解析完全平方公式

解析完全平方公式,科学论坛, 任苗飞 约3234字 摘要:完全平方公式是初中数学的重要基础部分，也是学习其它代数问题的基础知识。文章从完全平方的基本概念和基本公式着手，介绍了完全平方公式的基本特征和形式，分析了完全平方公式在展开中经常出现的错误，并对完全平方公式在具体解题中的应用作了简单介绍。 关键词:因式分解;完全平方;公式转换;公式变形 中图分类号:O24 文献标识码:B 文章编号:1002-6908(2008)062 引言 完全平方公式初中数学的重要基础部分，是进行代数运算与变形的重要的知识基础，也是整个中学数学学习的最基本的重要知识之一。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解 (如对公式中积的一次项系数的理解)。我在教学完全平方公式后学生中常见错误有:?学生难于跳出原有的定式思维，如典型的 (a+b)=a²+b²错误;(错因:在公式(ab)²=a²b²的基础上类推，随意创造);?混淆公式(a+b)²=a²+2ab+b²与(a-b)²=a²-2ab+b²;?运算结果中符号错误;?变式应用难于掌握。现我结合完全平方公式的教学实践工作和经验对完全平方公式和公式的运用作简单的解析。 1. 完全平方公式左右边特征 1.1 公式推导 这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的，真实体会随意创造(a+b) 2=a²+b²的不正确性。 1.2 文字概述公式的含义 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍(a+b) 2=a²+2ab+b² 与(a-b) 2=a²-2ab+b² 都叫做完全平方公式。为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。 1.3 两个公式的结构特征 左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍; 左边两项符号相同时，右边各项全用“，”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“，”号连接后再“,”两项乘积的2倍(注:这里说项时未包括其符号在内);公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式。 1.4 两个公式的统一 因为 (a-b)²=[a+(-b)]2=a²+2a(-b)+(-b)²=a²- 2ab+b²，所以两个公式实际上可以看成一个公式:两数和的完全平方公式，这样既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。 2. 把握运用公式四步曲 “察”:计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用相应乘法法则进行计算。 “导”:正确地选用完全平方公式，关键是确定式子中a、b分别表示什么数或式。 “算”:注意每步的运算依据，即各个环节的算理。 “验”:完成运算后学会检验，既回过头来再反思每步的计算依据和符号等各方面是否正确无误，又可通过多项式的乘法法则进行验算，确保万无一失。 3. 运用公式的常规四变 3.1 变符号 例1:运用完全平方公式计算: (1)(-2x+5y)² ;(2)(-a-b) 2 分析:本例改变了公式中a、b的符号，处理方法之一:把两式分别变形为(-2x+5y)²=[-(2x-5y)]2=(2x-5y)²;(-a-b)²=[-(a+b)]2= (a+b)² ，再用公式计算(反思得:(a-b)²=(a-b) 2，(-a-b) 2=(a+b) 2);方法二:把两式分别变形为:(-2x+5y)²=(5y-2x) 2和(-a-b)²=[(-a)-b)]2后直接用公式计算;方法三:把两式分别变形为:(-2x+5y)²=[ (-2x)+5y]2和(-a-b)²=[(-a)+(-b)]2后直接用公式计算(此法是在把两个公式统一的基础上进行，易于理解不会混淆)。 3.2 变项数 例2:计算:(a+b+c)² 分析:完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，(a+b+c)² 可先变形为[a+(b+c)]2或[(a+b)+c]2 或[(a+c)+b]2 ，再进行计算。 3.3 变结构 例3:运用公式计算: (1) (x，y)•(2x，2y); (2) (a，b)•(,a,b); (3) (a,b)•(b,a) 分析;本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即: (1) (x，y)•(2x+2y)=2(x，y)²; (2) (a，b)•(,a,b)= ,(a，b)²; (3) (a,b)•(b,a)=,(a,b)² 3.4 简便运算 例4:计算:(1)9992 (2)100.12 分析:本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。即:(1)9992=(1000-1)²;100.12=(100+0.1)²。 4. 公式运用中的拓展 4.1 公式的混用 例5:计算:(l)(x+y+z)•(x+y-z); (2) (2x-y+3z)•(y-3z-2x) 分析:此例是三项式乘以三项式，特点是:有些项相同，另外的项互为相反数。故可考虑把相同的项和互为相反数的项分别结合构造成平方差公式计算后，再运用完全平方公式等计算。即: (1) (x+y+z)•(x+y-z)=[(x+y)+z] [(x+y)-z]=„ (2) (2x-y+3z)•(y-3z+2x)=[2x-(y-3z)][(2x +(y-3z)]=„ 4.2 公式的变形 a²+b² =(a+b)²-2ab ; a²+b² =(a-b)²+2ab;(a+b)²=(a-b) 2+4ab;(a-b)²=(a+b) 2-4ab等，熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求知值的关键。 例6:已知实数a、b满足(a，b)²=10，ab=1。求下列各式的值: (1)a²+b²; (2)(a,b)² 分析:此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a、b的值分别求出来，非常困难;仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。 即:(1) a²，b²=(a，b)²,2ab=„ (2) (a,b)²=(a，b)²,4ab=„ 4.3 公式的逆用 例7:计算:(x+5)²-2(x+5)(x+3)+(x+3)² 分析:本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式(a-b) 2=a²-2ab+b²的右边，不妨把公式倒过来用可得: (x+5)²-2(x+5)(x+3)+(x+3)²=[(x+5)-(x+3)]2=4。 总之，在学习完全平方公式时关键是记住公式形式，把握公式特征，运用合理的算法，注重勤练习，适时积累典例，定能收到良好的效果。 参考文献 [1] 朱家海. 完全平方公式的变形在解题中的妙用. 中学生数学, 2008,08. [2] 张希娥, 韩立师. 巧用完全平方公式解竞赛题. 中学生数学, 2008,10. [3] 张清华. 如何学习完全平方公式. 初中生辅导, 2006,13. [4] 李坚, 安义人. 完全平方公式的三种变形应用. 中学课程辅导,2005,02. [5] 陈金亮. 完全平方公式的变形的运用. 时代数学学习, 2002,29.