河南2015中考数学试题与答案解析

河南2015中考试与答案解析 2015年全国各地市中考数学试题 2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题 数 学(解析版) 一、选择题(每小题3分，共24分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1. 下列各数中最大的数是( ) A. 5 B. C. π D. -8 3 ,83A【解析】本题考查实数的比较大小.?3,1.732，π?3.14,?5>π>>，?最大的数 为5. 2. 如图所示的几何体的俯视图是( ) 正面 A B C D 第2题 B【解析】本题考查实物体的俯视图的判断，俯视图是从上往下看得到的图形，从上面看 可以看到轮廓是一个矩形和中间有一条竖着的实线，故B选项符合题意. 3. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数 法表示为( ) 9101112 A. 4.0570×10 B. 0.40570×10 C. 40.570×10 D. 4.0570×10 84D 【解析】本题考查带计数单位的大数科学计数法.?1亿=10 ，40570=4.057×10，? 481240570亿=4.057×10×10=4.0570×10. 4. 如图，直线a，b被直线e，d所截，若?1=?2，?3=125?，则?4的度数为( ) A. 55? B. 60? C.70? D. 75? c d a b A【解析】本题考查了平行线的判定和相交线与平行线性质求角度.??1,?2，第4题 ?a?b(??5,?3=125?， ??4,180?,?5=180?,125?=55?( 2015年全国各地市中考数学试题 x，5,0,,5. 不等式组的解集在数轴上表示为( ) ,3,x,1, -5 0 2 -5 0 2 A B -5 0 2 -5 0 2 C D C【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示.由不等式x+5?0，解得:x?,5 ; 由不 等式3-x>1，解得:x,2，则该不等式组的解集为,5?x,2，故C选项符合. 6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分， 若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是( ) A. 255分 B. 84分 C. 84.5分 D.86分 —85，2，80，3，90，5,,86，?C【解析】本题考查加权平均数的应用.根据题意得x2，3，5小王成绩为86分. 7. 如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作?BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5， 则AE的长为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 F D A G B E C 第7图 C【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，以及基本的尺规作图. 设AE与 1BF交于点O，?AF=AB，?BAE= ?FAE ，?AE?BF，OB=BF=3在Rt?AOB中，2 22-4,AO=，?四边形ABCD是平行四边形，?AD?BC??FAE= ?BEA， 53 ??BAE=?BEA ，?AB=BE，?AE=2AO=8. 8. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O，O，O，… 组成123 y P O2 x O OO1 3 2015年全国各地市中考数学试题 ,一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，2则第2015秒时，点P的坐标是( ) A.(2014,0) B.(2015，-1) C. (2015,1) D. (2016,0) B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索. ?半圆的半径r=1，?半圆长度=π， π?第2015秒点P运动的路径长为:×2015， 2 π?×2015?π=1007…1，?点P位于第1008个半圆的中点上，且这个半圆在x轴的下方. 2 ?此时点P的横坐标为:1008×2-1=2015，纵坐标为-1，?点P(2015，-1) . 第8题解图 A 二、填空题(每小题3分，共21分) D 0-19. 计算:(-3)+3= . 14410,131,3(,),,9.【解析】，?原式=1+ = . ？3333B E C 10. 如图，?ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC， 第10题 若DB=4，DA=2，BE=3，则EC= . BDBE3,【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.?DE?AC，?， 2DAEC DA,BE2，33,,?EC=. y BD42 2y,(x,0)11. 如图，直线y=kx与双曲线交于点 A x A(1，a),则k= . 2【解析】本题考查一次函数与反比例函数结合. O x 22第11题 把点A坐标(1，a)代入 y= ,得a==2 x1 ?点A的坐标为(1,2)，再把点A(1,2)代入y=kx中，得k=2. 2212. 已知点A(4，y)，B(，y)，C(-2，y)都在二次函数y=(x-2)-1的图象上，则123 y，y，y的大小关系是 . 123 2015年全国各地市中考数学试题 .【解析】本题考查二次函数图象及其性质.一:解:? A(4，y)、B(， 2yyy,,1213 2y)C(-2，y)在抛物线y=上，?y=3，y=5-4,y=15.?5-4,3, 22,123123()x-2 15，?y,y,y213 2方法二:解:设点A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d、d、d?y= ，,1(x,2)123 ?