大一高数知识点
大一高数知识点总结
篇一:
大一高数知识点,重难点整理 第一章 基础知识部分
1.1初等函数
一、函数的概念
1、函数的定义 函数是从量的角度对运动变化的抽象
述,是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。 设有两个变量x与y,如果对于变量x在实数集合D内的每一个值,变量y按照一定的法则都有唯一的值与之对应,那么就称x是自变量,y是x的函数 ,记作y=f(x),其中自变量x取值的集合D叫函数的定义域,函数值的集合叫做函数的值域。
2、函数的表示方法
(1)解析法 即用解析式(或称数学式)表示函数。如y=2x+1, y=,x,,y=lg(x+1),y=sin3x等。 便于对函数进行精确地计算和深入分析。
(2)列表法 即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。 便于差的某一处的函数值。
(3)图像法 即用图像来表示函数关系的方法 非常形象直观,能从图像上看出函数的某些特性。 分段函数——即当自变量取不同值时,函数的表达式不一样,如 1??2x?1, x?0?xsin, f?x???y??x ?2x?1,x?0???0 x?0 x?0 隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数,即直接用含自变量的式子表示的函数,如y=x2+2x+3,这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x、y之间的函数关系式是由一个含x,y的方程F(x,y)=0给出的,如2x+y-3=0,e可得y=3-2x,即该隐函数可化为显函数。 参数式函数——若变量x,y之间的函数关系是通过参数式方程? x?y 而由2x+y-3=0?x?y?0
等。 ?x???t?, ?t?T?给出的,??y??t? 这样的函数称为由参数方程确定的函数,简称参数式方程,t称为参数。 反函数——如果在已
给的函数y=f(x)中,把y看作自变量,x也是y的函数,则所确定的函数x=?(y)叫做y=f(x)的反函数,记作x=fˉ1(y)或y= fˉ1(x)(以x表示自变量).
二、函数常见的性质
1、单调性(单调增加、单调减少)
2、奇偶性(偶:关于原点对称,f(-x)=f(x);奇:
关于y轴对称,f(-x)=-f(x).)
3、周期性(T为不为零的常数,f(x+T)=f(x),T为周期)
4、有界性(设存在常数M,0,对任意x?D,有f?(x)??M,则称f(x)在D上有界,如果不存在这样的常数M,则称f(x)在D上无界。
5、极大值、极小值
6、最大值、最小值
三、初等函数
1、基本初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等函数。(图像、性质详见P10)
2、复合函数——如果y是u的函数y=f(u),而u又是x的函数u=?(x),且?(x)的值域与f(x)的定义域的交非空,那么y也是x的函数,称为由y=f(u)与u=?(x)复合而成的复合函数,记作y=f(?(x))。
3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的,并且能用一个数学式子表示的函数,称为初等函数。
四、函数关系举例与经济函数关系式
1、函数关系举例
2、经济函数关系式
(1)总成本函数——总成本=固定成本+变动成本 平均单位成本=总成本/产量
(2)总收益函数——销售总收益=销售价格×产量
(3)总利润函数——总利润=销售总收益-总成本
(4)需求函数——若其他因素不变,需求量Q=f(P)(P为产品销售价格)
1.2函数的极限
一、数列的极限 对于无穷数列{an},当项数n无限增大时,如果an无限接近于一个确定的常数A,则 lim 称A为数列{an}的极限,记为a=A,或当n??时,an?A。 n??n lim1lim 若数列{an}存在极限,也称数列{an}收敛,例如?0,C?C(C为 n??nn?? limn 常数), q=0q?1) 。 n?? 若数列{an}没有极限,则称数列{an}发散。 数列极限不存在的两种情况:
(1)数列有界,但当n??时,数列通项不与任何常数无限接近,如:
??1? n?1 ;
(2)数列无界,如数列{n2}。
二、当x?0时,函数f(x)的极限 如果当x的绝对值无限增大(记作x??)时,函数f(x)无限地接近一个确定的常数A,那称A为函数f(x)当x??时的极限,记作 lim f?x??A,或当x??时,f(x) ?A。 x?? 单向极限定义 如果当x???或?x????时,函数f(x)无限接近一个确定的长寿湖A,那么称A为函数f(x)当x???或?x????时得极限,记作 lim?lim? ?。 ??f?x??A?fx?A??x????n????
三、当X?X时,函数f(x)的极限
1、当X?X时,函数f(x)的极限定义 如果当x无限接近X(记作X?X)时,函数f(x)无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当X?X时的极限,记作 lim f?x??A,或当X?X时,f(x) ?A。 n??
