降低度量计算突出直观想象——新课标湖北卷对文科立体几何内容的考查研究

降低度量计算突出直观想象——新课标湖北卷对文科立体几何内容的考查研究 降低度量计算突出直观想象——新课标湖北卷对文科 立体几何内容的考查研究 数学通报 年 第卷第期 降低度量计算 突出直观想象 ??新课标湖北卷对文科立体几何内容的考查研究 周远方 张 利 湖北省教学研究室 湖北省教育考试院 引言 对于空间的角与距离的度量计算和考查要求.当 立体几何的内容是高中数学的重要组成部 然,由于文理两科均增加了三视 图的内容,又给考 分,《普通高中数学课程实验》以下简称 查空间想象能力提供了更多的素材,拓宽了高考 “课标”对立体几何的教学作了重大的结构调整 命题的思路. 和教学要求改变.“课标”中的立体几何定位于培 针对文科立体几何考核目 标的变化,高考命 养和发展学生的几何直观能力、空间想象能力和 题对文科立体几何以能力 立意的命题原则进行了 推理论证能力等,在处理方式上,与以往按照点、 新的探索,尝试总结了如下的考查原则: 线、面、体从局部到整体展开几何内容的方式不 降低度量计算,强调几何直观,体现推理论证 同,“课标”按照从“整体一局部一整体”的原则展 的基本要求,突出几何模型的实际应用,侧重于考 开,突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算 查考生的几何直观能力、空间想象能力和图形应 等探索研究几何的过程.其内容分层设计和分科 用能力. 要求,文理两科共同学习必修《数学》中的“立体 文科立体几何内容的考查探索 几何初步”,主要是通过直观感知、操作确认,获得 新课标湖北卷的文科立体几何命题,坚持文科 几何图形的性质,并通过简单的推理发现、论证一 重视数学知识的工具性和形象性的定位,在准确把 些几何性质,对于进一步的论证与度量则放在选 握“课标”在立体几何初步对文科考生的基本要求 修《数学?》“空间向量与立体几何”中用向量方 的前提下,改变了传统的立体几何试题的命题方 法处理日,并只要求理科学生学习和掌握. 式,通过三视图模型化、背景素材生活化和实际问 基于上述文理两科立体几何的教学内容、思 题抽象化等一系列做法,探索了实施“课标”后文科 想方法和知能要求的差异,以及由此所带来的高 立体几何与实际应用问题相结合的考查方式. . 考立体几何文理两科的考查要求的变化,对实施 依托实物模型的三视图。突出考查几何直观能力 “课标”后的高考文科立体几何考核目标的研究就 空间图形的三视图作为“课标”中新增内容, 显得十分重要.本文将结合新课标湖北卷的文科 要求“能画出空间图形长方体、棱柱、圆柱、圆锥、 立体几何试题进行研究. 球等的简易组合的三视图,并能识别上述三视图 文科立体几何内容的考查定位 所表示的立体模型”.据此,高考命题将三视图的 尽管课标版《考试大纲》与大纲版相比,对空 考查定位于简单的立体模型,要求考生能从对三 间想象能力的要求本质没有变化,即能根据条件 视图概念的理解与应用出发,能通过“实物模型一 作出正确的图形,根据图形想象出直观形象;能正 三视图一直观图”这样一个相互转化的过程识别 确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对 空间几何体,并结合相关多面体、旋转体的体积和 图形进行分解、组合.但由于“课标”在“立体几 表面积的计算问题,着重 考查学生的看图识图能 何初步”适当减弱了几何论证的难度,而空问向量 力,关注考生能否将三视图转化为立体模型,实现 的方法又只针对理科要求,因而也就降低了文科 平面图形与空间图形的相互转化. 万方数据 年 第卷 第期 数学通报 例年湖北卷文科第题已知某 ?年湖北卷理科第题一个几何体 几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个 . 为 简单几何体组成,其体积分别记为。,:,, 。,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个 简单几何体均为多面体,则有 ?,‘’~~ . . . . 、 、、../ , 、、、?,,, 侧视图 争畸 僦一瑚 侧视图 平卧式哩传模型 图 本题设计的三视图是由三个圆柱组合而成的 蘑一囵 几何体,其实物模型实际是如题所示的一种平卧式 亘啪亘 俯视图 组合鸭:模型 哑铃,要求考生能观察出三视图的对称特征,应用 图 所学的三视图的知识,想象出其实物形状还原成相 年的理科第题的实物模型是一个截 应的立体模型,并通过识别相关几何元素的度量 圆柱体,与文科试题相比,难度大一些,而年 值,求出其体积.本题作为我省第一份新课标卷中 理科第题的设计选择了一种组合式路灯模型, 考查“三视图”的试题,在突出考查几何直观能力和 以其构成的简单组合体的体积大小而设问,难度 空间想象能力同时,与理科试题案例?,其实物 提升的同时,还可以使考生认识到:三视图表示的 模型是一个截圆柱体相比,有意降低了难度,实测 几何体有时是不惟一的,即有些由简单几何体 数据表明,切合文科考生的实际水平. 