复变小结

复变 初等函数小结 ,,在复平面内处处解析, ,,,zx,定义:满足的函数,，,eeyiyfzfz(cossin)()(),,, x,,,当时，,,Im0()zfze ,,, zzxz,,,,,,，eeeArgeyk0,,()2, ,,,指数函数zzzz，1212,,, eee,,,, ,周期性:,Tki2,,,性质:, ,,,,zz ,在整个复平面上处处解析，且,ee,，，,, ,,z,不存在lime, ,,z,,,, ,定义:指数函数的反函数，解得LnzziArgz,，ln||, ,,多值函数，主值lnzziargz,，ln||, ,,,, ,z1,,LnzzLnzLnzLnLnzLnz(),,，,,, 121212,,z,,2对数函数,, 初等函数1,性质:,1, ,,解析性:在原点与负实轴上不连续，lnz,,,,z ,,, 1z,n,n,LnzLnzLnznLnzLnzLnzLnLnzLnz,，，,,,,,？,,0, ,nz,,, ,,,aaLnz ,定义:ze,,, ,,,nnn,1,面内处处解析且,anz,,是单值函数，在整个复平znz ,，，,,, ,,,11,,,,,1 11,,nn,,值函数，除原点与负实轴外处处解析且anzz,,,幂函数,,, ,nn,,性质:,,, ,,,p ,互质，值函数apqq,,,,,q ,,, ,, ,,aa,1为无理数或复数无穷多值函数，除原点与负实轴外处处解析且,azaz,,，，,,, , , ,, izizizizixixixix,,,,,,,,eeeeeeee，,，, 定义:欧拉公式)cos,sincos,sin(zzxx,,,,,,,,2222ii ,, ,,sincoszz、都是单值函数, ,,, 周期性:，定义中指数含有Ti,2(),,,, ,,,cossinzz是偶函数，是奇函数 , ,, ,,,,,解析性:在整个复平面内处处解析且zzzz,,,cossin,sincos ，，，，,,, ,无界性,,三角函数, ,,,,,性质:,, ,,,, ,,,,,(1)cos()coszzz,,,cossinsinzzz ,121212,,,, ,,三角公式,,,(2)sin()sincossincoszzzzzz,121221,,, ,22,，,(3)sincos1zz,,, ,,,,sincos11zz, ,,,,,,(4)tan,cot,sec,csczzzz,,,,cossincossinzzzz,,, ,zz,zzxxxx,,, ,,，,eeeeeeee,，,,,定义:,cosh,sinhzzxx,,,,,cosh,sinh初等函数2, ,2222ii,, ,,sinhcoshzz、都是单值函数, ,,,周期性:，定义中指数不含有Tii,2(), ,,,,,, coshsinhzz是偶函数，是奇函数,,, ,,,,,解析性:在整个复平面内处处解析且zzzz,,coshsinh,sinhcosh，，，， ,,, ,,,,,,,, 双曲函数,,,,,, 性质:,,,, ,,,,coshcos,sinhsiniyyiyiy,,,, ,,,,,基本公式coscosh,sinsinhiyyiyiy,, ,,,,,, cos(x，iyxiyxiyxyixy)coscossinsincoscoshsinsinh,,,,,,,, ,,sin()sincossincossincoshsinhcosxiyxiyiyxxyiyx，,，,，,,,, ,,,，,，cosh()coshcossinhsinxiyxyixy,, ,,,,,sinh()sinhcoscoshsinxiyxyixy，,，, ,,,, , ,, ,, 2反余弦函数:ArcziLnzzcos(1),,，,,, ,,2 反三角函数反正弦函数:ArcziLnizzsin(1),,，,,, ,,iiz1，, ,,,反正切函数:ArczLntan ,,21iz, 初等函数3, ,,2反双曲余弦函数:ArchzLnzz,，,(1);, , ,2, 反双曲函数反双曲正弦函数:ArshzLnzz,，，(1);,, ,,11，z ,反双曲正切函数:ArthzLn,().,,,21z , 复变函数积分小结 ,,第二类曲线积分:Iuivdxidy,，，()() ,C,, ,,若与积分路径无关:Ifzdz,(),C,,1, fzdz(),,,,C ,定积分:，已知积分曲线的复数形式参数方程IfztztdtCzzt,,(())()(),,,, ,,z1,,牛顿莱布尼茨公式:,,,fzdzGzGz()()() 10,z,0,, ,,fzdzfzC()0(),，在所围成的区域内处处解析 (柯西-古萨基本积分定理), ,C,, ,,0,0n,1,,dz,, n，1 ,C,,2,0,in,()zz,,0,复积分, ,fz(), ,,dzifz2()(柯西积分公式),0 ,,C,()zz,0 ,,fzi()2,,()n ,fzdz(),dzfz()(高阶导数公式),0n，1 , ,,CC,()!zzn 0,,, ,,fzdzfzdz()()(闭路变形定理) ,,,CC1, ,n, ,,fzdzfzdz()()(复合闭路定理),, ,,CCk, k,1,,n, ,,fzdzisfzz()2Re[(),](留数定理),k, ,C ,,,k,1,, 复数列级数敛散性小结 ,,,limxx,n0,n,,,, )1limzz,,,n0n,,,limyy,,n0,, n,,,,1、复数列极限:limz,nn,, ,)，2lim0lim0zz,,,,nnnn,,,,,, ,(适合于实部和虚部不容易求得的复数列极限),, , , ,,,,, 复数列,,1)若，则必发散,(若收敛lim0lim0)zzzz,,,nnnn,,, nn,,,,,nn,,00,, ,,,,,,xy收敛和收敛2、复数列级数:2)复数列级数收敛实数列级数zz, nn,,,,,nn,nn,,00,,nn00,, ,,,, 3)若级数(正项级数)收敛绝对收敛zz,,,,nn,,,nn00 ,, ,,(适合于实部和虚部不容易求得的复数列级数) ,, ,1,,,1,z, n,1z、1,z,,,n,0, ,1发散，z,,, ,C1,n，1lim,R,1)比值法:=则,,,, n,,,C,nn2Cz、收敛半径,,,n n,0,1,nlim,CR,2)根值法:=则,n,,n,, ,,,,, n3CzR、收敛区域:在半径为在圆域内绝对收敛，在圆外发散，,n,n,0 ,,在圆周上可能收敛、可能发散、可能有些点收敛有些点发散 ,,n, 4Cz、的和函数:求收敛域(收敛半径)、,n,n,0 ,,逐项微分、逐项积分n,在收敛域内求和函数,,,,,,,,z ,,n,0, ,,,,,, (1)在圆域内解析fzzzR,,()0,,,, ,,,n1)泰勒级数定理()可展开为幂，且唯一fzCz2(),,n,, n,0,,,()n,,fz,() 0(3)C,,,n,n!, ,,,,,1,n ,,zz(1),1,,,,,z1n,0,,,n,,,,zz,ez,,，,(2),,,,,,nn!幂级数Cz,,n,0,,,,n、泰勒级数直接展开法52),,n,0(21)n，,,zn,,,zz,,,，,(3)sin(1),,,,n，(21)!,n,0,,,2n,z,,n,,,,，,(zz4)cos(1),,,,,n(2)!,n,0,,逐项微分、逐项积分、求导、求积分等方法,,,,,,,,,,,,,3)间接展开法上面展开式,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,fzRzzR()(1)在圆环域内解析102,,,,,,,n2()fzCz1)泰勒级数定理()可展开为幂，且唯一,,,n,,n,,,,,,,1()f,,,C(3),d,,n,n，1 ,C,i2(z),,,,0,,,6、洛朗级数,2)直接展开法,,nnzz,R01,,RzzR,,,,,,1,1,,,,,,102,zzR11zzR,0102,,,,,,,,,,,,3),间接展开法或,,,,,,,,,,RzzzzR,,,,10nn,,00,,02,,11,,zzR,02,,,,,,,,,,,, 孤立奇点、留数小结 ,,,洛朗级数展开中不含有负幂项,,,,,可去奇点 ,lim(),()lim()fzCfzfz,,令可以使其解析,00,,zzzz,,,00, ,,, ,洛朗级数展开中含有项负幂项,mC,0,,,,m,,,, ,,缺点是无法判断是几阶极点lim(),fz,,,,zz,0 ,,,,,,1, ,,阶极点zzm,,其中在某解析且fzgzgzUzgz()(),()(),()0,,000m,,()zz, 0,,,,,, 