对称轴为直线x=2，?d=2,d=2-,d=4?2-,2,4，且a=1,0，?y,y,y22123213. 2方法三:解:?y=，?对称轴为直线x=2，?点A(4, y)关于x=2 ,11(x,2) 2的对称点是(0，y).?-2,0,且a=1,0，?y,y,y 1213. 13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 . 5【解析】本题考查用列表法或画树状图的方法求概率.列表如下: 8 1 2 2 3 (1,1) (1，2) (1，2) (1，3) 1 (2，1) (2,2) (2，2) (2，3) 2 (2，1) (2，2) (2,2) (2，3) 2 (3，1) (3，2) (3，2) (3,3) 3 或画树状图如解图: 开始 第一次 1 2 2 3 第二次 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 第13题解图 由列表或树状图可得所有等可能的情况有16种，其中两次抽出卡片所标数字不同 B 105,的情况有10种，则P=( E 168 D A C O 2015年全国各地市中考数学试题 14. 如图，在扇形AOB中，?AOB=90?，点C为OA的中点， CE?OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径 AB 作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 CD . 【分析】先观察阴影部分的图形为不规则图形，相到利用转化的思想，并作出必要的辅助 线，即连接OE，得到，再分别计算出各图形的面积即可求解. S,S，S,S,OCE阴影扇形OBE扇形COD π3 【解析】本题考查阴影部分面积的计算.如解图，连接OE，?点C是OA的中 ，122 11点，?OC,OA,,，?OE,OA,,，?OC,OE. 22 ?CE?OA，??OEC,30?，??COE 133,60?.在Rt?OCE中，CE,，?OC?CE=.??AOB,9,?， ,,?OCE22 ??BOE 2230π,2901π,ππ,?AOB-?COE,30?,?S扇形OBE==，,==， 扇形COD34360360 ,3π,3，?[来S,S，S,S=+-=. ,OCE阴影扇形OBE扇形COD342122 BE DA D E AOC 第14题解图 B′ 15. 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3， 点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把?EBF沿 B F C 第15题 EF折叠，点B落在B′处，若?CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 . 2015年全国各地市中考数学试题 【分析】若?CD恰为等腰三角形，判断以CD为腰或为底边分为三种情况:?DB′=DC;,B ?CB′=CD;?CB′=DB′，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解. 16或【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想.45 根据题意，若?CD恰为等腰三角形需分三种情况讨论:(1)若DB′=DC时，则DB′=16,B (易知点F在BC上且不与点C、B重合) ;(2)当CB′=CD时，?EB=EB′，CB=CB′?点E、C在BB′的垂直平分线上，?EC垂直平分BB′，由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去;(3)如解图，当CB′=DB′时，作BG?AB与点G，交CD于点H.?AB?CD， 1?B′H?CD，?CB′=DB′，?DH=CD=8，?AG=DH=8，?GE=AG-AE=5，在Rt?B′EG2 45中，由勾股定理得B′G=12，?B′H=GH-B′G=4.在Rt?B′DH中，由勾股定理得DB′=， 45综上所述DB′=16或. DA E B'HG CBF 第15题解图 三、解答题(本大题共8个小题，满分75分) 22a,ab，b211,,a,5，1b,5,1()16.(8分)先化简，再求值:，其中，. a,bba22 【分析】解答本题应从运算顺序入手，先将括号里通分，能因式分解的进行因式分解，然后将除法变乘法，最后约分化简成最简分式后，将a,b的值代入求解. 2a,ba,b()解:原式=,……………………………………………………(4分) 2(a,b)ab a,bab, = 2a,b ab =.……………………………………………………(6分) 2 (5，1)(5,1)5,1,,2当时，原式=.…………(8分) ab,，,,51,5122 17.(9分)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长 BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD，PO. 2015年全国各地市中考数学试题 (1)求证:?CDP??POB; (2)填空: ? 若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 ; ? 连接OD，当?PBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形. C P D A O B 第17题 (1)【分析】要证?CDP??POB，已知有一组对应边相等，结合已知条件易得DP是?ACB的中位线，进而可得出一组对应角和一组对应边相等，根据SAS即可得证. 解:?点D是AC的中点，PC=PB，…………………………………………(3分) 1DP,AB?DP?DB，，??CPD=?PBO. 2 1OB,AB?,?DP=OB，??CDP??POB(SAS).