2、当X?X时,函数f(x)的左极限和右极限 如果当X?Xˉ(或x?x0)时,函数f(x)无限接近一个确定的常数A,则称函数f(x)当X?X时的左极限(右极限)为A,记作
四、无穷大与无穷小
1、无穷大与无穷小的定义 ? ?lim???fx?Af?x?????x?x0?x?x0 lim ?
A??。 ? lim 如果当X?X时,f(x)?0,就称f(x)当X?X时的无穷小,记作f?x??0;如 x?x0 果当X?X时,f(x)的绝对值无限增大,就称函数f(x)当X?X时为无穷大,记作 lim f?x???。其中,如果
当X?X时,f(x)向正的方向无限增大,就称函数f(x)当X x?x0 lim ?X时为正无穷大,记作f?x????;如果当X?X时,f(x)向负的方向无限增大, x?x0 就称函数f(x)当X?X时为负无穷大,记作
2、无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化中,如果f(x)为无穷大,那么 lim f?x????。 x?x0 1 为无穷小;反之,如果f(x)f(x) 为无穷小,那么 1 为无穷大。 f(x) 根据这个性质,无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。
3、无穷小的性质 性质1:
有限个无穷小的代数和为无穷小; 性质2:
有限个无穷小的乘积为无穷小; 性质3:
有界函数与无穷小的乘积为无穷小。
4、无穷小的比较 设a与b是自变量同一变化中的两个无穷小,记作a=(b); a =0,则称a是比b低阶的无穷小; ba
(2) 如果lim=?, 则称a是比b高阶的无穷小; b
(1)如果lim a =c(c为非零的常数),则称a是比b同阶的无穷小。 b a 特别的,当c=1,即lim=1时,称a与b是等阶无穷小,记作a,b。 b
(3) 如果lim
1.3极限运算法则 法则一 若lim u=A,lim v=B,则 lim(u?v)=lim u?lim v=A?B; 法则二 若lim u=A,lim v=B,则 lim(u?v)=lim u?lim v=A?B; 法则三 若lim u=A,lim v=B,且B?0,则 lim ulimuA== vlimvB 推论 若lim u=A,C为常数,k?N,则
(1)lim C?u=C?lim u=C?A;
(2)lim u= (lim u)k=A 注 运用这一法则的前提条件是u与v的极限存在(在商的情况下还要求分母的极限不为零)。 k k
1.4两个重要极限
一、 limsin x =1 x?0x lim?1?x
二、?1??=e x???x?
1.5函数的连续性
一、函数连续性的概念
1.函数在某点的连续性 若函数f(x)在点x0及其左右有定义,且处连续,x0为函数f(x)的连续点。 理解这个定义要把握三个要点:
(1)f(x)要在点x0及其左右有定义;
(2) lim f(x)=f(x0),则称函数f(x)在点x0 x?x0 lim f(x)要存在 x?x0 lim f(x)= f(x0)。 x?x0
(3) 增量 ?x=x-x0 ?y= f(x)- f(x0) 设函数f(x)在点x0及其左右有定义,如果当自变量x在点x0处的增量?x趋近于零时,相应的函数增量?y也趋近于零,即 lim 则称函数f(x)在点x0处连续,x0?y?0, ?x?0 为f(x)的连续点。
2.函数在区间上的连续性、连续函数 如果函数f(x)在区间(a,b)上每一点上连续,则称函数f(x)在区间(a,b)上连续。 如果函数f(x)在某个区间上连续,就称f(x)是这个区间上的连续函数。
二、连续函数的运算与初等函数的连续性
1.连续函数的运算 如果两个函数在某一点连续,那么它们的和、差、积、商(分母不为零)在这一点也连续。 设函数u?????在点x0处连续,且u0???x0?,函数y=f(u)点u0处连续,那么复合函数y?f(??x0?)在点x0处也连续。
2.初等函数的连续性 初等函数在其定义域内是连续的。 第二章 微分与导数
2.1导数的概念 设函数y=f(x)在点x0处及其左右两侧的小范围内有定义,当?x?0时,若 ?y 得极限?x 存在,则称y=f(x)在点x0处可导,并称此极限值为函数y=f(x) 点x0处的导数,记作 limf?x0??x??f?x0??y , ?x0??f’? ?x?0?x?x?0?x lim 还可记作y’ ? x?x0或 dydy ?x?x0 dxdx ? x?x0 。 ? (x0)和f?? (x0)都存在且等于A,即 函数f(x)在点x0可导且f′(x0)=A等价于f? ??x0??f???x0??A。 f??x0??A?f? 根据这个定理,函数在某点的左、右导数只要有一个不存在,或者虽然都存在但不相等, 该点的导数就不存在。
2.2导数的四则运算法则和基本
篇二:
高等数学知识点归纳 第一讲: 一. 数列函数:
1. 类型: 极限与连续
(1)数列: *an?f(n); *an?1?f(an)
(2)初等函数:
(3)分段函数: *F(x)?? ?f1(x)x?x0?f(x)x?x0 ; *F(x)??;* ,, ?ax?x0?f2(x)x?x0
(4)复合(含f)函数: y?f(u),u??(x)
(5)隐式(方程): F(x,y)?0 (6)参式(数一,二): ? ?x?x(t) ?y?y(t) (7)变限积分函数: F(x)? ? x a f(x,t)dt (8)级数和函数(数一,三):
S(x)?
