[讲解]驻波与克拉尼图形

[讲解]驻波与克拉尼图形 实验8 驻波与克拉尼图形 驻波是由两列传播方向相反而振幅与频率都相同的波叠加而成的。驻波有一维驻波、二维驻波等。按某些频率激发弦乐器的弦线振动，弦线就会形成一维驻波。对于话筒的膜片、锣鼓鼓面，它们形成的驻波分布在平面或曲面上，是二维驻波。把细沙撒在薄板上，当薄板振动时，薄板上的细沙就会显示各种各样的图形，图形随振动频率而变，这种图形是由德国物理学家克拉尼(Chladni)发现的，因而命名为克拉尼图形。用来显示克拉尼图形的薄板就称为克拉尼板。早期是用弓弦摩擦克拉尼板的边缘方法使板振动。现在使板振动的方法很多，用压电陶瓷片使克拉尼板振动的方法就是其中的一种。通过本实验，要求对一维驻波、二维驻波有所了解。 实验原理 当弦线上的前进波遇到障碍物后反射，反射波与前进波叠加就形成了驻波，如图1所示。图中实线代前进波，虚线代表反射波，粗线代表叠加波——驻波。驻波的特点是从波形上看不出波在前进，在弦线上的某些点始终不动，这些不动点称为波节;在相邻两个波节中间的点只作上下振动，振动最大处称为波腹。弦线上产生的驻波是一维驻波。 图1 驻波的形成 前进波沿x方向传播，其位移y与时间t的关系为 y = Acos2π(νt , kx) (1) 前进 其中，A为振幅，ν为波的振动频率，k为波数，它等于波长入倒数。波的传播速度为 , u = ν (2) 反射波的相应表示式为 y=,Acos2π(νt + kx) (3) 反射 前进波与反射波相遇，并在空间叠加后，其合振动为 y =2Asin2πkxsin2πνt (4) ,上式为驻波的函数，它是时间t的函数f(t )=sin2πνt和位置x的函数(x)=2Asin2πkx的乘积。 ,在x=?(n+1/2)/2(n=0,1,2，3，…)处，满足2πkx=?(n+1/2)π的条件时，各点的振幅最大，就是波腹的位置。 ,在x=?n/2(n=0，1，2，3，…)处，满足2πkx=?nπ的条件时，各点的振幅为零，就是波节的位置。 上式为一维驻波的波函数。而话筒的膜片等振动可以看成二维驻波，这些驻波分布在平面或曲面上。一块四周固定的矩形板的振动是最简单二维驻波，如图2所示，它的波函 数也可以表示为一位置函数 (x，y)与时间函数f(t)这两部分的乘积。从x方向看，膜, 片的振动可以看成是许多平行于x轴的线条上的驻波联结在一起;从y方向看，可以看成是许多平行于y轴的线条上的驻波联结在一起;边缘各点的振幅则均为零。总的振动位移可写为 Z(x，y)=(x，y)sin2πνt = Csin2πkxsin2πkysin2πνt (5),12 ,,式中，C为常数，kl/= n/2L，k= l/=n/2L，n和n为整数。膜也有一系列本征频1=1 11221212 率，但与弦线的情况不同，它们不等于一个基频的整数倍。膜的本征频率与边界条件等许多因素有关，情况很复杂，本实验不再展开论述。图3是克拉尼板显示的一个克拉尼(二维驻波)图形。 图2 矩形膜 图3 一种克拉尼图形 实验仪器 图4为一台XD7型正弦波信号发生器的示意图。该信号发生器能输出频率范围从20Hz到200kHz的正弦波信号。信号的电压幅度可调，并可通过伏特表显示。在使用时还要注意输出阻抗和外接阻抗匹配。具体的旋钮指示见图示。 图4 XD7型正弦信号发生器 图5为显示弦线上驻波的实验装置。左边是一台XD7型正弦波信号发生器，正弦波信号通过两根信号线送到喇叭上。