Hilbert空间中Chebyshev集的弱太阳性

Hilbert空间中Chebyshev集的弱太阳性 Hilbert空间中Chebyshev集的弱太阳性 第l9卷第3期浙江师太学j5,(自I}!}科学椒) 19968月JOURNALOFZHEJ1ANGNORMALUNIVERSITY~_.] Vo{.19.No3 Aug.1996 Hilbert空间中Chebyshev集的弱太阳性' 何国龙 (It学系) 摘要 A奉文首先Hlbert空间中,太阳粲的一十提升性质 阳性质. 荚键词:悬堕;查兰;!!!!塞 O./ 然后揭示H[tbert空间中的Chebyshev集其前太 毒伯韵 设x是赋范线性空闻,G是其中的非空子集,对?x,若go?G满足j1—gcll= inf_l—g【l,则称是G对-z的最佳逼近元,G对的最佳逼近元全体记为凡(z). 定义1Gx,G??,我们定义: (1)xEX,g.?只),称g.是关于z的太阳点,若g?Pt;(x,),其中z,:m+fr一), f>1: (2)称G是5.太阳集,若对任意r6_X,当P"()?时有:Vg.E(),g.是关于的太 阳点i (3)称G是S太阳集,若G是存在性集,即Vx6_X,P(1z)?,而且对V?,存在g.? ()是关于的太阳点; (4)称G是5.太阳集,若G既是太阳集又是太阳集,或等价地说G是存在性太 阳集 Efimov和Steckin[最早引进的太阳集是上面5意义的太阳集,而Brosowski在文献 [2] 中称之为口一太阳集;D,Braess定义的太阳集([3]?2定义2.1)是上述5意义的太阳集,按文 献[2]的定义,太阳集相当于存在性卢-太阳;D,Bracss的所谓严格太阳即是上述的.太阳 集{我们这里统一地引用文献[43中的称法. 在Hilbert空问中,我们知道5太阳集等价于闭凸集,5太阳集是半Chcbyshev集.我 们首先证明Hilbert空问中5太阳集具有一个提升性质,然后揭示Hilbert空间上的Cheby— she集具弱太阳性质. 定理l若H.是Hilbert空闻H的闭子空问,GH.,刚G在H.中是s.太阳集当且仅 当G在H中是太阳集. 证明当G在H中是太阳集,由H.是?的子空问段太阳点定义不难说明G在?. ?浙江省教委基金资助谭腰. 车文于1996年1月26?收到 浙江挪大t自{;l;科学艋)19e6年 中也是s太阳集I反之,由于?.是闭子空间,则H可直交分解,即: H=H0?,也即V?H,:.+,其中.?.,yoE?},记xo~Px为直交投影分 量,即一P)上H.,Vg?GHo有 lIx--gIIj—lI—Pr+P一8.一ilx--PxiI2+l{Px-gtl.+2<一Pz,Pz一耳> 一 ll一P0+Pr—l} 从而有:Pc()?声筒P.(P)? g.?0)(?.中)舒?Pc)(?中) 由投影算子P的性质,对五=+}(一),t>O有P(五)P(go+f(x--go))=+,(一) 一(Px)t,因此若G?.是太阳集,从而对Vz?,PxEH.有: g.?Pc(P){耳.?PG((P)})=j(P(,)) 所以V?H go?Pc(x)C:Og.?,(Px)C:Og.?P((P3c)t)C:~g.?Pc(P(五)){耳o?PG(五) 从而G是?中的太阳集 对HRhert空间?中的非空子集K,若Vz?H,有P0)是单点集,则称为Chebyshev 集,这时P是?到上的算子,记诱导的距离函数为d(?);Hilbert空间中,个有趣而 着名的问是Chebyshev集是否凸的问题,也即Chebyshev集是否具有太阳性质(S或S)的 问题,下面讨论Hilbert空问中Chebyshev集的一些性质,说明Hilbert空问中的Chebyshev集 具有弱太阳性质. 定义2称是d一太阳集_3],若对Vz?X\K,K在.r点满足一太阳条件:存在{), ?,一且曼土:型一I. 称是几乎(弱几乎)太阳集,若存在X\K的稠G子集(稠子集)A,使得在V?A 处满足太阳条件. 定义3称几乎凸,若任给与有正距离的球B(x,r)具移动球性质Vr>r.