2. 特征(几何): ?ax,x?? nnn?0 ?
(1)单调性与有界性(判别); (f(x)单调??x0,(x?x0)(f(x)?f(x0))定号)
(2)奇偶性与周期性(应用).
3. 反函数与直接函数: y?f(x)?x?f二. 极限性质:
1. 类型: *liman; *limf(x)(含x???); *limf(x)(含x?x0?) n?? x?? ?1 (y)?y?f?1(x) x?x0
2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):
3. 未定型: 0?? ,,1,???,0??,00,?0 0?
4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性
三. 常用结论: an n?1, a(a?0)?1, (a?b?c?maxa(b,, c, ) ?a?0??0 n! n n 1n1n1nn 1xnlnnxx x?1, lix?0?0, (x?0)??, lim,
lim? x???x???x?0xex x xlnx?0 lim, e??x?0? n ?0x??? , ???x???
四. 必备公式:
1. 等价无穷小: 当u(x)?0时, ux(?)ux(; ) tanu(x)?u(x);
1?csu(x)? sin 12 u(x); 2 eu(x)?1?u(x); ln(1?u(x))?u(x);
(1?u(x))??1??u(x); unx(?)ux; ( arctanu(x)?u(x) arcsi
2. 泰勒公式: 12 x?(x2); 2!122
(2)ln(1?x)?x?x?(x); 2134
(3)sinx?x?x?(x); 3! 12145
(4)csx?1?x?x?(x); 2!4! ?(??1)2? x?(x2).
(5)(1?x)?1??x? 2!
(1)e?1?x? x 五. 常规方法: 前提:
(1)准确判断,
1. 抓大弃小( 0??1 ,1,?M(其它如:???,0??,00,?0);
(2)变量代换(如:?t) 0?x ?), ?
2. 无穷小与有界量乘积 (??M) (注:sin ? 1 ?1,x??) x
3. 1处理(其它如:0,?)
4. 左右极限(包括x???): 1 1x
(1)(x?0);
(2)e(x??); ex(x?0);
(3)分段函数: x, [x], maxf(x) x 00
5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)
6. 洛必达法则
(1)先”处理”,后法则( 0xlnxxlnx最后方法); (注意对比: lim与lim) x?1x?001?x1?x v(x)
(2)幂指型处理: u(x)?e v(x)lnu(x) (如: e 1x?1 ?e?e(e 1x1x11?x?1x ?1))
(3)含变限积分;
(4)不能用与不便用
7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小
8. 极限函数: f(x)?limF(x,n)(?分段函数) n?? 六. 非常手段
1. 收敛准则:
(1)an?f(n)?limf(x) x???
(2)双边夹: *bn?an?cn?, *bn,cn?a?
(3)单边挤: an?1?f(an) *a2?a1? *an?M? *f (x)?0? ?f ?fx 0( ) ?x?0?x 1112n [?)f(??)?f(??)]fxd(
3. 积分和: lif, x) 0n??nnnn
2. 导数定义(洛必达?): li
4. 中值定理: lim[f(x?a)?f(x)]?alimf (?) x??? x???
5. 级数和(数一三): ? 2nn!
(1)?an收敛?liman?0, (如limn)
(2)lim(a1?a2???an)??an, n??n??nn?? n?1n?1 ? ?
(3){an}与 ?(a n?1 n ?an?1)同敛散 七. 常见应用:
1. 无穷小比较(等价,阶): *f(x)?kxn,(x?0)?
