扑克牌魔术中的数学

扑克牌魔术中的数学 上海中学数学?2011年第3期 扑克牌魔术中的数学 726400陕西师范大学数学与信息科学学院徐世斌罗新兵 有一类神奇的扑克牌魔术,当我们看到魔 术师经过令人眼花缭乱的洗牌,抽派,翻牌的动 作之后,在他的手上出现了所想要的牌.其实, 它是利用数学中的"中位数"知识来完成的. 首先拿一副扑克牌,让一位同学从这副牌 中任意抽出15张牌(注意:一定要强调任意抽 出,这样可以增加魔术效果),然后进行如下操作: (1)将牌面向其他人展开,请一位同学在心 中从这15张牌中选定一张牌. (2)先将牌合起来后,然后由上到下按1至 15的顺序将牌分为三列,即每列5张牌. (3)举起一列牌,让同学辨认他选定的牌在 不在这列牌里,如果在第一列牌里,停止询问, 将第一列牌放在第二列和第三列中间,然后将 三列牌合上;如果第一列牌没有,举起第二列进 行确认,再将三列牌合上,完成一次操作. (4)再将这15张牌由上到下按1至15的 顺序将牌分为三列,重复(3)的动作. (5)接着第三次将牌分成三列,重复(3)的 动作,一共进行三次操作. (6)将牌合上后,从上方按顺序拿牌,口中 说着"你心中想的牌是",同时将一张牌翻过来, 它就是同学选定的牌. 这个魔术会让同学目瞪口呆,因为牌是同 学心里选定的,没有拿出来,也没有做任何记 号,魔术师是怎么知道的呢? 现在运用数学知识来分析魔术的原理.为 了便于描述,将牌进行编号,用115表示.请 同学选一张牌,任何一张牌都有选上的可能.假 设选定的那张牌的编号是12,第一次分牌后,第 12张牌在第三列,合牌时,将第三列放在第一列 和第二列的中间,即第12张牌在新序列1里处 于第9张牌的位置;第二次分牌后这张牌在第 三列,合牌时,将第三列放在第一列和第二列中 间,即这张牌在新序列2里处于第8张牌的位 置;第三次分牌后,这张牌在第二列,合牌时将 第二列放在第一列和第三列的中间,此时这张 牌在新序列3里处于第8张牌的位置,开始翻 牌,"你心中想的牌是"刚好7个字,说完后翻过 来的牌就是第8张牌,也就是选定的那张牌. 是不是只有选择的12号牌才具有这个性 质呢?假定任意选择一张牌,那么这张牌所在 列在第一次同学确认后放到了中间列,即是说 任选的牌在新序列1的区间范围是[6,1O],L6, 1O]在第二次分牌时处于第二行,第三行和第四 行,在第二次同学确认后,放在中间列,此时它 在新序列2的区间范围是[7,9],[7,9]在第三 次分牌时都处于第三行,在第三次同学确认后, 放在中间列,此时它在新序列3的位置就是第8 张牌.配合上"你心中想的牌是"这句话来揭晓 谜底,就营造了一种神秘的环境,凸显了魔术的 神奇之处.事实上第8张牌在15张牌中处于一 个特殊的位置,它就是数学上的中位数,通过三 次操作后,将不确定的某张牌按这样的规律移 到了中间,即中位数所在的位置. 第一次第二次第三次 新序列1:1,4,7,10,13,3,6,9,l12l,15,2, 5,8,11,14; 新序列2:1,10,6,15,8,7,3,j12『,5,14,4, 13,9,2,11; 新序列3:1,15,3,14,9,1O,8,l12l,4,2,6, 7,5,13,11. 在这个扑克牌的魔术中,每次对牌进行确 认之后,一定要将选定扑克牌所在的列放在中 间.只有这样,才能保证经过一定次数的发牌之 后,所选的牌移到中位数的位置上. 如果选择21张牌进行魔术表演,那么经过 3次这样的操作后第ll张牌就是观众所选的 牌;如果选择27张牌进行魔术表演,那么经过3 次这样的操作后第14张牌就是观众所选的牌. 