存在球 B(,r)满足B(,一)B(x,r),B(,r)n一. 我们知道,在Hi|bert空问中,对任意非空子集K,P是单调的,即: V?P(),?P()有(七一k,lr—aT:)?0 称Px极大单调若.不存在真的单调扩张;称Px几乎极太单调,若P在一稠G集上与一 极大单调映照相等. 引理1脚是Banach空间的闭子集,的范数Frechet可微且一致Gateaux可徽,且 z'的相应范数也为Freche~可散,则对?X\K,下列条件等价; (1)(?)在处Freche~可微l (2)(?)在处Gateaux可微;且范数的导数为1; (3)(')在处连续(即Px在处单值.且V士士及?P()有一P)). 引理2K是Banach空间X的闭子集,~EX\K,d(?)在z处Gate丑ux可微? P(z),则<d(),z,y>一fIz—ylj,l】dd()11—1,其中ddx()为dx(.)在点的 Gateaux散分. 引理3K是Hilbert空间H中的子集,则下列条件互相等价; - 第3期Hilben室问中Chebshev集的弱阳性何国盘13 (1)K是闭凸集 (2)K是Ehebyshev集,且P连续; (3)P极大单调; (4)K是Chebyshev集,dx(?)在H上Gateaux可微; (5)K是Chebyshev集,(?)在H\K上Frechet可微j (8)K是Chebyshev集,又是一太阳集; (7)K是Chebyshev集,又是几乎凸的. 证明(1),(2),(3)的等价性可以从文献Is}中得到; (2),(4),(5)的等价性可从引理1,2及在上平凡连续得到t (1)(6)【7)(1)只须注意到:Banach空间中的一太阳集是几乎凸的,而且在一致凸 Banash空间中几乎凸Chebyshev集是S.太阳集,从而光滑一致凸Banash空间中的 几乎凸 Chebyshev集是闭凸集;Hilbert空间显然是光滑一致凸的,而且Hilbert空间中的闭 凸集是. 太阳集,而.太阳集必是一太阳集. 定理2是Hilbert空间中的Chehyshev集,则: (1)Px在H上几乎极大单调; (2)d在H上几乎Gateaux可微; (3)d在?上几乎Frechet可微; (4)dx在H\K上几乎Gateaux可微,且G微分的范数为1; ()dx在H\K上几乎Frechet可微; (6)K是几乎太阳集; (7)Px在H上几乎连续. 证明(1)对Vz?H作 仕(z)一sup(妇,)一ffkIf/2;?K} 易证(?)是H上的连续凸函数,从而在H上的次微分是极大单调的.ilii~Vz ??t若C-P),则C-却Or)也即()鼢((a9. Hilbert空间是Asplund空间,从而释在H的一个稠G子集上Prechet可微,从而Vz ?At(1z)为单点集,又由于是Chebyshev可微,从而VC-A,P(工)?声,扶而有:P(z)一 )对V3;7EA成立.从而尸在H上几乎极大单调. (2),(3)可作为S.Fitzpatrick中结论的特殊情形;光滑自反局部一致凸Banach空间X 中的闲子集K,d(?)在x上几乎Frechet可微. (4),(5),若A是H中的稠G子集,则可令 , , _nA,其中{A32-一是H中的,稠开集列,AN(H\)一n.n(HkK)). 是Chebyshev集,从而K是闭集,H\K是开集,从而An(H\)在H\K中相对开, 且: ————————————————一————,————一 Arn(H\):n(H\)一ttkK及An(HkK)一n(H\)一H\K kA~{A.n(H\)}是HkK中的稠开集列,即An(H\)是?\中的稠集 (6)由于当在ccEH\K处Gateaux可微时,有: 14淅l椰大(自I}=;科学版1 <靠),—P(i)>:li—P其中P0)?Px(x) 令=?o,一1 由d(?)在z处的Gateaux可微性知: (—--)一d() ——_——一<(i),Y>一1 从而取一z+告有:/-x.