(1)f(0)?f (0)???f
(2) (n?1) (0)?0,f(n)(0)?a?f(x)? ana x??(xn)?xn n!n! ? x
f(t)dt??ktndt x
2. 渐近线(含斜): f(x) ,b?lim[f(x)?ax]?f(x)?ax?b?? x??x??x 1
(2)f(x)?ax?b??,(?0) x
(1)a?lim
3. 连续性:
(1)间断点判别(个数);
(2)分段函数连续性(附:极限函数, f (x)连续性) 八. [a,b]上连
续函数性质
1. 连通性: f([a,b])?[m,M] (注:?0???1, “平均”
值:?f(a)?(1??)f(b)?f(x0))
2. 介值定理: (附: 达布定理)
(1)零点存在定理: f(a)f(b)?0?f(x0)?0(根的个数);
(2)f(x)?0?( ? x a f(x)dx) ?0. 第二讲:导数及应用(一元)(含中
值定理) 一. 基本概念:
1. 差商与导数: f (x)?lim ?x?0 f(x??x)?f(x)f(x)?f(x0) ; f
(x0)?lim x?x0?xx?x0
(1)f (0)?lim x?0 f(x)?f(0)f(x) ?A(f连续)?f(0)?0,f (0)?A) (注:lim x?0xx
(2)左右导: f? (x0),f? (x0);
(3)可导与连续; (在x?0处, x连续不可导; xx可导)
2. 微分与导数: ?f?f(x??x)?f(x)?f (x)?x?(?x)?df?f (x)dx
(1)可微?可导;
(2)比较?f,df与 0 的大小比较(图示); 二. 求导准备:
1. 基本初等函数求导公式; (注: (f(x)) )
2. 法则:
(1)四则运算;
(2)复合法则;
(3)反函数
三. 各类求导(方法步骤): dx1 ? dyy f(x?h)?f(x?h) h
1. 定义导:
(1)f (a)与f (x)x?a;
(2)分段函数左右导;
(3)lim h?0 ?F(x)x?x0 (注: f(x)??, 求:f (x0),f (x)及f (x)的连续性) , x?xa?0
2. 初等导(公式加法则):
(1)u?f[g(x)], 求:u (x0)(图形题);
(2)F(x)?
(3)y?? ? x a f(t)dt, 求:F (x) (注:
(?f(x,t)dt) ,(?f(x,t)dt) ,(?f(t)dt) ) a a a xbb ?f1(x)x?x0 ,,
求f? (x0),f? (x0)及f (x0) (待定系数) ?f2(x)x?x0 dyd2y,
3. 隐式(f(x,y)?0)导: dxdx2
(1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性).
(3)对数求导法. ?x?x(t)dyd2y ,2
4. 参式导(数一,二): ?, 求: dxdx?y?y(t)
5. 高阶导f(n)(x)公式: (e) ax(n) 1(n)bnn! ; )??ae; (n?1
a?bx(a?bx) nax(n) (sinax) ?ansin(ax? ? 2 ?n);
(csax)(n)?ancs(ax? ? 2 ?n) 1(n?1)2(n?2) (uv)(n)?u(n)v?Cnuv ?Cnuv ?? 注: f (n) f(n)(0) (0)与泰勒展式: f(x)?a0?a1x?a2x2???anx???an? n! n 四. 各类应用:
1. 斜率与切线(法线); (区别: y?f(x)上点M0和过点M0的切线)
2. 物理: (相对)变化率?速度;
3. 曲率(数一二): ?? 曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)
4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导)
1. 判别(驻点f (x0)?0):
(1) f (x)?0?f(x)?; f (x)?0?f(x)?;
(2)分段函数的单调性
(3)f (x)?0?零点唯一; f (x)?0?驻点唯一(必为极值,最值).
2. 极值点:
(1)表格(f (x)变号); (由lim x?x0 f (x)f (x)f (x) ?0,lim?0,lim2?0?x?0的特点) x?x0x?x0xxx
(2)二阶导(f (x0)?0) 注
(1)f与f ,f 的匹配(f 图形中包含的信息);
(2)实例: 由f (x)??(x)f(x)?g(x)确定点“x?x0”的特点.
(3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)
3. 不等式证明(f(x)?0)
(1)区别: *单变量与双变量? *x?[a,b]与x?[a,??),x?(??,??)?
