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能带论基础

2017-10-07 5页 doc 35KB 15阅读

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能带论基础能带论基础 ?5-2 能带论基础 5. 2. 1 三个重要假设 晶体是由大量电子及原子核组成的多粒子系统,但晶体的许多电子过程仅与外层电子有关,因此,可以将晶体看作由外层的价电子及离子实(由内部电子与核构成)组成的系统。系统中粒子的状态由薛定谔方程: ˆ…………………………………(5-2-1) ,,,HE ˆH的解来描述。式中是晶体的哈密顿算符,ψ是晶体的波函数,E是晶体的能量。这里晶体的哈密顿算符包括电子的动能算符、离子的动能算符、电子与电子的相互作用算符、离子与离子的相互作用算符以及电子与离子的相互作用算符等,如果晶...
能带论基础
能带论基础 ?5-2 能带论基础 5. 2. 1 三个重要假设 晶体是由大量电子及原子核组成的多粒子系统,但晶体的许多电子过程仅与外层电子有关,因此,可以将晶体看作由外层的价电子及离子实(由内部电子与核构成)组成的系统。系统中粒子的状态由薛定谔方程: ˆ…………………………………(5-2-1) ,,,HE ˆH的解来描述。式中是晶体的哈密顿算符,ψ是晶体的波函数,E是晶体的能量。这里晶体的哈密顿算符包括电子的动能算符、离子的动能算符、电子与电子的相互作用算符、离子与离子的相互作用算符以及电子与离子的相互作用算符等,如果晶体由N个原子组成,每个原子都有Z个电子,那么薛定谔方程(5-2-1)2224就包含了3(Z+1)N个变量,这样,方程的变量数就高达10~10(或更高)的数量级。这样多的方程目前是无法求解的,为此需对方程进行特殊处理。能带理论就利用了下面的三个近似假设,将多粒子问题简化为单电子在周期场中运动的问题。能带理论的这三个基本假设是: (1)绝热近似 由于离子质量远大于电子质量,故离子的运动速度远小于电子的运动速度。当原子核运动时,电子极易调整它的位置,跟上原子核的运动。而当电子运动时,可近似认为原子核还来不及跟上,保持不动。这样,在考虑电子的运动时,可以认为离子实固定在其瞬时新加坡 ,可把电子的运动与离子实的运动分开处理,称玻恩—奥本哈莫近似或绝热近似。通过绝热近拟,把一个多粒子体系问题简化为一个多电子体系。 (2)单电子近似 多电子体系仍然是一个很大的体系,直接求解式(5-2-1)也有困难,需要进一步简化。认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动,称为哈特里(Hartree)—福克(Fock)自洽场近似,也称为单电子近似。单电子近似把一个多电子问题转化为一个单元电子问题。 (3)周期场近似 单电子近似使得相互作用的电子系统简化为无相互作用的电子系统。由于晶格的周期性,我们可以合理地假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性,即U (r)=U (r+R),其中R=na+na+na中正格n112233矢。这个近似称为周期场近似。所以,能带理论有时被称为周期场理论。 采用这些假设后,晶体中的电子状态问题变成一个电子在周期性势场中的运动问题,使问题大简化,但却导致能带理论具有局限性。 5. 2. 2 布洛赫定理及其证明 在经过上述的三个近似之后,晶体中电子的状态就可以用周期性场中电子的状态来描述,薛定谔方程则为: 22[()],,,,UrrEr,,…………………………………(5-2-2) ,,,,2m 布洛赫证明,周期场中的电子的波函数是一个调幅的平面波,即: ikr,…………………………………(5-2-3) ,()()rr,euk 其中(r)具有晶格周期性,即…………………………………(5-2-4)uu()()rrR,,kkn 上述结论称为布洛赫(Bloch)定理.把周期性调幅的平面波称为布洛赫波,把用布渊赫描述的电子称为布洛赫电子。