已知f(x)=x3 3ax2 bx a2,在x=﹣1时有极值O (1)求常数a,b的值;
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322已知f(x)=x+3ax+bx+a,在x=,1时有极值O
(1)求常数a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)方程f(x)=C在区间[,4,0]上有三个不同的实根时实数C的范围(
考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性(
专题: 导数的概念及应用(
322′分析: (1)求出函数f(x)的导函数,由f(x)=x+3ax+bx+a在x=,1时有极值O,则f(1)=0,f(,1)
=0,两式联立可求常数a,b的值;
(2)把a,b代入后得到函数解析式,运用函数的导函数大于0和小于0求解函数f(x)的单调区间;
(3)求出函数f(x)的极值,再求出f(,4)和f(0),结合函数的单调性作出函数图象的大致形状,数
形结合可求得实数C的范围(
322′2解答: 解:(1)由f(x)=x+3ax+bx+a,得:f(x)=3x+6ax+b
322因为f(x)=x+3ax+bx+a在x=,1时有极值O,所以,
即,解得:或(
32当a=1,b=3时,f(x)=x+3x+3x+1,
′222f(x)=3x+6x+3=3(x+2x+1)=3(x+1)?0
32所以函数f(x)=x+3x+3x+1在(,?,+?)上为增函数,
不满足在x=,1时有极值O,应舍掉,
所以,常数a,b的值分别为a=2,b=9;
32(2)当a=2,b=9时,f(x)=x+6x+9x+4,
′2f(x)=3x+12x+9,
2由3x+12x+9,0,得:x,,3或x,,1,
2由3x+12x+9,0,得:,3,x,,1(
32所以,函数f(x)=x+6x+9x+4的增区间为(,?,,3),(,1,+?)(减区间为(,3,,1)(
32(3)当f(x)=x+6x+9x+4时,
由(2)知函数的增区间为(,?,,3),(,1,+?),减区间为(,3,,1)(
又f(,4)=0,f(,3)=4,f(,1)=0,f(0)=4,
32所以函数f(x)=x+6x+9x+4的大致图象如图,
若方程f(x)=C在区间[,4,0]上有三个不同的实根,则函数y=f(x)与y=C的图象有三个不同的交点,
由图象可知方程f(x)=C在区间[,4,0]上有三个不同的实根时实数C的范围是(0,4)( 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值,函数在某区间上的导函数大于0,函数在该区间上为增函数,
函数在某区间上的导函数小于0,函数在该区间上为减函数,考查了数形结合的解题思想,同时训练了函数
在极值点处的导数等于0,此题是中档题(