(2)类型: *f ?0,f(a)?0; *f ?0,f(b)?0
篇三:
吉林大学高数知识点公式大全 吉林大学 高数 复习 公式 高 等 数 学 公 式 平方关系:
sin^2(α)+cs^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α)
ct^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系:
sinα=tanα*csα csα=ctα*sinα tanα=sinα*secα ctα=csα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*ctα 倒数关系:
tanα?ctα=1 sinα?cscα=1 csα?secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数:
cs(α+β)=csα?csβ-sinα?sinβ cs(α-β)=csα?csβ+sinα?sinβ sin(α?β)=sinα?csβ?csα?sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα?tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα?tanβ) 三角和的三角函数:
sin(α+β+γ)=sinα?csβ?csγ+csα?sinβ?csγ+csα?csβ?sinγ-sinα?sinβ?sinγ cs(α+β+γ)=csα?csβ?csγ-csα?sinβ?sinγ-sinα?csβ?sinγ-sinα?sinβ?csγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα?tanβ?tanγ)/(1-tanα?tanβ-tanβ?tanγ-tanγ?tanα) 吉林大学 高数 复习 公式 辅助角公式:
Asinα+Bcsα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cst=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asin
α+Bcsα=(A^2+B^2)^(1/2)cs(α-t),tant=A/B 倍角公式:
sin(2α)=2sinα?csα=2/(tanα+ctα) cs(2
α)=cs^2(α)-sin^2(α)=2cs^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式 sin(3α)=3sinα
-4sin^3(α) cs(3α)=4cs^3(α)-3csα 半角公式:
sin(α/2)=??((1-csα)/2) cs(α/2)=??((1+csα)/2) tan(α/2)=??((1-csα)/(1+csα))=sinα/(1+csα)=(1-csα)/sinα 降幂公式 sin^2(α)=(1-cs(2α))/2=versin(2α)/2 cs^2(α)=(1+cs(2α))/2=cvers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cs(2α))/(1+cs(2α)) 万能公式:
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] csα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式:
sinα?csβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] csα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] csα?csβ=(1/2)[cs(α+β)+cs(α-β)] 吉林大学 高数 复习 公式 sinα?sinβ=-(1/2)[cs(α+β)-cs(α-β)] 和差化积公式:
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cs[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cs[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] csα+csβ=2cs[(α+β)/2]cs[(α-β)/2] csα-csβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 推导公式 tanα+ctα=2/sin2α tanα-ctα=-2ct2α 1+cs2α=2cs^2α 1-cs2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+csα/2)^2 三角函数的角度换算 公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ,α),sinα cs(2kπ,α),csα tan(2kπ,α),tanα ct(2kπ,α),ctα 公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π,α),,sinα cs(π,α),,csα tan(π,α),tanα ct(π,α),ctα 公式三:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(,α),,sinα cs(,α),csα tan(,α),,tanα ct(,α),,ctα 吉林大学 高数 复习 公式 公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π,α),sinα cs(π,α),,csα tan(π,α)
,,tanα ct(π,α),,ctα 公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的
关系:
sin(2π,α),,sinα cs(2π,α),csα tan(2π,α)
,,tanα ct(2π,α),,ctα 公式六:
π/2?α及3π/2?α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π/2,α),csα cs(π/2,α),,sinα tan(π/2
,α),,ctα ct(π/2,α),,tanα sin(π/2,α),cs
α cs(π/2,α),sinα tan(π/2,α),ctα ct(π/2,α)
,tanα sin(3π/2,α),,csα cs(3π/2,α),sinα tan
(3π/2,α),,ctα ct(3π/2,α),,tanα sin(3π/2,
α),,csα cs(3π/2,α),,sinα tan(3π/2,α),ct
α ct(3π/2,α),tanα (以上k?Z) 吉林大学 高数 复习 公
式 高 等 数 学 公 式
(tgx)??sec2x(arcsinx)??1(ctgx)???csc2x?x2(secx)??secx?tgx(arccsx)???1(cscx)???cscx?ctgx?x2(ax)??axlna(arctgx)??1 1?x2 (lgx)??1 axlna(arcctgx)???1 1?x2 导数公式:
?tgxdx??lncsx?C ?ctgxdx?lnsinx?C?dxcs2x??sec2xdx?tgx?C?secxdx?lnsecx?tgx?C?dx?csc2
sin2x?xdx??ctgx?C ?cscxdx?lncscx?ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?dx?cscx?ctgxdx??cscx?Ca2?x2?1aarctgx a?C ?dx?axdx?ax lna?C x2?a2?12alnx?a x?a?C?shxdx?chx?C ?dx1a?
a2?x2?x2alna?x?C?chxdx?shx?C?dxx
a2?x2?arcsina?C?dx?ln(x?x2?a2 2)a2?Cx? ?? 22 In n??sinxdx??csnxdx?n?1 00nIn?2 ?x2?a2dx?x2 2x2?a2?a 2ln(x?x2?a2)?C ?x2?a2dx?xx2?a2?a2 lnx?x2 2?a2 2?C ?a2?x2dx?x 2a2?x2?a2 2arcsinx a?C篇四:
高数上册知识点总结 高数重点知识总结
1、基本初等函数:
反函数(y=arctanx),对数函数(y=lnx),幂函数(y=x),指数函数
(y?ax),三角函数(y=sinx),常数函数(y=c)
2、分段函数不是初等函数。 x2?xx ?lim?1
3、无穷小:
高阶+低阶=低阶 例如:
lim x?0x?0xx sinx
4、两个重要极限:
(1)lim?1 x?0x
(2)lim?1?x?e x?0 1 x ?1? lim?1???e x?? ?x? g(x) x 经验公式:
当x?x0,f(x)?0,g(x)??,lim?1?f(x)? x?x0 ?e x?x0 limf(x)g(x)
例如:
lim?1?3x?e x?0 1 x x?0? ?3x?lim??? x? ?e?3
5、可导必定连续,连续未必可导。例如:
y?|x|连续但不可导。
6、导数的定义:
lim ?x?0 f(x??x)?f(x) ?f (x) ?x x?x0 lim f(x)?f(x0) ?f ?x0?
