可测函数与连续函数下载_Word模板_14

首页 > 可测函数与连续函数

is_731942

暂无简介

可测函数与连续函数可测函数与连续函数【摘要】本文从是什么，为什么，怎么样三个角度出发，首先介绍了一些相关的基本概念，之后叙述了将可测函数与连续函数联系起来的必要性和实际方法。【关键词】可测函数连续函数几乎处处逼近 1. 是什么——什么是可测函数第三章主要围绕可测函数展开，那么本文首先对可测函数进行一个简单的概述，同时对之后证明是需要用到的一些定义和引理进行描述。 1.1基本定义可测函数：设f ( x)是定义在可测集Ea ]都是可测集,则称f ( x)为定义在E上的可测函数连续函数：　设f ( x)是定义在集U ( x) ...

可测函数与连续函数【摘要】本文从是什么，为什么，怎么样三个角度出发，首先介绍了一些相关的基本概念，之后叙述了将可测函数与连续函数联系起来的必要性和实际

方法

快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf 计算方法pdf 华与华方法下载八字理论方法下载

。【关键词】可测函数连续函数几乎处处逼近 1. 是什么——什么是可测函数第三章主要围绕可测函数展开，那么本文首先对可测函数进行一个简单的概述，同时对之后证明是需要用到的一些定义和引理进行描述。 1.1基本定义可测函数：设f ( x)是定义在可测集Ea ]都是可测集,则称f ( x)为定义在E上的可测函数连续函数：　设f ( x)是定义在集U ( x) ∩Ea ] E上的有限函数,如果对Pε> 0, v 5 > 0,使得P x∈∪( x0 ; 5) ,有| f ( x) - f ( x0 ) | <ε,那么称函数f ( x)在点x0 处连续. 如果f ( x)在E中每一点都连续,则称f ( x)在E上连续. 几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集，，且使得性质P在上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。几乎处处有限的可测函数：设，是定义于的函数，，假如则称沿在连续；假如沿内任意一点都连续，则称沿连续。 1.2基本定理定理3.3.1 设是一个紧集，是一列沿连续的函数。若在上一致收敛于，则也沿连续。定理3.3.2（Egoroff）设和都是测度有限的集上的几乎处处有限的可测函数。若在上几乎处处收敛于，则对任何并且在上一致收敛于。引理3.3.1设是中的闭集，函数沿连续，则可以开拓成上的连续函数，并且 = 。引理3.3.2设是可测集上的简单函数。则对任何有沿连续的函数使。 2. 为什么——为什么把可测函数与连续函数联系起来数学分析中，我们关注的是函数的分析性质：连续性，可微性，可积性。但是一旦我们发现一个函数不连续，就认为这个函数性质不好，不再关心他。这是不对的。事实上，我们可以进一步分析，它的光滑程度如何？不连续点多吗？如果可以，我们可以对函数做一个小范围的修正，转化为我们熟悉的连续函数再进行接下来的研究。第三章学习的重点是简单函数，连续函数，可测函数之间的相互逼近，我们知道，任何一个可测函数正恰是一列简单函数逐点收敛的极限，也是一列连续函数几乎处处收敛的极限。通过这样的逼近推广，就可以将基于可测函数的问题一般化常规化。因此，本文的重点在如何将可测函数与连续函数完美的联系起来，为以后通过连续函数来分析可测函数做一个铺垫。 3. 怎么样——详细论证联系的过程 3.1连续函数的可测性定理1　可测集上的连续函数都是可测函数。证明: 对任意，设，则由连续性假设，存在x的某邻域，使。因此，令，则：反之，显然有，因此：从而：但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交仍为可测集，即为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。但可测函数不一定连续例例：可测函数Dirichlit函数在上处处间断 3.2用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数，并且：证明：此时是开集，其中开区间族两两不相交。今定义则显然是R上的连续函数，它是f的开拓。引理得证。引理2：设是可测集上的简单函数。则对任何，有没的连续的函数使证明：不妨设 ,其中都是实数且两两不同。令 ,则两两不相交且 .现对每一，令是的闭子集且此时易知沿闭集连续。由引理1，作为上的函数可以开拓成沿连续的函数，此时引理证毕。定理1（Lusin）设为可测集上几乎处处有限的可测函数，则对任意的，有沿连续的函数使，并且。（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）证明：不失一般性设在上处处有限。先设是有限可测集。由定理2.3，有上的简单函数列 ,使。现对每一 ,由引理2.2，存在沿连续的函数，使，令 , 则并且在上。由于有界,所以存在的有界闭子集 ,使得在上一致收敛于并且。再由定理2.2，沿连续.这样由引理2.1，作为上的函数可以开拓成沿连续的函数。此时。这样我们在有界的条件下证明了定理。对一般的，此时对每一整数，令则都是有界的。从而由上段证明，对每一，存在的闭子集 ,使沿连续，并且此时是闭集，并且沿连续。由引理2.1，作为上的函数可以开拓成上的连续的函数，并且。定理证毕。推论若是上几乎处处有限的可测函数，则对任何，有上连续函数，使，并且。定理2 设为可测集，为上的实函数，如果对任何，存在闭集，使在上连续，且，则为上可测。定理3 设为上的可测集，是上几乎处处有限的可测函数，则对任何，存在闭集，及上的连续函数，使 (1) 在。 (2) 。如果在E上，还可要求 . 证明：由定理1，有闭集，使，而是上的连续函数，因此问题在于扩张上的，使其在整个空间上连续。是有界闭集，因此是从一闭区间中去掉有限个或可数多个互不相交的开区间而成，设这些开区间是，现在我们定义一个函数，使此外，当时，令的图形是联的直线，当及时，分别联 , 及 , 的直线，于是是整个直线上的连续函数，且满足定理的各项要求。【参考文献】周性伟.实变函数.北京：科学出版社，2010 戴培良.可测函数与连续函数的关系.常熟理工学院学报，2008年2月第22卷第2期

本文档为【可测函数与连续函数】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。

可测函数与连续函数

热门搜索

历史搜索