一根弦线两端固定，其中一头和喇叭相连，另一头连着砝码钩。喇叭的振动带动弦线振动，由于弦线两端固定满足了驻波形成条件，故弦线振动时会出现驻波。 图5 弦上驻波实验装置图 图6 克拉尼板装置 图6为克拉尼板装置。把压电陶瓷片贴在板下，压电陶瓷片与低频正弦波信号发生器连接，在板上放上细砂。通电后，压电陶瓷片使板振动，在波腹上细砂上下振动，所以在这个地方不可能有细砂存在，而都聚集在没有振动的波节上，形成克拉尼图形。 实验内容 ? 一维振动 1(观察弦线上的一维驻波:把弦线放长至80cm，在和弦线一端相连的砝码钩上套上3个砝码。打开信号发生器，频段旋钮至1档，输出衰减旋钮至8Ω档，使振源振动。从低到高调节信号发生器输出频率，当出现驻波时，观察弦线上的驻波的波节数，并观察驻波的波节数增减。 ,2(使弦线上出现2个完整波腹(弦线两端均为波节)，测出驻波半波长/2 (相邻波节之间距离)、振幅、频率ν，写出该驻波的表达式以及叠加这一驻波的两列行波的表达1 式，并计算出波的传播速度。 ,3(改变信号发生器输出频率，当出现5个完整波腹时，测出此时的半波长/2，根据 以上实验得出的波速计算出电压信号的频率ν，并与信号发生器发出的信号频率ν相比220较(完成内容。 4(把弦线放长、拉长或缩短，根据驻波半波长、电压信号频率计算出传播速度，并讨论波的弦线上的传播速度与弦线长度及其松紧程度的关系。 5. 完成表格内容。 ? 二维振动 1、观察克拉尼图形:用压电陶瓷片贴在板下，并固定。在板上均匀地撒上细砂，将信号发生器的输出衰减旋钮打至5KΩ档，并打开信号发生器，由低到高调节信号发生器输出频率。当出现稳定克拉尼图形时，记下此时的频率。 2、用刷子刷去板上细砂的图形。继续增加信号发生器的输出频率，测出出现各种克拉尼图形时所对应的频率，在纸上画出几个典型的克拉尼图形，完成表格内容。 3(写出出现克拉尼图形的频率范围。 观察思考 1(弦线的松紧程度对驻波的波节数及传播速度有何影响, 2(在弹奏弦线乐器时，发出声音的音调与弦线的长度、粗细、松紧程度有什么关系,为什么, (克拉尼图形与所使用的压电陶瓷片数量以及贴在板上位置是否有关,3 4(是否可以用食盐代替细砂进行克拉尼图形实验, 5(克拉尼板的厚度及均匀性对克拉尼图形是否有影响, 数据表格: 1(根据实验步骤1、2，写出该驻波的表达式以及叠加这一驻波的两列行波的表达式，并计算出波的传播速度。 弦线长度 cm ; 受力砝码 3 个 半波数 λ/2 振幅A 频率ν(Hz) u(m/s)波 2 5 y= 驻 y= 1 y= 2 改变频率后，根据测出的半波长及算出的波速计算电压信号频率，并与信号发生器发出的信号频率相比较。 ,,,220 ，100,,,20 2(弦线上的传播速度与弦线松紧程度的关系: 改变受力砝码个数，调节信号频率，使弦线上出现2个完整波腹，将相应的频率记录下来，并求波速，最后再就不同的弦线松紧程度对波速的影响作一讨论。 砝码数(个) 弦线状态 频率ν(Hz) u(m/s) 观察讨论 波波 较松 2 较紧 4 很紧 6 3(弦线上的传播速度与弦线长度的关系: 改变弦线长度，调节信号频率，使弦线上出现2个完整波腹，将相应的频率记录下来，并求波速，最后再就不同的弦线长度对波速的影响作一讨论。 弦线长度 频率ν(HZ) u(m/s) 观察讨论 波波 50cm 70cm 90cm 4(克拉尼图形观察 出现克拉尼图形的频率范围 频率ν(Hz) 克拉尼图形