一z可得K在z处满足太阳条件,从而由于dK(?)在 H\K上几乎Gateaux可微即得K是几乎一太阳集. (7)(?)在H的一个稠G子集上Frechet可微.由引理l,2知P在A\K上连续,而 P在上的连续性是平凡的,从而P在A上连续,即P在H上几乎连续. 注:1961年V.Klee提出猜想:可能存在无限维Hilbert空间(或许是不可分的),其中 有不 凸的Chebyshev集;E.Aspluad进一步说明了:若Klee猜想为真,则在这种空间中存在Klee嗣 (非凸Chebyshev集,它的余集是有界开凸集);我们知道P不连续点只有可数的Chebyshev 集K是闭凸集,从而Hilbert空间H中的Klee洞有如下性质:(d)P的不连续点; 0)靠(?)的不可微点;(c)H\K中不满足8一太阳条件的点,都是不可数的第一纲集. 定理3K是Banach空间x的非空间子集,若存在X\K的稠子集.4,使得对球心.75?A 且与K有正距离的球B(x,r)具移动球性质,则K是几乎凸的. 证明设B(,r)是任意的与有正距离的球,不妨设()一r—E.e>0.从而z? X\K. 若?A,则B(x,r)具移动球性质; 若xEA,由A的稠性,取;?A.使得ll;一l<?,考虑球B(;,r+妻),由于;EA,则 对V>r+?,存在球B(x,r),满足B(x,r)B(王,r一丢),且B(工.r)nK一. 而这个球也包含B(x,r),因为VY?,r).则 一 主I1?IlY—zI{+Il上一主}I<r下5-<r+ 从而?B(;,r+?),也即B(,r)也可作为对(.r)的移动球. 而对r<r?r+?,取z=,这时 B(,r)一B(,r)B(,r)且 ()=K):r+e>r+?,从而B(x.rjnK一. 故K几乎凸的. 推论光滑Banach空间中的存在性集是弱几乎0太阳集 证明在定理2中我们证明了:若如在-?\处可微,且尸(2-)?,则在娅满足 d太阳条件,对于K,距离函数d是Lipschitz函数,从而根据I,ipschitz函数的可微性定理.当 光滑时在X的一个稠子集G上可微,从而K是弱几乎8太阳集. 第3期Hilbert空间中cshev集的弱太甩性何国龙 参考文献 1Efimov,SteckinSomepropertiesofchebyshevDoklAka3Nauk1985.I18:17,19 2Rr~owskiBNichtlinearapproximstioninnormiertenVektorrsumenISNM,1969.10l14O,159 3BraessDNonlinearspproximafiontheoryBeylinSpringer—Verlag-1g85 4棘士英关于广义凸槊和太阳集浙江师大.1990,13(1):1,4 5BerensHBestapproximationinHilbertspace.in:ApproxlmstionFheorytI1?EDE.WCheneyAcademicPress1NC. 1980:1,20 6FRzpatrmkS.MetricprojectionsandthedifferenfiabiIkyofdistancefuaedonsBullAustra~MathBee1908{22:291, 322 7何国龙关于Papiai的一十问题浙江师大举报.1992.15(3):6,12 WeakSolarityofChebyshevSetinHilbertSpace HeGuolong (Departmetg,Mathoaahcs) ABSTRACT InthispapertheauthorprovedaliftingpropertyofSl-sunsinclosedsubspaces.fHilbcrt spaces,andthenprovedeachChebyshevsetKinaHi~bertspaceHhasalmostthesolarkv. Keywords:bestapproximation;surtset;Chebyshevset (责任编辑琦立方)