………………………………(5分) 2 C PD ABO 第17题解图 易得四边形AOPD是平行四边形，由于AO是定值，要使四边形AOPD的(2) 【分析】? 面积最大，就得使四边形AOPD底边AO上的高最大，即当OP?OA时面积最大;?易得四边形BPDO是平行四边形，再根据菱形的判定得到?PBO是等边三角形即可求解. 解: ? 4 ;………………………………………………………………………………(7分) ? 60?.(注:若填为60，不扣分)…………………………………………………(9分) 【解法提示】?当OP?OA时四边形AOPD的面积最大，?由(1)得DP=AO，DP?DB，?四边形AOPD是平行四边形，?AB=4，?AO=PO=2，?四边形AOPD的面积最大 2015年全国各地市中考数学试题 为,2×2=4;?连接OD,?由(1)得DP=AO=OB，DP?DB，?四边形BPDO是平行四边形，?当OB=BP时四边形BPDO是菱形，?PO=BO，??PBO是等边三角形，??PBA=60?. 18.(9分)为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调 查结果绘制了如下尚不完整的统计图。 调查结果条形统计图 调查结果扇形统计图 人数 450 400 400 其它 350 报纸 9% 电脑上网 10% 300 260 250 26% 200 电视 150 150 99 手机上网 100 40% 50 0 选项 电视 报纸 其它 电脑上手机上 网 网 根据以上信息解答下列问题: (1)这次接受调查的市民总人数是 ; (2)扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是 ; (3)请补全条形统计图; (4)若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途 径”的总人数. (1)【分析】从条形统计图中得到“手机上网”的人数，从扇形统计图得到“手机上网”所占的百分比，相除即可得到本次调查的市名总人数. 解:1000.………………………………………………………………………………(2分) 【解法提示】本次调查的市名总人数为:400?40,=1000. (2)【分析】 根据扇形统计图可得:1—电脑上网、其他、报纸和手机上网各项所占的百分比从而求得用“电脑”获取新闻的最主要途径所占的百分比，再乘以360?即可求解. 解:54?.(注:若填为54，不扣分)………………………………………………(4分) 【解法提示】(1-9,-10,-26,-40,)×360?=54?. (3)【分析】由扇形统计图可得用“报纸”获取新闻的途径所占的百分比，再乘以总人数即可求解. 解:用“报纸”获取新闻的途径的人数为:10,×1000=100， 补全条形统计图如解图: 2015年全国各地市中考数学试题 调查结果条形统计图 人数 450400400 350 300260250 20015015010090100 500电脑上网手机上网电视其它报纸选项 第18题解图 ………………………………………………………………………………………………(4分) (4)【分析】先求得将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”所占的百分比，再乘以该市的人数即可求解. 00解: ，，8，10000，26，40,52800(人)00 19.(9分)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|. (1)求证:对于任意实数m，方程总有两个不想等的实数根; )若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根. (2 (1)【分析】先化简一元二次方程，列出根的判别式，再根据绝对值为非负数，得到根的判别式与0的大小关系即可得证. 解: m(2)【分析】当x=1时，代入原方程得到的值，根据绝对值的非负性，得到m有两个值，再分别代入原方程进行求解. 解: 2015年全国各地市中考数学试题 20.(9分)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D 出测得大树顶端B的仰角是48?. 若坡角?FAE=30?，求大树的高度. (结果保留整数， 参考数据:sin48??0.74，cos48??0.67，tan48??1.11，3?1.73) B F D 30? 48? A C E 第20题 【分析】通过观察图形，要求大树的高度，需要构造直角三角形，将所求线段联系起来.结合题目中的信息，即要延长BD交AE于点G，并过点D作DH?AE于点H，分别在Rt?GBC和Rt?ABC中表示出CG和AC的长即可求解. 解: 2015年全国各地市中考数学试题 第20题解图 21.(10分)某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡: ? 金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费; ? 银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元. 暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数. 设游泳x次时，所需 总费用为y元. (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式; (2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A、B、 C的坐标; (3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算. y D 600 C B A x O 第21题 (1)【分析】观察图象，结合题目中的信息，得到普通卡是正比例函数，分析次数x与20的关系，银卡为一次函数，分析出次数x与10的关系，从而即可求解 解: (2)【分析】由(1)中银卡的函数关系式可得点A的坐标，观察图形，联立普卡和银卡的函数关系式可求得点B的坐标，再将y=600代入银卡的函数关系式即可求解. 