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高中线性规划

2017-10-11 4页 doc 15KB 10阅读

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高中线性规划高中线性规划 一、 线性规划: 在高中阶段,所要学习的线性规划是比较简单的。在这个阶段,线性规划的定义为 求一个函数,在一定区域内的最大或最小值。用数学语言描述为 目标函数: 或 minaxby,maxaxby, 约束条件:第一象限内的两条直线,将这两条直线记为 (这是第一条直线) mxnyb,,111 (这是第二条直线) mxnyb,,222 (第一象限内都是正的) xy,xy,,0,0 以上的各个字母为已知的数。上面的数学语言也许很难,不过,我们可以先通过一个例子来认识线性规划 求 max24xy, 约束条件: ...
高中线性规划
高中线性规划 一、 线性规划: 在高中阶段,所要学习的线性规划是比较简单的。在这个阶段,线性规划的定义为 求一个函数,在一定区域内的最大或最小值。用数学语言描述为 目标函数: 或 minaxby,maxaxby, 约束条件:第一象限内的两条直线,将这两条直线记为 (这是第一条直线) mxnyb,,111 (这是第二条直线) mxnyb,,222 (第一象限内都是正的) xy,xy,,0,0 以上的各个字母为已知的数。上面的数学语言也许很难,不过,我们可以先通过一个例子来认识线性规划 求 max24xy, 约束条件: xy,,1 22xy,, xy,,0,0 这个线性规划的意义是:求函数在由第一象限内的两条直线与围成的区域内的最大值。 24xy,xy,,2030xy,, 在高中阶段解决线性规划用的是图解法。意为先把区域图出来,再令目标函数=0,得到一条直线,用这条直线沿 区域自左向右移动(或从下往上移),看求最大值还是最小值,如果求最小值则是直线与区域交的第一点。如果求最大 值,则是直线与区域交的最后一点。 下面先看两个例子。 例1. min24xy, 约束条件: xy,,1 22xy,, xy,,0,0 解:先画出图形: y 22xy,,直线与区域交的第后一点 (0,2) 240xy,, 直线与区域交的第一个点 (1,0) x o xy,,1 所求的区域为上图阴影部分。令目标函数,因为求的是最小值,我们找到直线与区域交的第一个点(1,0),240xy,, 于是将这个点代入到目标函数的最小值 21402,,,, 例2. max23xy, 约束条件: xy,,1 23xy,, xy,,0,0 解:画出图形得 23xy,, 直线与区域交的最后一点 (2,1) 230xy,, x o xy,,1 直线与区域交的第一个点 (0,0) 令目标函数230xy,,,因为求的是最大值,我们找到直线与区域交的最后一点(2,1),于是将这个点代入到目标函数的最大值 22317,,,, 总结:上面的解过程,显示了区域的重要性,试想,如果区域画错,则所选取第一个点与最后一个点出错,则整个题出错。因此如何画出正确区域,是解题的关键。 画出正确区域:1,画出直线。我们可以用两点确定一条直线,找到直线上两个点,然后连接这两个点就得到这条直线。2,找区域。主要是确定区域在直线的左边还是右边,我们可以代入一些特殊的点。比如(0,0)。如果代入的点不满足不等式,则含(0,0)侧的区域不满足不等式,排除之。 心得:我们发现,一般情况下,直线所围成的区域是一个多边形;不管是求最大值,还是求最小值,最终选取的 那个点一定是区域的顶点;有时候,所有约束所围成的区域不是封闭的,这时候,线性规划无解;当目标函数的直线 与线束条件的直线平行时,此时,目标函数将有无穷多个解。 线性规划的深入: 下面先看第一个例子 例3( max235xy,,约束条件: xy,,1 23xy,, xy,,0,0 ,5分析这个例子,它与例2区别只有一个,就是目标函数多了“”,试想下,如果例2能求到最大值,则例3的 最大值也就是例2的最大值+5,因为例2的最大值为7,所以例3的最大值为7+5=12.(如果例3的目标函数是 ,那么你现在会做了吗,) max236xy,, 例4. max23xy, 约束条件: xy,,1 23xy,, xy,,1,1 分析这个例子,他与例2的区别是。我们回过头去看线性规划,它的要求是 xy,,1,1 ,那么这个题怎么做呢,我们可以令,那么代入到上面,就得到xy,,0,0mxny,,,,1,1xmyn,,,,1,1 下面的问题 max2(1)3(1)mn,,,约束条件: (1)(1)1mn,,,, 2(1)(1)3mn,,,, mn,,,,11,11化简得到下面的问题: max235mn,, 约束条件: mn,,1 24mn,, mn,,0,0 而这个问题,可以使用例3的想法。
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