2011年重庆市高考数学文科试卷

2011年重庆市高考数学文科卷解析版 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1．在等差数列 中， ， ＝（  ）. A．12    B．14    C．16    D．18 【】D  【解析】 ， ，则 . 2．设 ，则 =（  ）. A．[0，2]    B．     C．     D． 【答案】A  【解析】由题意 ，所以 . 3．曲线 在点（1,2）处的切线方程为（  ）. A．   B．     C．     D． 【答案】A 【解析】求导 ，得 ，由点斜式得切线方程： ， 整理得 . 4．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克） 125    120    122    105    130    114    116    95    120    134 则样本数据落在 内的频率为（  ）. A．0.2    B．0.3    C．0.4    D．0.5 【答案】C  【解析】在 内的有4个，故概率为 . 5．已知向量 共线，那么 的值为（  ）. A．1            B．2               C．3          D．4 【答案】D  【解析】 ，其与 共线，则 ，解得 ， 则 . 6．设 的大小关系是 A．     B．     C．     D． 【答案】B  【解析】化简 ， ， （不变）， 因为 是单调递增函数，且 ，所以 . 7．若函数 在 处取最小值，则 （  ）. A．             B．         C．3    D．4    【答案】C 【解析】∵ ，∴ ，由基本不等式： ， 当且仅当 时取等号，此时 或1，∵ ，∴取 . 8．若△ 的内角， 满足 ，则 （  ）. A．     B．     C．       D．   【答案】D 【解析】 ， 由正弦定理知 ， 由余弦定理得 . 9．设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（  ）. A．       B．     C．     D． ,   【答案】B 【解析】设双曲线为 ，则左焦点 ，渐近线： ，左准线： ， 以AB为直径的圆： . 在园内，则满足： ，即 ， 即 ，所以 . 10．高为 的四棱锥 的底面是边长为1的正方形，点 、 、 、 、 均在半径为1的同一球面上，则底面 的中心与顶点 之间的距离为（  ）. A．           B．         C．     D．   【答案】A 【解析】图略.设球心为O，底面 的中心为 ，过S作垂直于 垂面，得圆的截面，设圆心为 ，则 共线，连接OC，OS，SD，由题意知：OC=OS=1， ， ， 所以 ，所以 ， 从而 ， 所以在△ 中， . 二、填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分 11． 的展开式中 的系数是                【答案】240 【解析】由二项式定里，展开式单项为 ， 代入 ，得 的系数 . 12．若 , 且 ，则         【答案】 【解析】因为 且 ，所以 ， 所以 . 13．过原点的直线与圆 相交所得弦的长为2，则该直线的方程为        【答案】 或 【解析】由题意圆心坐标为（1,2），半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直线过圆心， 设直线方程为 或 ，代入（1,2）得 ，所以直线是 或 14．从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为     【答案】 【解析】10选3共有 种可能，有甲无乙的情况有 种，所以概率为 . 15．若实数 的最大值是      答案： 【解析】由 ，得 ，所以 . 由题设得 ， 所以 . 三、解答题，本大题共6小题，共25分. 16．（13分） 设 是公比为正数的等比数列， ， . （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）设 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列 的前 项和 . 解：（I）设q为等比数列 的公比，则由 ， 即 ，解得 （舍去），因此 所以 的通项为 （II） 17．（13分） 某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （I）没有人申请A片区房源的概率； （II）每个片区的房源都有人申请的概率. 解：这是等可能性事件的概率计算问题. （I）所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种. 记“没有人申请A片区房源”为事件A，则 （II）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有 种. 记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有 18．（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分） 设函数 （1）求 的最小正周期； （II）若函数 的图象按 平移后得到函数 的图象， 求 在 上的最大值. 解：（I） 故 的最小正周期为 （II）依题意 当 为增函数， 所以 上的最大值为 19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小题5分，（Ⅱ）小题7分） 设 的导数为 ，若函数 的图像关于直线 对称，且 ． （Ⅰ）求实数 的值；  （Ⅱ）求函数 的极值. 解：（I）因 从而 即 关于直线 对称，从而由题设条件知 又由于 （II）由（I）知 令 当 上为增函数； 当 上为减函数； 当 上为增函数； 从而函数 处取得极大值 处取得极小值 20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 如题（20）图，在四面体 中，平面ABC⊥平面 ， （Ⅰ）求四面体ABCD的体积； （Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值. 解：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F， 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF 是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点， 则由AC=AD，知AG⊥CD，从而 由 故四面体ABCD的体积 （II）如答（20）图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE. 由（I）知DF⊥平面ABC. 由三垂线定理知DE⊥AB，故∠DEF为二面角C—AB—D的平面角. 在 在 中，EF//BC，从而EF：BC=AF：AC，所以 在Rt△DEF中， 21．（本小题满分12分.（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 如题（21）图，椭圆的中心为原点 ，离心率e= ，一条准线的方程是 （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）设动点P满足： ，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为 ，问：是否存在定点F，使得 与点P到直线l： 的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，理由. 解：（I）由 解得 ，故椭圆的标准方程为 （II）设 ，则由 得 因为点M，N在椭圆 上，所以 ， 故 设 分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此 所以 所以P点是椭圆 上的点，该椭圆的右焦点为 ，离心率 是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点 ，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值.