《非线性数学分析》试卷2003年6月

《非线性数学分析》试卷2003年6月 《非线性数学分析》试卷 2003年6月 学生姓名： 李晓雷 所在院系： 机械学院 学号： 1003201019 ,3 1. 答： A,(A,B),A，A,A，B都是可列集，不是可列集。 B，B::1212iii12i,1i,1 j2. （1）证：记此集合为S，即S=数列第项是1而其余,,，，,,aa？a,0,1,2,3,i,N12i项都是3的无限数列若记为，则显然是S的一个无限子集，故S是无限集。 ,,eej,Njj 设S是可列集，则可设其全部元素排成一列如下： 111 A,，，aaa？1123 222 A,，，aaa？2123 … … i,当a1,,1,iiB,S 其中所有都属于,,，令，其中则。但0,1,2,3，，B,bbb？ab,,i123ji当a3,,1,i, j，因为至少有，这又表明B不在S的元素列A,A,？之中，这是矛,j,N,A,Ba,b12jjj 盾的。故S是不可列集。综上所述，S是无限不可列集。 （2）根据题设，显然集合O是S的无限子集，，其中 ，，O,Axii ，， ，，共k项（k为有穷数）。x,00？（从O中第k+1项开始），显A,aa？a12k 然可在x与自然数集之间建立一一对应的映射关系 f:X,N 所以 即X是可列集。所以O由一个有限集和一个可列集组成，X,N 。得证。 ？O,X,N，？O是S的一个无限可列子集 3. 解：（1），（2），（3）是错的，（4）是对的。 o4. 解：，，，，，，，， A,0,1,2,3,4,5,6,7 e，，，，，，，，，， A,,,,0,1,2,3,4,5,6,7,8,(8,，,) b,, A,0,1,2,3,4,5,6,7,8 d ,,,,,,,,A,0,1,2,3,4,5,6,7 ,,,,,,,,,, A,0,1,2,3,4,5,6,7,8 5. 解：是开集的有：,，，，,,，，，，，，，,,，,，1,2,1,2,0,3,4,5,5.5,5,6,5,6,7,8,7,，, 是闭集的有： ,，,,,,，,，,,，1,2,0,3.5,3.8,5,5.5,5,6,7,，, ,16. 证明： g和是连续的。设Y中开集组是g(A)的任g：X,Y是同胚，,,？？O;,,,g, ,1,1,1，，，，g(A),,O一开覆盖，则，从而A,g,O,,gO，即是A的一，，,,gO;,,,,,,,,,,,,,,, ,1个开覆盖，由于f连续，所有的都是X中开集。因为A是X中的紧集，故存在有限子覆盖，，，gO, mmm,,,1,1即有，，，，,,,,？,,,,使A,,gO,这使g(A),g,gO,,O，即 ,,O;k,1,2,？,m,,m,,,12,kkkkk,1,1,1,, 是g(A)的有限子覆盖，故g(A)是Y中的紧集。又A是X中的紧集，由定理（1.2.9）可知， 在距离空间中，集A是自列紧的当且仅当A是紧的，A是自列紧的。根据定理（1.2.8）中？ A是距离空间中的自列紧集，则A是有界闭集，可知A为有界闭集。又 g：X,Y也是连续映射，又由定理（1.2.10）可得g(A)是Y中的闭集，？g：X,Y是同胚，？ ,1又f：X,Y是连续映射，由定理（1.2.6）可知是X中的闭集。 ？f(g(A))7.解： 4 ，，，，，，,,,0,5,,,,fg,C,,,,K,Ff,，g,,,f,，gx,iii,1 4444 ，，，，，，，，，，，，,,,fx，,,gx,,,fx，,,gx,,Ff，,Fg,,,,iiiiiiiiiiii,1,1,1,1 故泛函F是线性的； 444 ，，,Mmaxfx,这里 ，，，，，，，，,f,,,C0,5,Ff,,fx,,fx,,maxfx,,,iiiii0,x,50,x,5i,1i,1i,1 4*M,,,10，故F是有界线性泛函，即， ，，F,C,,0,5,并且F,10,,,。为求F,i1i, ,ii,1,2,3,4,取，，,,为一值介于-1与+1之间的连续函数，且 fx,C0,5，，fx,,00i,i ，，f,maxfx,1,(即，，视的正负而取值1或-1）。于是而 fx,000ii,x,05 44 ，，，，，，Ff,,fx,,,10,从而，Ff,10f成立，故F,10，， ，结合,,, ,,0000iii11i,i, （见上），得出。 F,10 22,,x，yxy22,,,,,,xx,,,,22,,,,3,'63,T,xy,xy知T,y,xyx,x8．解：写故所求G—微分 ,,,,,,,,yy,,,,,,,,4x,2y4,2,,,, 2,2,2,,,,,,,,111,,,,,,为。 ,,,,,,T',5,2,1,,,,,,,,,,,122,,,,,,,,,,4,20,,,, xx,,,,2,,,,,,x，2xy,,9．