x?x0
7、复合函数求导:
df?g(x)??f ?g(x)??g (x) dx 例如:
y?x?x,y ? 2x?2x?1 2x?x4x2?xx 1? 1
8、隐函数求导:
(1)直接求导法;
(2)方程两边同时微分,再求出dy/dx x2?y2?1 例如:
解:
法
(1),左右两边同时求导,2x?2yy ?0?y ?? x ydyx 法
(2),左右两边同时微分,2xdx?2ydy??? dxy
9、由参数方程所确定的函数求导:
若? ?y?g(t)dydy/dtg (t)??,则,其二阶导数:
dxdx/dth (t)?x?h(t) d(dy/dx)d?g (t)/h (t)? dyd?dy/dx????
2dxdxdx/dth (t) 2
10、微分的近似计算:
f(x0??x)?f(x0)??x?f (x0) 例如:
计算 sin31?
1
1、函数间断点的类型:
(1)第一类:
可去间断点和跳跃间断点;例如:
y? sinx (x=0是x 函数可去间断点),y?sgn(x)(x=0是函数的跳跃间断点)
(2)第二类:
振荡间断点和无穷 间断点;例如:
f(x)?sin??(x=0是函数的振荡间断点),y?断点)
1
2、渐近线:
水平渐近线:
y?limf(x)?c x?? ?1??x? 1 (x=0是函数的无穷间x limf(x)??,则x?a是铅直渐近线. 铅直渐近线:
若, x?a 斜渐近线:
设斜渐近线为y?ax?b,即求a?lim x?? f(x) ,b?lim?f(x)?ax?
x??x x3?x2?x?1 例如:
求函数y?的渐近线 x2?1
1
3、驻点:
令函数y=f(x),若f (x0)=0,称x0是驻点。
1
4、极值点:
令函数y=f(x),给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x?u(x0,δ),都有f(x)?f(x0),称x0是f(x)的极小值点;否则,称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。
1
5、拐点:
连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点,称为曲线弧的拐点。
1
6、拐点的判定定理:
令函数y=f(x),若f (x0)=0,且x x0,f (x) 0;x x0时,f (x) 0或x x0,f (x) 0;x x0时,f (x) 0,称点(x0,f(x0))为f(x)的拐点。
1
7、极值点的必要条件:
令函数y=f(x),在点x0处可导,且x0是极值点,则f (x0)=0。
1
8、改变单调性的点:
f (x0)?0,f (x0)不存在,间断点(换句话说,极值点可能是驻点,也可能是不可导点)
1
9、改变凹凸性的点:
f (x0)?0,f (x0)不存在(换句话说,拐点可能是二阶导数等于零的点,也可能是二阶导数不存在的点)
20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点,但函数的驻点不一定是极值点。 2
1、中值定理:
(1)罗尔定理:
f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,则至少存在一点?,使得f (?)?0
(2)拉格朗日中值定理:
f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导,则至少存在一点?,使得 f(b)?f(a)?(b?a)f (?)
