三角函数与三角恒等变换

2011年高三数学复习（第3章 三角数与三角恒等变换）：3.3 三角函数的图象 一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分） 1．（5分）函数 的图象的一条对称轴的方程是（  ） A．x=0    B．     C．x=π    D．x=2π 2．（5分）要得到函数 的图象，只需将函数y=sin2x的图象（  ） A．向左平行移动     B．向右平行移动 C．向左平行移动     D．向右平行移动 3．（5分）把函数 的图象向左平移 ，所得图象的函数式为（  ） A．     B．     C．y=sin2x    D． 4．（5分）函数f（x）=5sin（2x+θ）的图象关于y轴对称的充要条件是（  ） A．     B．θ=2kπ+π    C．     D．θ=2kπ+π （k∈z） 5．（5分）如图曲线对应的函数是（  ） A．y=|sinx|    B．y=sin|x|    C．y=﹣sin|x|    D．y=﹣|sinx| 6．（5分）在同一坐标系中，曲线y=sinx与y=cosx的图象的交点是（  ） A．     B．     C．     D．（kπ，0）k∈z 7．（5分）方程sinx=lgx实根个数为（  ） A．一个    B．二个    C．三个    D．无数个 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 8．（4分）设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f（x）的最大值是 ，最小值是﹣ ，则A=　  　，B=　  　． 9．（4分）函数y=sinx与y=tanx的图象在[0，2π]上交点个数是　  　． 10．（4分）（1）要得到 的图象向　  　平移　  　； （2）y=sinx﹣cosx的图象，可由y=sinx+cosx的图象向右平移　  　得到． 11．（4分）函数 与y轴距离最近的对称轴是　  　． 12．（4分）设函数y=f（x）sinx的图象为C1，将C1向右平移 个单位，可得曲线C2，若曲线C2与函数y=cos2x的图象关于x轴对称，那么f（x）可以是　  　． 三、解答题（共11小题，满分0分） 13．作出下列函数的图象 （1） ； （2） ． 14．作出下列函数的图象 （1）y=sinx|cosx|+cosx|sinx|； （2） ． 15．作出下列函数的图象 （1） ； （2）y=|tan|x||． 16．f（cosx﹣1）=cos2x． （1）求f（x）的定义域； （2）作出函数f（x）的图象． 17．由图写出y=Asin（ωx+φ）的解析式，其中﹣π≤φ≤π．A＞0，ω＞0． 18．求函数f（x）=cos3x的周期． 19．若方程|sinx|+cos|x|﹣a=0，在[﹣π，π]上有4个解，求a的取值范围． 20．用五点法作函数 的图象．并说明怎样由y=sinx图象变化得到这个图象． 21．（1）作出函数 在两个周期的图象； （2）作出函数 的图象． 22．已知正弦曲线， ，由这个最高点到相邻的最低点曲线与x轴交于点（6，0）试求这条曲线的解析式（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）． 23．求方程8sinx=x的实根的个数． 2011年高三数学复习（第3章 三角函数与三角恒等变换）：3.3 三角函数的图象 参考答案与试题解析 一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分） 1．（5分）函数 的图象的一条对称轴的方程是（  ） A．x=0    B．     C．x=π    D．x=2π 【分析】直接利用正弦函数的对称轴方程，求出函数 的图象的一条对称轴的方程，即可． 【解答】解：y=sinx的对称轴方程为：x=kπ ，，所以函数 的图象的对称轴的方程是：x=2kπ+π，k∈Z， 显然C正确， 故选C 【点评】本题是基础题，考查三角函数的对称性，对称轴方程的求法，考查计算能力，推理能力，是送分题． 2．（5分）（1987?全国）要得到函数 的图象，只需将函数y=sin2x的图象（  ） A．向左平行移动     B．向右平行移动 C．向左平行移动     D．向右平行移动 【分析】假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到，根据平移后 ，求出ρ进而得到答案． 【解答】解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到 y=sin2（x+ρ）=sin（2x+2ρ）= ∴ρ=﹣ ∴应向右平移 个单位 故选D． 【点评】本题主要考查三角函数的平移．属基础题． 3．（5分）（2013?杨浦区校级模拟）把函数 的图象向左平移 ，所得图象的函数式为（  ） A．     B．     C．y=sin2x    D． 【分析】根据左加右减的原则进行平移即可得到答案． 【解答】解： y=sin[2（x+ ）+ ]=sin（2x+ ） 故选D． 【点评】本题主要考查三角函数的平移．属基础题． 4．（5分）函数f（x）=5sin（2x+θ）的图象关于y轴对称的充要条件是（  ） A．     B．θ=2kπ+π    C．     D．θ=2kπ+π （k∈z） 【分析】根据函数f（x）=5sinx（2x+θ）的图象关于y轴对称得到函数f（x）为偶函数，进而得到f（﹣x）=f（x），然后代入用两角和与差的正弦公式展开整理并根据三角函数的性质得到答案． 