组成的组合体,三视图有时可能无法区别其中的 例?年湖北卷理科第题已知某几 简单几何体,如该几何体中间的圆柱与棱柱,两者 何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 交换位置后,其三视图不变. .娑 .不 .结合实际问题中的立体模型。突出考查空间 想象能力 .半. 立体几何在土木建筑、机械设计、勘探测绘等 大量实际问题中都有着广泛的应用,学习立体几 何知识对学生更好地认识身边的环境具有重要价 值和意义.“课标”对文科立体几何度量计算降低 要求,迫使高考文科立体几何的命题寻求开辟新 的命题思路,以源于社会、源于生活、源于课本的 实际问题和素材为背景,从中抽象出相关的几何 图形,将实际问题转化为数学问题,为考生营造一 夕 种构建立体模型的学习环境,通过化解立体模型 解决问题的同时,有效地考查考生的空间想象 能力. 俯视图 截圆柱 例年湖北卷文科第题某个实 图 万方数据 数学通报 年第卷第期 心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部 矿层厚度为,。。.同样可得在,处正下 是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四 方的矿层厚度分别为,。一:,。。。,且 棱台。。,。一,上部是一个底面与四棱 ,。。.过,的中点,且与直线 台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱 。平行的平面截多面体。,,一。。:所 ?. 得的截面为该多面体的一个中截面,其面 证明:直线。。平面::; 积记为中. ?现需要对该零部件表面进行防腐处理. 证明:中截面是梯形; 已知,?,,单 ?在中,记,边上的高为 位:厘米,每平方厘米的加工处理费为.元, ,面积为.’在估测三角形区域内正下方 需加工处理费多少元 的矿藏储量即多面体。。。一。。。的体积 本题源于人教版《数学》第页习题 时,可用近似公式‰一中?来估算.已知 .组第题: ?,。。,试判断估与的大小关 如图是一个烟筒的直观图图中单位: 系,并加以证明. ,它的下部是一个四棱台上、下底面均是正 方形,侧面是全等的等腰梯形形物体;上部是一 个四棱柱底面与四棱台的上底面重合,侧面是全 等的矩形形物体.为防止雨水的浸蚀,增加美 观,需要粘贴瓷砖,需要瓷砖多少平方厘米结果 爿 精确到 占 图 图 占 为了体现模型的公平性,更有利于考生理解 一:一 题意,在不改变棱柱与棱台组合体结构的前提下, 设计时将烟筒模型更换成实心零部件,并增加了 图 线面垂直关系的证明.其设问则采用“证”、“算” 本题的实际应用背景仍然与社会生产实际有 结合的方式,既考查了考生将该零部件表面进行 机结合,所涉及到的几何体一种特殊的拟柱 防腐处理转化为该几何体表面积的运算求解能 体??截三棱柱,又称为楔体也是取材于人教 力,又体现了对基本的线面垂直关系进行推理论 版教材《数学》第二章。。的例: 证的能力要求.本题源于课本又略高于课本,贴 如图所示的一块木料中,棱平行于面 近文科考生实际,实测表明该题是全卷解答题中. 考生得分最好的一道题. 要经过面 内的一点和棱将木 例年湖北卷文科第题如图, 料锯开,应怎样画线 某地质队自水平地面,,三处垂直向地下钻 所画的线和平面是什么位置关系 探,自点向下钻到。处发现矿藏,再继续下钻 如图,经过木料表面 内的一点和棱 到。处后下面已无矿,从而得到在处正下方的 将木料锯开,实际上是经过及外一点作 万方数据年 第卷 第期 数学通报 学文化教育,已经成为当今数学教育改革的一个 重要特征.新课标湖北卷延续了依托古今数学 史料、渗透数学文化价值的一贯作法,特别是针对 文科学生形象思维较强的特点,通过在试题背景 中融人数学史料的做法,挖掘出其中隐含的数学 思想,以考查考生的数学素养为目的,让考生在潜 图 移默化之中接受数学文化的熏陶,从而迸发出思 维的火花,实现数学知识、思想和方法的迁移. 例年湖北卷文科第题我国古 代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在 下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆 盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深 一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是 图 寸. 截面,也就是找出平面与平面的交线. 注:?平地降雨量等于盆中积水体积除以盆 本题的立意更加新颖,试题的设计立足于将 口面积;?