[高中数学竞赛]数学奥林匹克高中训练题(04)及答案

[高中数学竞赛]数学奥林匹克高中训练题(04)及 数学奥林匹克高中训练题(04) 第一试 一、选择题(本题满分36分，每小题6分) 10031((训练题09)由展开所得的的多项式中，系数为有理数的共有(B)项( (32)x，x (A) 50 (B) 17 (C) 16 (D) 15 zi，,,5123z2((训练题09)已知满足(则的最大值是(D) z (A) 3 (B) 10 (C)20 (D)16 CD3((训练题09)正方体的棱长为，为的中点，为的中点，过 EFABCDABCD,EFB,,AAa111111 的截面面积是(C) 5552911297292222aaaa(A) (B) (C) (D) 1924488 ,xx4((训练题09)方程的解的个数是(B)( sincos1(0)，,,,,,,2 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 大于2 3a，23a,1005((训练题09)设是正整数，，并且能被24整除(那么，这样的的个数为(B)( aa(A) 4 (B) 5 (C) 9 (D) 10 1,2,,49？6((训练题09)从中取出六个不同的数,其中至少有两个是相邻的，所有的取法种数是(D)( 666556(A) (B) (C) (D) CCCC,CC,494449444944 二、填空题(本题满分54分，每小题9分) 22PQ,PQ,zzzzz,,，,4,4201((训练题09)已知在复平面上对应点分别为，且(则与zz,1221122 ,OPQO原点所成的面积等于________( 23 VE,ABCD2((训练题09)设四面体的体积为为棱长的中点，在的延长线上，且ADFAB VCEF,,GCDGEBFAB,，过三点的平面交BD于(则四面体的体积为________( 3 149xyz,,0,xyz，，,13((训练题09)设且(则，，的最小值为___36_____( xyz 12Ma()fxxa(),,4((训练题09)函数在区间,,,11x内的最大值的最小值是________( 2 n，1fm()5((训练题09)对于正整数，它的个位数码用表示，记(则afn,,,(21)(1,2,)？mn_____7___( a,1994 nn(3),pp(2),6((训练题09)条直线中恰有条互相平行，而且条直线中没有3条相交于同一点，n 122则这条直线将平面分割成的块数是________( (2)npnp,，，，2 第二试 22AstBmn(,),(,)一、(训练题09)(本题满分25分)已知圆的方程为(试在坐标平面上求两点，xy，,4 使下列两条件满足: k(1) 圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值; AB (2,2),(1,1)(2) ，且均为自然数(() smtn,,,mn, fx()二、(训练题09)(本题满分25分)求满足条件的实系数多项式; fafaf(1)()(1)，,，(1) 对于任意的实数，有; a fx()(2) 存在某一实数，使，其中为fkkfkkfkkfkk(),(),,(),(),,,,？k,0n122311nnn,1 fxx(),的次数(() fn()f(4)1247,，，,三、(训练题09)(本题满分35分)正整数的所有约数之和用表示，(比如)(试n 答下列各问: fmnfmfn()()(),(1) 证明:如果和互质，那么; mn l()an,fnna(),，21,l(2) 当是的约数，且，试证是质数，其次，如果是正整数，是ann l质数，试证也是质数; kpp,1nm,2fnn()2,k(3) 设(为正整数，为奇数)，且(试证存在质数p使得( n,,2(21)m 222199219923四、(训练题09)(本题满分35分)数列是由两个1，两个3，两个，…，1,1,3,3,3,3,,3,3？ 19923S两个按从小到大顺序排列，数列各项的和记为，对于给定的自然数，若能从数列中选取一些n 不同位置的项，使得这些项之和恰等于，便称为一种选项，和数为的所有选项方案的种数记nn 1993fn()fffs(1)(2)()，，，？为(试求:的值(() fffs(1)(2)()41，，，,,？