重新证明凸四边形的三等分点问题

重新证明凸四边形的三等分点问题 ????? 重新證明《凸四邊形的三等分點問題》 張海潮、陳建燁 2007年3月出版的數學傳播（31卷1期）中，有一篇《凸四邊形的三等分點問題》，作者李彥廷在文章中證明了一個有趣的結果（見 同期數學傳播44頁定理二）： 任意一個凸四邊形ABCD（如圖一）邊上四點滿足P,Q,R,SAP : BP , DQ : QCAR : RD , BS: SC，，並且這兩個比值均為有理數，假 PQAR : RD , PK : KQRSAP : BP , RK : KS設與交於點，則有，。 K P A B R S K D C Q 圖一 1 作者因為在證明的時候從整數的比值出發，逐步論證，所以將結 論限制在有理數的比值。這樣的思維類似古希臘的幾何學者在歐多克 斯（Eudoxus）之前，基本上只處理長度之間可公度量－－亦即量與 量的比值是有理數－－的情形。當然利用有理數在實數中的稠密性， 不難證明上述定理在實數比值的情形也同樣成立。 本文想從三個新的角度來重新探討這個定理。首先我們注意到這 個定理牽涉到一個將凸四邊形坐標化的機制，也就是說，如果這個定 理是正確的，顯然在平面上的單位正方形,,,,可以和凸四邊形 0 , 1 ， 0 , 1 建立一個一一對應。我們可以直接寫下這個一一對應（圖二）： F F，，，，x,y,,,ax，by，cxy,,x，,y，,xy F，，，，0,0,,,0,0,D F，，，，0,1,,,b,,,A F，，，，1,0,,,a,,,C F，，，，1,1,,,a，b，c,,，,，,,B 2 ，， b,,AB，， a，b，c,,，,，, C，， a,,，，D0,0 圖二 在的對應下，鉛垂直線和水平直線會對應到直線或是x,ky,lF 一點。 F，，，，k,y,,,ak，(b，ck)y,,k，(,，,k)y F，，，，x,l,,,bl，(a，cl)x,,l，(,，,l)x ,,,, 但是因為 0 , 1 ， 0 , 1 ABCD的四個邊透過對應到凸四邊形的四F 個邊，所以當0,k,10,l,1，時，相關的水平或鉛垂直線都一定對 應到直線，不會退化成一個點，並且將限制在這些直線上觀察，直F 線到直線的對應是線性的，因此保持線段與線段的比例。換句話說， 單位正方形,,,, 0 , 1 ， 0 , 1 內部的坐標線透過，對應到凸四邊形的內F 部，並且保持相關的比例，因而證明了李彥廷文章中的定理。 3 我們還可以從重心或質心的觀點來看李彥廷證明的定理（圖三）。 s,,，,，， B，， ,,A v,,，, u,,，, K t,,，,C，，D ，， ,, 圖三 ,, 在,A,B,C,D四個頂點分置四個質量,,,,,,,，並且或,,,,,。現在要找出,,,,,,,的質心。找法有二，（一）是先求的,,,,, s質心s,,，,，和,,,的質心t,,，,，然後再求和的質心。（二）tK uv是先求,,,u,,，,,,,v,,，,的質心和的質心，然後再求和的質心。 K stuv 由於這兩個方法求得的質心是同一點，也就是在和的交點，李彥廷文章的結果其實就是所謂的加比定理： K ,,,，,,,,，,,, , ,,。 ,,,，,,,,，, 最後，我們以向量的語言來證明這個定理： 4 P A B R S K D C Q 圖四 參見圖四和定理的敘述，我們令 AP : PB , DQ : QC , p : (1,p) , 其中 0,p,1 AR : RD , BS : SC , q : (1,q) , 其中 0,q,1 由向量的內分點公式，可知 ， KP, (1,p)KA，pKBKQ, (1,p)KD，pKC ， KR, (1,q)KA，qKDKS, (1,q)KB，qKC由此可知 ，但是等號兩邊的向量分別(1,q)KP，qKQ , (1,p)KR，pKS 在兩條直線上，所以與均等於零向量。(1,q)KP，qKQ (1,p)KR，pKS RK : KS , p : (1,p) , AP : PB ,PK : KQ , q : (1,q) , AR : RD結論是 ，同樣證明了李彥廷的定理。 參考資料：數學傳播季刊 第31卷第1期 p.41-45 , 《凸四邊形的三等分點問題》, 李彥廷 豆丁致力于构建全球领 5 先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效的文档营销服务。包括中 国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地的文档拥有者和代理商提 供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地建立便捷、安全、高效的 支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。 6