(3)积分中值定理:
f(x)在区间[a,b]上可积,至少存在一点?,使得
b ?f(x)dx?(b?a)f(?) a 2
2、常用的等价无穷小代换:
x~sinx~arcsinx~arctanx~tanx~ex?1~2(?x?1)~ln(1?x)1?csx~
12x2111 tanx?sinx~x3,x?sinx~x3,tanx?x~x3 263 2
3、对数求导法:
例如,y?xx,解:
lny?xlnx? 1 y ?lnx?1?y ?xx?lnx?1? y 2
4、洛必达法则:
适用于“ 0?”型,“”型,“0??”型等。当0? x?x0,f(x)?0/?,g(x)?0/?,
f (x),g (x)皆存在,且g (x)?0,则 f(x)f
(x)ex?sinx?10ex?csx0ex?sinx1 lim?lim 例如,limlimlim? 2x?x0g(x)x?x0g (x)x?0x?0x?0x2x22 2
5、无穷大:
高阶+低阶=高阶 例如, 2
6、不定积分的求法
(1)公式法
(2)第一类换元法(凑微分法)
(3)第二类换元法:
哪里复杂换哪里,常用的换元:
1)三角换元:
23 ?x?1??2x?3?lim? x??? 2x5 x2?2x?lim?4 x???2x5 3 a2?x2,
可令 x?asint;x2?a2,可令x?atant;x2?a2,可令x?asect 2)当有
理分式函数 中分母的阶较高时,常采用倒代换x? 1 t 2
7、分部积分法:
udv?uv?vdu,选取u的规则“反对幂指三”,剩下的作v。分部积
x3 分出现循环形式的情况,例如:
ecsxdx,secxdx ?? ?? 2
8、有理函数的积分:
例如:
3x?22(x?1)?x11 dx??2dx??x(x?1)3?x(x?1)3?x(x?1)2?x?13dx
11x?1?xx?1?x1dx???需要进行拆分,令 ?x(x?1)2
x(x?1)2x(x?1)2x(x?1)(x?1)2 其中,前部分 ? 111?? 2xx?1(x?1) 2
9、定积分的定义:
?f(?)?x ?f(x)dx?lim? a ?0 i i i?1 b n 30、定积分的性质:
b
(1)当a=b时, ?f(x)dx?0; ab a
(2)当a b时, ?f(x)dx???f(x)dx a b a?aa
(3)当f(x)是奇函数, ?f(x)dx?0,a?0 a
(4)当f(x)是偶函数, b ?a ?f(x)dx?2?f(x)dx cb
(5)可加性:
?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx a a c x x d 3
1、变上限积分:
?(x)??f(t)dt?? (x)?f(t)dt?f(x) ?dxaa d 推广:
dx u(x) ?f(t)dt?f?u(x)?u (x) a b 3
2、定积分的计算(牛顿—莱布尼茨公式):
b b ?f(x)dx?F(b)?F(a) a 3
3、定积分的分部积分法:
udv??uv??vdu 例如:
xlnxdx ? a b a ? a ? ??b b??? 3
4、反常积分:
(1)无穷限的反常积分:
?f(x)dx?lim?f(x)dx a a b bt?a?
(2)无界函数的反常积分:
3
5、平面图形的面积:
(1)A? ?f(x)dx?lim?f(x)dx a t d ??f(x)?f(x)?dx
(2)A????(y)??(y)?dy 2 1 2 1 a c 2
(2)绕y轴旋转,????f(x)dxV???(y)dy ?? 2 a c b d b 3
6、旋转体的体积:
(1)绕x轴旋转,V??篇五:
高等数学知识点总结 高等数学知识点总结 导数公式:
2
(tanx)??secx(ctanx)???cscx(secx)??secx?tanx(cscx)???cscx?ctx(a)??alna(lg ax x 2 (arcsinx)??(arccsx)???(arctanx)?? 1?x 2 1?x1 2 1?x 2 x)?? 1xlna (arcctx)??? 11?x 2 基本积分表:
三角函数的有理式积分:
?tan?sec?a?x?a? xdx??lncsx?C ?ctxdx?lnsinx?C
xdx?lnsecx?tanx?C ?cs?sin dx 2 xx ?? ?sec?csc 2
xdx?tanx?Cxdx??ctx?C dx 2 2 ?cscxdx?lncscx?ctx?C dx 2 ?sec x x?tanxdx?secx?C xdx??cscx?C x ?xdx?adx?xdx 2 2 ??? 1a1 arctanlnln xa ?C?C?C ?cscx?ct?a dx? a x?ax?aa?xa?xxa lna ?C 22 2a12a ?shxdx?chxdx? ? 2 ?chx?C?shx?C ?ln(x? x?a)?C 2 2 22 a?x 2 ?arcsin?C dxx?a 2 2 ? 2 In? ?sin 02 n xdx??cs n xdx? 2 n?1naaa 2 In?2 x?a)?Cx?axa?C 2 2 2 2 ??? sinx? 2u1?u x?adx?x?adx?a?xdx? 2 2 2 2 2 x2x2x2 x?a?x?a?a?x? 2 2 2 2 2 2 2 ln(x?lnx?arcsin 2 2 ?C 2 , csx?2 1?u1?u 2 , u?tan2 x2 , dx? 2du1?u 2 一些初
等函数:
两个重要极限:
e?e 2e?e 2shxchx 2x ?x x ?x 双曲正弦:shx?双曲余弦:chx?