波函数(5-2-3)中指数部分表明它是一个平面波,u( r )为平面波的振幅,它不是一个常k 数,与位置有关,并具有晶格周期性。波函数中,k是平面波的波矢,也可看成是标志状态的量子数。 下面来证明布洛赫定理。晶体势场的周期性是晶体具有平称对称性的反映,据此我们引入平移算符 ,它作用到波函数上将使函数变量从r移到,即 TR()rR,nn TRrrR,,,,…………………………………(5-2-5) ,,,,,,nn 由于势能具有晶格对称性,使得哈密顿算符H与平移算符是互相对移的,即 TR()n TRHrHrRrRHTr()(),,,,,,,………………………………(5-2-6),,,,,,nnn 由于平移算符与顺序无关,不同的平衡算符之间也是对易的,即 TRTRrTRRrTRTRr()()()()(),,,,,,………………………(5-2-7),,,,,,nmmnnm 其中和代表不同的正格矢,按照量子力学原理,两个相互对易的算符必有共同的本征函数。可见,RRnm 哈密顿算符的本征函数ψ(r)也是各平移算符的本征函数,即 TRrr(),,,,……………………(5-2-8) ,,,,nn 其中λ为平移算符的本征值,可把它写成: TR()nn ikRn…………………(5-2-9) ,,en 这种写法可满足平移算符连续作用时所遵守的加法关系,即 ikRn,TRr,,re,,,,,,,,n……………………(5-2-10) ,ikRmTRrre,,,,,,,,,,m, ikRR(),nmTRTRrrTRRr()()(),,,,,,e则有:……………………(5-2-11),,,,,,mnnm 由式(5-2-10)中第一式可得: ikRn,,rRr,,e……………………(5-2-12) ,,,,n ikRne上式说明周期势场中电子的波函数的又一性质:不同原胞的对应点上,波函数差一个位相因子,此位相因子不影响波函数模的大小。所以,不同原胞对应点上,电子出现的几率是相同的。式(5-2-12)是布洛赫定理的另一表达形式,即满足式(5-2-12)的波函数也满足布洛赫定理。由式(5-2-3)得: ikrue()rr,,……………………(5-2-13) ,, 把上式中变量r移到r+R,则有: n,,,,iiiikrRkr+RkRkR()(),ikrnnnnueeeee()()rRrRrR,,,,,,,,……………………(5-2-14),,knnkn ,,,iikrRkR()(),,iikrkr()nnueeeeu()()()()rRrRrrr,,,,,,,,,……………………(5-2-15),,knn 在上式的第2个等式中利用了式(5-1-12),说明具有晶格周期性,这样就可以证明布洛赫定理了。 5. 2. 3 周期性边界条件 波矢k的取值由边界条件确定。设沿3个基矢方向的晶体原胞数目为和,晶体的NN,aaa,,N121233总原胞数为,根据周期性边界条件有: NNNN,123 ,,rNar,,,,1,2,3.i……………………(5-2-16) ,,,,ii 将式(5-2-12)代入(5-2-16),可以得到: iNkaii,,,rarr,,,Ne……………………(5-2-17) ,,,,,,ii iNkaiie,1即:或,为整数。……………………(5-2-18) kaNl,2,liiii 根据:……………………(5-2-19) kbbb,,,hhh112233 将(5-2-19)代入(5-2-18),并利用正格子基矢与倒格子基矢的正交关系,可以得到: lll312kbbb,,,…………………(5-2-20) 123NNN123 表明满足周期性边界条件的布洛赫波的波矢只能取一些分立值。在波矢量空间中,一个分立的波矢量所占的体积可表示为: *bbbV312…………………(5-2-21) ,,,,k()NNNN123*V上式中的为倒格子原胞体积。由于一个布里渊区的体积刚好等于倒格子原胞的体积,所以在一个布里渊区中共有N个分立的波矢,可容纳2N个电子(这里设N为晶体的原胞数)。
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