定义判断,,1,,,zzm,是的阶零点,0,, ,,fz()导数判断,,,,, ,,洛朗级数展开中含有无穷多项负幂项,,, ,,本性奇点,,,,,不存在(非)lim()fz,, 孤立奇点,,,zz,,0,,,,,洛朗级数展开中不含有正幂项,,,,,可去奇点,,,奇点,,,令可以使其解析lim(),()lim()fzCffz,0,,,,zz,,,,,,,,,,,,,,,洛朗级数展开中含有项正幂项,,mC0m,,,,,,,,,缺点是无法判断是几阶极点lim(),fz,,阶极点zm,,,z,,,,,,,定义判断,1,,,,,是的阶零点zm,,,,,导数判断fz(),,,,,,,,洛朗级数展开中含有无穷多项正幂项,,,,本性奇点,,,lim(),,不存在(非)fz,,,,,z,,,,, ,11,,如:有奇点及，故不是孤立奇点()000,,,,,fzzzzn,1n,,sin,,非孤立奇点z,,,1,如:有奇点及，故不是孤立奇点()sin,,,,,,,,fzzznz,,n,,z,,1,按定义:在展开为洛朗级数式中的系数，记作fzzzRzzCsfzz()0()Re[(),],,,,0010,,可去奇点:展开式中不含负幂项，C,0,,,1,,,Re[(),]lim()()sfzzzzfz,,,00,,,zz0,,,,一阶极点,,Pz(),0,,Re[(),],()0()0()0sfzzPzQzQz,,,,其中，，,,0000,,,,Qz()0,,留数,,,,m,1按孤立奇点类型极点,,,,1dmRe[(),]sfzz,,lim()()zzfz,,,00,m,1zz,0(1)m,!dz,,,,m阶极点:,mn，,1,,,1dmn，,,,,,Re[(),]lim()()sfzzzzfz,00mn，,1,zz,0，,(1)!mndz,,,,,,,本性奇点:按定义计算Re[(),]sfzz,,0,, 解析函数小结 fzfzfzzfz()()()(),，,,,,000,1)定义:fz()limlim,, 0,,0zzz,,,0zzz,,0, ,,2)证明不可导:与多元函数导数(极限)不存在证明相似, ,,,,uv, ,,3())fzi,，1()、在处导数:fzz0,0,,xx, ,,,,, ,,连续:可导lim()(),fzfz,连续，且其中,，,，,,,,,fzfzfzzzzz()()()(),lim()0,,0,,00zz,0,,z0,,4)关系: ,,,,,,,可微:可导可微,，,，,,,fzfzfzzozdfzfzdz()()()(),()(), 00,,,, ,,, ,1)定义:在及的某一领域内处处可导zz,00 ,,,2)在区域在处处可导与区域内处处解析等价 ,,,3)解析函数一定可以单独用来表示wuxyivxyz,，(,)(,),,,4)解析函数有任意阶导数，且仍是解析函数,,,Pz(),,5)在分母不等于零的区域内处处解析,Qz(),,,,uxyvxyxy(,)(,)(,)、在可微,,002()()、在处区域内解析fzzD,,0,6)充要条件,,,,uvuv,,,满足方程:CR,,,,,,,,,,,,xyyx,,,,、在处偏导数连续,uxyvxyxy(,)(,)(,),,00解析函数,,,)充分条件7,,,,uvuv,,,满足方程:,,,,CR,,,,,,,xyyx,,,,8)必要条件:、都是区域内调和函数uxyvxyD(,)(,),,,,9)充要条件:是的共轭调和函数提供构造解析函数的依据,vxyuxy(,)(,),,,在区域内二阶偏导数连续,D,,,,221)定义,,,,,,,满足二维拉普拉斯方程:，,0,22,,,,xy,,,、区域内调和函数3(,)xyD,,,、都是调和函数(,)(,)xyxy,,,,,,,)是的共轭调和函数2(,)(,)xyxy,,,,,,,,,,,,,满足方程:,,,,CR,,,,,,,xyyx,,,,,, ,, ,,,,,,uvuv,1)偏积分法:,,,,,,,,,xyyx,, ,,,,,,uuvv,,,,4、构造解析函数2)不定积分法:,,,,，,,,fziUzfziVzfzUz()(),()()()()dz,,,,,,xyyx,,,,,u,u,,,22xy(,),,,,,,uuuuuu,y,,x,，,,,,,，,,,,，，0,dxdydvvdxdyc3)线积分法:22,,xy(,)00,,,,,,,,,xyxyyxyx,,,