双曲正切:thx?arshx?ln(x?archx??ln(x?arthx? 12ln1?x1?x lim sin x(1? x1x x?0 ?1) x lim e?ee?e xx ?x?x x?? ?e ? x?1)x?1)
2 三角函数公式:
?诱导公式:
?和差角公式:
?和差化积公式:
sin(???)?sin?cs??cs?sin?cs(???)?cs?cs??sin?sin?tan(???)?ct(???)? tan??tan?1?tan??tan?ct??ct??1ct??ct?
sin??sin??2sinsin??sin??2cs ???2 cssin ???2 ???2 ???2 cs??cs??2cscs??cs??2sin ???2 cssin ???2 ???2 ???2 ?倍角公式:
sin2??2sin?cs? cs2??2cs??1?1?2sin??cs??sin?ct2??tan2??
ct??12ct?2tan?1?tan? 222 2 2 2
sin3??3sin??4sin?cs3??4cs??3cs?tan3?? 3tan??tan?1?3tan? 2 3 3 3 ?半角公式:
sintan ? 2 ???? ?cs? 21?cs?1?cs? asinA 1?cs?sin?bsinB ? cs ct ? 2 ?? 1?cs? 2 ? 2 1?cs?sin? 2 ? 2 ??c sin?1?cs? ? 2 ?? 1?cs?1?cs? 2 ? sin?1?cs? ?正弦定理:
? sinC ?2R ?余弦定理:
c?a?b?2abcsC ?反三角函数性质:
arcsinx? ? 2 ?arccsx arctanx? ? 2 ?arcctx 高阶导数公式—
—莱布尼兹(Leibniz)公式:
n (uv)?u (n) ? ?C k?0 kn u (n?k) v (k) (n) v?nu (n?1) v?? n(n?1)2! u (n?2) v????? n(n?1)?(n?k?1) k! u (n?k) v (k) ???uv (n) 中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
柯西中值定理:
f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) ?f?(?)F?(?) 拉格朗日中值定理。
f(b)?f(a)F(b)?F(a) 当F(x)?x时,柯西中值定理就是 曲率:
弧微分公式:
平均曲率:
K? ds????s ?y?dx,其中y??tg? ??:从M点到M?点,切线斜率的
倾角变 ???s d?ds y??(1?y?) 2 3 2 化量;?s:
MM?弧长。 M点的曲率:
直线:
K?0; K?lim ?s?0 ??. 半径为a的圆:
K? 1a . 定积分的近似计算:
b 矩形法:
?f(x)? ab b?an (y0?y1???yn?1) 梯形法:
?f(x)? a b b?a1 [(y0?yn)?y1???yn?1]n2b?a3n [(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)] 抛物线法:
?f(x)? a 定积分应用相关公式:
功:
?F?s水压力:
F?p?A引力:
F?k m1m2r 2 ,k为引力系数 函数的平均值:
y? 1b?a b ?b?a a 1 b f(x)dx 均方根:
? a f(t)dt 2 空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:
向量在轴上的投影:
d?M1M 2 ? (x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1) 222 PrjuAB?cs?,?是AB与u轴的夹角。 ???? Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????
a?b?a?bcs??axbx?ayby?azbz,是一个数量两向量之间的夹角:
cs??k , axbx?ayby?azbz ax?ay?az?bx?by?bz 2 2 2 2 2 2 i???
c?a?b?ax bx jayby ??? az,c?a?bsin?.例:
线速度:
bz aybycy azbzcz ???v??r. ax ?????? 向量的混合积:
[abc]?(a?b)?c?bx cx 代表平行六面体的体积 。 ??? ?a?b?ccs?,?
为锐角时, 平面的方程:
1、点法式:
? A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0,其中
n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)Ax?By?Cz?D?0xa?yb?zc?1 d?
Ax0?By0?Cz0?D A?B?C 空间直线的方程:
2 2 2
2、一般方程:
3、截距世方程:
平面外任意一点到该平面的距离:
?x?x0?mt x?x0y?y0z?z0?? ???t,其中s?{m,n,p};参数方程:
?y?y0?ntmnp?z?z?pt 0? 22 22 二次曲面:
1、椭球面:
2、抛物面:
3、双曲面:
单叶双曲面:
双叶双曲面:
xaxa 2222 xa 222 ?? yb ? 2 zc ?1 xy 2p2q ?z(,p,q同号) ?? ybyb 2222 ?? zczc 2222 ?1 ?(马鞍面)1 多元函数微分法及应用 全微分:
dz? ?z?xdx? ?z?y dy du? ?u?xdx? ?u?ydy? ?u?zdz 全微分的近似计算:
多元复合函数的求导法 ?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y:
dz?z?u?z?v z?f[u(t),v(t)]???? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?v
z?f[u(x,y),v(x,y)]???? ?x?u?x?v?x当u?u(x,y),v?v(x,y)时,du? ?u?xdx? ?u?y dy dv? ?v?xdx? ?v?ydy 隐函数的求导公式:
FFFdydy??dy 隐函数F(x,y)?0??x2?(?x),(?x)? dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z 隐函数F(x,y,z)?0???? ?xFz?yFz 2