选择牌的总数增加,那么操作的次数就要增加, 最终都是将选定的牌移到中位数的位置.由于 中位数在序列为奇数的时候才能找到真实确定 的值与之对应,所以此魔术只能在牌数能被3 整除的奇数时才能找到选定的牌. 下面来分析牌的数目与分牌次数的关系. 为了叙述方便,将牌换成卡片,并且给卡片分别 标上1,2,3,…当卡片数为21的时候比较简单, 先看卡片数为27时是什么样的情形? 28上海中学数学?2011年第3期 假定任意选择一张卡片,那么这张卡片所 在列在同学第一次确认后放到了中间列,即是 说任选的卡片在新序列1的区问范围是[1O, 18],[10,18]在第二次分卡片时处于第四行,第 五行和第六行.不妨假设同学第一次确认后,卡 片在第1O个位置上,在第二次确认后就在第13 个位置上,在第三次确认后就在第14个位置上 了,这时恰好是中位数的位置.根据对称性,在 12号位置上的情形和1O号位置一样,13,15号 位置的情形同lO,12号位置的第二次确认后的 情形一样.事实上只需两次分卡片就可以了,但 第三次的分卡片并不影响位于中位数上的卡片 的位置.若是16号,在第二次确认后就在15号 位置了,第三次确认的情形就同15号一样了, 由对称性可知,18号位置上卡片与16号位置的 情况一样.而l1,14,17号位置上卡片的情形与 其同行不同列的情形一样. 15,21,27张卡片需要三次这样的操作就可 以了,那其他情形怎样呢?再来看一种卡片更 多的情形,假设选取了33张卡片,经过第一次 确认后放在中间列,在新序列1的区间范围是 [12,22],E12,22]在第二次分卡片时处于第四 行,第五行第六行,第七行和第八行.不妨假设 第一次确认后卡片在第12个位置上,在第二次 确认后在第l5个位置上,在第三次确认后在第 16个位置上,在第四次确认后在第17个位置 上,这个位置恰好是33张卡片的中位数的位 置.根据重复性与对称性可知,对于在新序列1 中处于13—22号位置上的卡片最多经过四次 这样的操作,就移到了中位数的位置了.对于 39,45,5l,57,…81张卡片,大家可以推知:经过 四次这样的操作后,卡片就移到了中位数的位 置,列表1进行归纳. 通过表1可以看出,所选的卡片数应该满 足a一9+6b(b?N..),当卡片数不小于33张的 时候,需要经过4次这样的操作,是不是所有满 足口一9+6b(b?N)的都需要4次操作呢? 假设卡片数为N一3m(m为奇数),经过 次操作后就找到了,那么经过次后卡片的位 置是K—m+ll+1,通过分析得知,需要操L.J 作次数最多的那些卡片经过第一次操作后,其 中有一张卡片在第一列或者第三列,则经过第 一 次操作后卡片的位置为L—+1,或L=m+ 2,或L—m+3,考虑其中L:m+1的情形,其 他两种情形可以类似的分析,则在第二次操作 ,一-1一 后卡片的位置为L=m+ff或L=优+L0 r_『mr1]+1,不妨设L=+r](另#1-一 L0L0J 种情形类似),经过第三次操作后卡片的位置为L —m+』3 ]或L—m+!]+JJl3J 一m…操 作后卡片的位置为L=m+ rIr-m+1]] +lm十l3一il f———一( 3 m+ f-m+E~ll33 L一优+ ]+.不妨设L:m+ ]j+经过四7欠这样的操 作后,K与L的差K—L一[等]一 ],随着m的增大,K—L 可能会大于1,因此随着卡片数量增多,需要操 作的次数也会增加,可能会超过4次.事实上可 以取一个较大的数进行验证,比如取207,就需 要经过5次这样的操作. 