2015年全国各地市中考数学试题 y DC600 B A Ox 第21题解图 (3)【分析】观察图象，应从普卡、银卡和金卡三者图象的交点前后进行分段讨论，依次得到消费即可求解. 22.(10分)如图1，在Rt?ABC中，?B=90?，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的 中点，连接DE. 将?EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. (1)问题发现 AE,,0:,_____________ ? 当时，; BD AE,,180:,__________.? 当时， BD (2)拓展探究 AE 试判断:当0??α,360?时，的大小有无变化,请仅就图2的情况给出证明. DB (3)问题解决 当?EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长. 2015年全国各地市中考数学试题 A E A A D E B B B D C C C (备用图) (图1) (图2) (1)【分析】?根据题意可得DE是三角形ABC的中位线和BD的长，根据中位线的性质和勾股定理求得AE的长即可求解;?根据旋转180?的特性，结合?，分别得到AC、CE、BC和CD的长即可求解. 5解:?;……………………………………………………(1分) 2 5?.……………………………………………………(2分) 2 【解法提示】?当α=0?，如解图?，?BC=2AB=8，?AB=4，?点D，E分别是边BC， 1AB,1AC的中点，?DE=,AE=EC,，??B=90?，2 AE2552225?AC,，,8445,?AE=CE=,?;?当α=180度，如解图?，,,BD42 525由旋转性质可得CE=,CD=2，?AC=，BC=8， AEAC，CE45，255,,, ?.BDBC，CD8，42 CECD,(2)【分析】在由解图?中，由平行线分线段成比例得到，再观察图?中?EDCCACB CECD,绕点C的旋转过程，结合旋转的性质得到任然成立，从而求得?ACE? CACB ?BCD，利用其性质，结合题干求得AC的长即可得到结论. 2015年全国各地市中考数学试题 第22题解图? (3) 【分析】 125解:………………………………………………………………………(10分) 45.或5 【解法提示】当?EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形， 45?BD=AC=;当?EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，?ADC为直角三角形， 1255AE由勾股定理可求得AD=8，?AE=6，根据=可求得BD =. 52BD A DAE F BCE BDC 图? 图? 第22题解图 2015年全国各地市中考数学试题 23.(11分)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经 过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点(含端点)，过点P作PF?BC于点F. 点 D、E的坐标分别为(0，6)，(-4，0)，连接PD，PE，DE. (1)请直接写出抛物线的解析式; )小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值. 进(2 而猜想:对于任意一点P，PD与PF的差为定值. 请你判断该猜想是否正确，并说 明理由; (3)小明进一步探究得出结论:若将“使?PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则 存在多个“好点”，且使?PDE的周长最小的点P也是一个“好点”. 请直接写出所有“好点”的个数，并求出?PDE的周长最小时“好点”的坐标. y y B F B C C D D P x x O A E A E O 备用图 图 2(1)【分析】由题意设抛物线解析式为，将A、C两点坐标代入即可. yaxc,， 12yx,,，8解:抛物线的解析式为:.………………………………………………(3分) 8 2【解法提示】由题意设抛物线解析式为，?的正方形OABC的边长为8，?点yaxc,， 1,2,0,a,(,8)，ca,,1,2yx,,，8A(-8，0)、C(0,8),?，解得，抛物线解析式为. 8,,88,c,,c,8, 1,,2(2)【分析】设P点坐标为，表示出PF的长度，构造PD所在的直角三角xx,8,，,,8,, 形，表示PD的长度，通过求差法得到PD-PF的值. 解: 2015年全国各地市中考数学试题 M 第23题解图 (3)【分析】通过将?PDE的面积进行转化，得到其面积的表达式，根据点P横坐标m的取值范围，确定面积为整数时“好点”的个数，再把?PDE周长的最小值转化成PE+PF的和最小，进而知道当P、E、F三点共线时?PDE周长的最小，确定点P的坐标. 解:好点共11个;] 在点P运动时，DE的大小不变，?PE与PD的和最小时，?PDE的周长最小， ?PD-PF=2，?PD=PF+2，?PE+PD=PE+PF+2， 当P，E，F三点共线时，PE+PF最小， 12yx,,，8此时，点P，E的横坐标为-4，将x=-4代入，得y=6， 8 ?P(-4,6)，此时?PDE周长最小，且?PDE的面积为12，点P恰为“好点”. ??PDE周长最小时点P的坐标为(-4,6). 1122Sxxx=34(6)13.,,，,,，，【解法提示】?PDE的面积由于-8?x?0，可得44 4?S?13，所以S的整数值为10个.由图象可知，当S=12时，对应的“好点”有2个，所以“好点”共有11个. 2015年全国各地市中考数学试题 更多中考试题解析请点击～～～