【解答】解：若函数f（x）=5sinx（2x+θ）的图象关于y轴对称，得到 5sin（2x+θ）=5sin（﹣2x+θ） ∴sin2xcosθ+cos2xsinθ=sinθcos2x﹣cosθsin2x ∴cosθsin2x=0 ∴cosθ=0 ∴ （k∈Z）． 故选C． 【点评】本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣奇偶性、两角和与差的正弦公式．三角函数部分公式比较多，要强化记忆． 5．（5分）（2012?迎泽区校级模拟）如图曲线对应的函数是（  ） A．y=|sinx|    B．y=sin|x|    C．y=﹣sin|x|    D．y=﹣|sinx| 【分析】应用排除法解决本题，先从图象的右侧观察知它与正弦曲线一样，可排除一些选项，再从左侧观察又可排除一些，从而可选出答案． 【解答】解：观察图象知： 在y轴的右侧，它的图象与函数y=﹣sinx相同，排除A、B； 又在y轴的左侧，它的图象与函数y=sinx相同，排除D； 故选C． 【点评】本题主要考查了三角函数函数的图象与图象变化，同学们对于常用的正弦函数的图象要切实掌握． 6．（5分）在同一坐标系中，曲线y=sinx与y=cosx的图象的交点是（  ） A．     B．     C．     D．（kπ，0）k∈z 【分析】先在同一坐标系中，画出曲线y=sinx与y=cosx的图象，观察图象发现其规律即可． 【解答】解：在同一坐标系中， 画出曲线y=sinx与y=cosx的图象， 观察图形可知选项B正确， 故选B． 【点评】本题主要考查了余弦函数的图象与正弦函数的图象，图象是研究函数性质的重要手段，属于基础题． 7．（5分）（2012秋?西山区校级期末）方程sinx=lgx实根个数为（  ） A．一个    B．二个    C．三个    D．无数个 【分析】先把方程sinx=lgx实根个数转化为函数y=sinx与函数y=lgx的图象交点个数．画出图象，由图象即可得出结论． 【解答】解：因为方程sinx=lgx实根个数， 就是函数y=sinx与函数y=lgx的图象交点个数． 因为sinx≤1，且x=10时，y=lgx=1． x＞10时，y=lgx＞1． 如图得：交点有3个． 故选  C． 【点评】本题主要考查根的个数问题以及数形结合思想和转化思想的应用．在求解根的个数问题时，一般直接解方程不好解的话，常借助于图象解题． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 8．（4分）（2015春?临海市校级期中）设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f（x）的最大值是 ，最小值是﹣ ，则A=　 　，B=　﹣1　． 【分析】根据A﹣B= ，A+B=﹣ ，可得答案． 【解答】解：根据题意，由 ∴A= ，B=﹣1 故答案为： ，﹣1 【点评】本题主要考查正弦函数的最值问题．属基础题． 9．（4分）（2012?贾汪区校级模拟）函数y=sinx与y=tanx的图象在[0，2π]上交点个数是　3　． 【分析】利用x∈[0， ），sinx＜x＜tanx，结合函数的周期，即可得到函数y=sinx与y=tanx的图象在[0，2π]上交点个数． 【解答】解：因为x∈（0， ），sinx＜x＜tanx，x=0时sinx=tanx=0，所以函数y=sinx与y=tanx的图象在[0， ）上有一个交点，在（ ）有一个交点，在（ ]有一个交点， 所以函数y=sinx与y=tanx的图象在[0，2π]上交点个数是：3 故答案为：3 【点评】本题是基础题，考查函数图象的交点的个数，考查绘图能力，基本知识的掌握情况． 10．（4分）（1）要得到 的图象向　向左　平移　 　； （2）y=sinx﹣cosx的图象，可由y=sinx+cosx的图象向右平移　 　得到． 【分析】（1）利用图象平移，化简，直接求出平移结果． （2）化简y=sinx﹣cosx的图象，可由y=sinx+cosx，为一个角的一个三角函数的形式，然后平移即可． 【解答】解：（1）要得到 的图象向左平移 ，可得y=sin（2x+ ）=cos2x （2）y=sinx﹣cosx= sin（x﹣ ），y=sinx+cosx= 所以y=sinx+cosx向右平移 ，即可得到y=sinx﹣cosx的图象． 故答案为：（1）向左， ，（2） ． 【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查逻辑思维能力，是基础题． 11．（4分）（2013春?北京校级月考）函数 与y轴距离最近的对称轴是　x= 　． 【分析】求出函数 的对称轴的方程，选择适当的k的值，即可求出与y轴最近的对称轴方程． 【解答】解：正弦函数对称轴是使得函数取得最小和最大值的点的x的值， 所以2x+ = +2kπ或2x+ =﹣ +2kπ  k∈Z x= +kπ或x=﹣ +kπ k∈Z 所以与y轴最近的对称轴为：x= 故答案为：x= 【点评】本题是基础题，借助正弦函数的对称轴方程，求出函数 对称轴方程，考查计算能力，常考题． 12．（4分）设函数y=f（x）sinx的图象为C1，将C1向右平移 个单位，可得曲线C2，若曲线C2与函数y=cos2x的图象关于x轴对称，那么f（x）可以是　f（x）=2cosx　． 【分析】由题意曲线C2与函数y=cos2x的图象关于x轴对称，先求曲线C2的方程，再用函数y=f（x）sinx的图象为C1，将C1向右平移 个单位，可得曲线C2，求出C2的方程，两者相同，化简可求f（x）