表1 卡片张数鼍i姿确认次数时占的行数,…" 由上述分析可知,通过有限的数据计算归 '纳出来的猜想并不一定正确.随着卡片数量增 多,需要操作的次数也在增加,例如,当卡片数 3334444444444? ?卯?趴卯, 上海中学数学?2011年第3期29 初中数学作业变式分层的探究与设计 200040上海市五四中学杨海燕 新课改要求:"人人学有用的数学,人人学 习必需的数学,不同的人在数学的领域内得到 不同的发展."在静安精品教育的背景下,教育 局承担了"十一五"教育部重点课题《提高中小 学生学业效能:"轻负担,高质量"的实证研究》, "作业"作为教学过程中的重要环节,是提升学 生学业效能的重要抓手. 怎样使得作业从学生的"负担"变为学生的 需要,从学生被动去做,变为学生乐意去做,怎 样在减轻学生课业负担的同时又能提高学生的 数学能力,这是笔者从教以来一直思考的问题. 在教学实践中,笔者尝试改变以往作业的形式, 以变式题的形式组织作业,因材施教,实施分 层. 一 ,作业变式分层的实践 1.变换条件,组合显难易 案例1原题八年级上(06版)P1.?19.8(2) 如图1,在?ABC中, AB—AC,B一30.,AD///\ :::—————————————.—.——— ~AC,求证:BD=cD.BDC 厶 『粥1 条件分析:在AABC 中,AB—AC,可知?BAC=12O.;?/DAC= 1 90.;?BD=AD;?BD=?CD.以其中两项为厶 条件,另两项为结论共可组成6个命题.这6个 命题可分为三个层次. 第一层次:巩固性练习,不用添辅助线. (1)由??出发,得出??. 原题八年级上(06版)P?19.8(2)例题3. (2)由??出发,得出??. 原题八年级上(06版)P.?19.8(2)练习1. (3)由??出发,得出??. 这三道题能使学生初步理解掌握课堂教学 内容,重在基本知识的巩固和数学基本技能的 训练,目的在于夯实基础,提高基本技能,促使 学优生和学良生巩固已学知识,适宜学困生形 成达标,是学困生表现自我的舞台. 第二层次:应用性练习,要添一条辅助线. (4)由??出发,得出??. (5)由??出发,得出??. 如图2,过DC的中点 E,作DC边上的中线AE,//\\ 通过/~ABDAACE得————量 1 到AE—AD—BD一?图2 CD;进而可证明DAC=90.. 这两道题使学生较熟练地应用所学知识解 决问题,重在对知识的理解和简单的运用. 第三层次:拓展性练习,要添三条辅助线. (6)由??出发,得出??. 如图3,作DC边上的 中线AE,N-@AFJ_BC,i,\ 垂足为点F,作DHJAB,——— 垂足为点H,先由?ABD ?ACE得AD—AE,再 11 由DF=?DE,DH一_砉IBD得DF—DH,从而厶厶 得BAD=FAD=30.,进而推出结论. 这道题能使学优生运用所学知识解决较复 杂问题,题型灵活多样,是对学优生思维的一种 拓展和延伸,促使学优生创新思维. 以上对课本上一道普通例题的条件和结论 进行了分解和组合,形成了一个问题系列,该系 列围绕着直角三角形的性质展开,使问题得以 拓展和深化,随着问题的逐步解决,使不同程度 的学生都能有所收益.这是从条件的角度对作 业进行变式分层. 2.猜想结论.探究有深浅 是610..,;兰罟参考文献24015时,需要10次这样的操作;当卡片数是一 29997时,也需要1O次这样的操作(注:操作的[1]黄敏.扑克牌魔术中的统计规律[J]. 中国统计, 次数是通过运行计算机程序计算出来的).2010,2.