一尺等于十寸 证明线面平行与垂直和估算体积置于从实际问题 正如数学家华罗庚所说:中华民族是最擅长 抽象出的立体模型之中,要求考生能运用线面平 数学的民族.“天池盆测雨”是我国古代利用立体 行和垂直的判定与性质证明给出的中截面是梯 模型和数学思想方法解决实际问题的代表之一, 形,有效地检测了考生的空间想象能力和化归与 在秦九韶所著的《数书九章》卷第题的原题为 转化的思想;同时要求考生研究该多面体体积的 问:今州郡都有天池盆,以测雨水.但知以盆 近似计算公式与精确计算公式之间的误差问题, 中之水为得雨之数.不知器形不同,则受雨多少亦 又具有较强的实际意义,充分体现了文科学生学 异,未可以所测,便为平地得雨之数.假令盆口径 习立体几何的实用价值. 二尺八寸,底径一尺二寸、深一尺八寸,接雨水深 试题在设计时为降低难度,直接作出了该多 九寸.欲求:平地雨降几何凹。 面体的一个中截面,而且为了避免讨论,选择了与 最短棱和相对侧面平行的这个中截面,所给出的 体积精确计算公式,蕴含着截三棱柱的体积等于 它的直截面面积和侧棱长的平均值的乘积. 事实上,该截三棱柱的中截面共有如图所 簪寸褥寸 示的三种作法,这三种作法所得到的中截面都是 图 图 梯形,从而取不同的中截面所对应的近似公式估 本题选取该题的后半部分,并通过加工改造 测体积的近似度也是有差异的.通过计算比较, 和加注解释的方式降低了理解题意的难度.重在 不难得出,三个估计值中,其精确度取决于该截三 让考生将平地降雨量化归为圆台的体积计算的同 棱柱的三条侧棱长的大小关系,当三条侧棱长均 时,领悟古代之所以将天池盆设计成上大下小的 相等时,三个估计值都是精确值;当三条侧棱中有 圆台而不是圆柱,是使降雨量在盆中的深度差别 且仅有两条相等时,精确度最好的是棱长相等的 更大,以利于提高测量平地降雨量的精确度的道 两条侧棱所对应的估计值;当三条侧棱长两两互 理.试题需要考生根据题意自己作出圆台型天池 不相等时,精确度最好的是侧棱长居中的那条侧 棱所对应的估计值. 盆的直观图如图或截面图如图,并利用 .借助数学史料中的几何模型,突出考查图形 平面几何的知识先求出水面直 径。,再由圆台的 体积公式计算盆中接雨水的体积,从而得出平地 应用能力 下转封底 关注学生数学文化意识的养成、努力推进数 万方数据浙江省慈溪实验中学华漫天 年月号问题 在正项数列。申。,对任意正整数咒,均有 来稿请注明出处??编者 嗣口?蠢去咒扎口砚?% 若%咒,口口口口?。口。 恒成立,求证:口。孢. 口。,证明 咸阳师范学院基础教育课程研究中心 口口口 口口铂 安振平 ~ 一 设,,是三个互不相同的数,且一, 口口口\ , , ,,,,, .若 ?弋万乡一百‘ ,求,,. 江苏省常熟市中学查正开 北京师范大学数学科学学院 廖永明 如图,四边形中,对角线平分 么,且满足一?,、分别为 已知口,,是正数,且.试 /与?的内心,连结交于. 证明: 求证:由击壶. 十百十了十虿口?号. 日 江苏省宿迁市文广新局 张延卫 上接第页 降雨量.试题体现了“课标”要求的“无图想图”、“无 参考文献 图作图”的理念,有效地考查考生的图形应用能力. 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准实验. 试题立意于数学文化,联系课本知识,远离复习 北京:人民教育出版社, 资料,避免了题型套路和题海战术的干扰,在充分展 刘绍学,钱佩玲.普通高中学课程标准实验教科书数学必 示我国古代数学家从社会生活的实际需要出发所展 修?数学一选修版.北京:人民教育出版 社, 现出的高超的数学智慧的同时,又为深入探索试题 翕求是。高中数学颜课程立体几何教学问题研究口.数学教 的“源”与“本”提供了进一步研究的空间. 学,,:? 结语 张劲松.浅谈高中数学新课程中“立体几何”部分的内容与要 培养学生空间想象能力是立体几何的真正价 求.中学数学教学参考,上半月高中,,:? 值之所在,而实施“课标”后的文科立体几何降低几 任子朝,陈昂.实施《课 程标准》后高考数学能力考查研究. 数学通报,,:? 何度量、突出直观想象的特点,又着实对文科立体 朱胜强.三视图表示的几何体不唯一的一个简单反例.数 几何的命题提出了新的挑战.新课标湖北卷的文 学通报。,;? 科立体几何试题,在力求引导学生从实际问题中具 孙贤铭.多面体与旋转体.浙江:浙江人民出版社, 体直观的立体模型出发,突出体现模型化、生活化、 刘洁民.浅析高中数学课程中的数学文化.数学通报, ,:一 直观化和综合化的考查特点上,进行了一些有益的 吴文俊.中国数学史大系第卷?两宋.北京:北京师 尝试.今后还需要在结合文科立体几何试题的应 范大学出版社, 用性和创新性与试题难度的匹配程度上引,进一 陈昂,任子朝.数学文、理科试卷难度调控策略.数学通 步加强探索,为积极引导文科立体几何内容的教学 报,,:? 方式的转变和命题改革的深化做出新的贡献. 全国各地邮局订购 代号:?。 全年定价:.。。元 每期定价..。。元 刊号:等品竿笺潲 万方数据