x,x,,, 得系统的振动微分方程组 36 5kk,，，,,，,x,0,,4mml (2) ,kkl,，，,x，x,,0,mm, 设方程(2)的解为 ,,,,sin(，)At, (3) ,x,Bsin(,t，,), 代入方程(2)中并整理得 ,5kk,,2,,A,B,0,,,4mml,,, (4) ,klk,,2,A,B,，,,0,,,mm,,, 若振幅A、B有非零解，则得频率方程 25kkk,,42 ,,，,，,0,,24mm4m,, ,,965k,2,,,, 解得 1,2,,8m,, kk ，1.46 0.342,,,,12mm 4-37 在题4-33中，若在盘A上作用一干扰力矩M = Msinpt，试求两圆盘的受迫振动。 0 解:以整个系统为研究对象，设、分别为圆盘I、圆盘II相对于固定端的转角，则得,,21 I、II的运动微分分程 ，，J,,,k，k(,,,),1nn21 (1) ,，，J,,,k(,,,)，Msinpt2n210,设方程(1)的稳态解为 ,,Asinpt,1 (2) ,,,Bsinpt2, 把式(2)式代入(1)，并整理得 2,(2k,Jp)A,kB,0,nn (3) ,2,,kA，(k,Jp)B,Mnn0, 由方程(3)解得 MkkM0nn0A,,22422422,,J(,3p，p)(2k,Jp)(k,Jp),knnnnn 22(2k,Jp)M2k,Jpn0nB,A,24224kJ(,,3,p，p)nnn k2n式中 ,,nJ 把A、B代入方程(2)中，得系统的受迫振动方程 37 kMn0,,sinpt124224,,J(,3p，p)nn 2(2k,Jp)Mn0,sinpt,224224J(,,3,p，p)nn 38