利用空间向量证垂直关系

利用空间向量证垂直关系 利用空间向量证明垂直关系 主讲教师:巫宇霞 【知识概述】 利用空间向量证明垂直关系 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 线线垂直:l?ma?ba?b=0; ,, 线面垂直:l?αa //u a = ku; ,, 面面垂直:α?βu?vu?v=0. ,, 【学前诊断】 1. [难度]易 ABCDABCD,ACBD,ADBC,已知空间四边形中，，，求证:( 2( [难度]易 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD? 底面ABCD( 证明:AB?平面VAD( V CD AB 3( [难度]中 正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是BB、CD的中点， 11111 求证:平面AED?平面AFD. 11 1 ?选修2-1 【经典例题】 例1. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA?底面00ABC，PA=AB，?ABC=60，?BCA=90， 点D，E分别在棱PB，PC上，且DE?BC. 求证:BC?平面PAC. 例2( 在圆锥PO中，已知，?O的直径AB=2，C是AB弧的中点，D为ACPO=2 的中点( POD,证明:平面平面PAC( PABCD,ABCDPA,例3( 如图，在四棱锥中，平面， ,ABCDAB,2，,BAD60底面是菱形，，，当 平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长. ABCDABCD,例4. 如图,已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且1111 CD,，当的值为多少时能使，,，,，,CCBCCDBCD6011CC1 ACCBD,平面,请给出证明. 11 2 数学?选修2-1 PO,例5. 如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，平面ABC，垂足O 落在线段AD上，已知BC=8，PO=4， AO=3，OD=2，在线段AP上是否存在点M， 使得二面角A-MC-B为直二面角,若存在，求出AM的长;若不存在，请说明理由. P C A OD B 【本课总结】 1.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直. 2.证明线面垂直的方法: ?证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量; ?证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直. 3.证明面面垂直的方法: ?转化为线线垂直、线面垂直的处理; ?证明两个平面的法向量互相垂直. 【活学活用】 CA1. [难度]易 11 B1ABCABC,111E如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是 BCCC1CF的中点，动点在侧棱上，且不与点重合(当 FCFAC1EF=1时，求证:?. A C EB 3 数学?选修2-1 2. [难度]中 POPOCAC2AB,2DAB如图，在圆锥中，已知=，?O的直径,是的中点，为 PODPAC,的中点(证明:平面平面; 3( [难度]难 PABCD,ABCDPAABCD,平面如图，在四棱锥中，，底面是菱形， ABBAD,，,:260，. BDPAC,平面(?)求证:; ACPAAB,PB(?)若，求与所成角的余弦值; PBCPDCPA(?)当平面与平面垂直时，求的长. 4 数学?选修2-1