解：采用列向量表示，T将变换成，故T在处的F—导数应是变换Tyy,,,,2,,y,2xyz,,,,,,zz,,,, 2x，2y2x0420,,,,的Jacobi矩阵在处，此矩阵为在列向，，，，x,y,z,1,1,,1,,,,,,,,,,,2yz2y,2xz,2xy24,2,,,,量表示下，T在处的F—导数作为线性算子就是此常数矩阵决定的变换：，，1,1,,1 hhh,,,,,,111,,,,,,4h,2h420,,,,3122,,h!h,,h,R,右端即，故T在，，处的F—导数就1,1,,1,,,R222,,,,,,,,,,24,22h，4h,2h,,,,,,,,123,,hhh333,,,,,, ,4h2h,,12是将,,变换为的线性变换。 ，，,h,h,h123,,，,2h4h2h,,123 ． 解：（1）令 ,x，4y,0x,0,14,,,,特征方程为 ,,,，，，得，奇点为0，0，方程组是线性的，系数矩阵为,,,,,3x，6y,0y,0,36,,,,，，，，,1,,6,,，12,0,解得,,2，,,3，故奇点为一结点，可求得相应于的特,,2121 3,,1,征向量和相应于的特征向量，，。故系统在以上两个方向上，轨线被奇点排斥，,,31,1,,24,, 33y,xy,xy,x奇点附近轨线以直线和直线分界并且轨线与直线相切，从而可以做轨线44图如下： x,02x,3y,02,3,,,,，得，该线性方程组系数矩阵为，特征方程为（2）令,,,,，，，奇点为0，0,,,,y,02x，3y,023,,,, ,i523，可解得特征值为，故奇点为一不稳定焦点，其附近的轨线为一些，，，，,,2,,3,,，6,01,22 发散的螺线，为确定轨线走向，考虑点（0，1）处，，x,,3,y,3，故轨线经过（0，1）处时方向指向左上方，考虑点（1，0）处，，，x,2,y,2，故轨线经过（1，0）处方向指向右上方，可知螺线是逆时针绕奇 点而行的，故得相图如下： ，（3）令,3x，3y,9,0x,1,x,1,,,,,,,3(),，得，故奇点为（1，2），作坐标变换，方程组化为，,,,,，,4x，2y,8,0y,2,y,2,4,2,,，,,,, 33,,系数矩阵为,,,，可求得特征值为,,6,,,,1，故奇点（1，2）是系统的鞍点，相应于特征值,,1212,,42,, 3(,,1)(1,1)的特征向量分别为和，奇点对这两个方向分别具有吸引性和排斥性，故可作轨线图如下： 4 2,x,xy,x，y,0x,0x,1x,1x,,1,,,,,11． 解：令 解得 ,,,,,,2y,0y,0y,,1y,,1,y，y,0,,,,, 2,,,,xx,xy,x，y,,,,,,,,f,故系统平衡点为（0，0），（1，0），（1，-1），及（-1，-1）；记，则,,2,,,,yy，y,,,,,, ，,,,,x2x,y,1,x，10,11,,,,,,,,,,,,,,，,,,,,,，在（0，0），，系统的近线方程为，,,,,,,,,f,f,,,,,,,,,,,,,,，y02y，1001,,,,,,,,,,,,,,,, ,11,,矩阵的特征值为，故（0，0）为系统的鞍点； ,,,,,11,2,,01,, ，,,110,,,,,,,,在（1，0），,,,，特征值为，系统的近线方程为， （1，0）为一,,,,1,,,,f,,12,,,,,,001，,,,,,,,,,, ，,,,,120,,,,,2,个排斥的不稳定的结心；在（1，-1），,,,,,,,，系统在 （1，-1）的近线方程为，f,,,,,,,,,10,1，,,,,,,,,,,, ，,,,1,22,,,,,,,2,2,,，（1，-1）为系统的鞍点。在（-1，-1），,,,，系统在（-1，-1）的近线方程为，,,,,f,,,,,,,,,10,1，,,,,,,,,,,, （-1，-1）为系统的一个稳定的结点。 ,x,0,,012. 解：令得及（当,,0），即当时系统只有（0，0）一个平衡点，f(x),0x,,,4 2当,,,,0,,0时，系统有三个平衡点。，当时，故0是不稳定的平衡f(0),,,0f(x),,,48x,, ,,,,,,,,,,点；,,,f,,2,,0f,,,2,,0,,0，故都是稳定的平衡点；当，，f(0),,,0,,,,,,,44,,,, 是稳定的平衡点；当,,,0时，，是系统的中心，故可得分叉图如下： f(0),0, 22,，x,,，，，4(x，y)x,2y, (x,y13．解：系统可写为（*），可知（0，0）是系统的平衡点，又若）,22,，，，y,2x，,，4(x，y)y, 22,,，，，4(x，y)x,2y,0,是系统的平衡点，由方程组(x,y),(0,0)的系数矩阵行列式不为0得出，,22,，，2x，,，4(x，y)y,0, ，,2x,x,y,故（0，0）是系统唯一的平衡点。对,,,R，在（0，0）处系统有近似线性方程，其系数,，2,y,x，y,矩阵有特征值为,,0,,0,,0,,2i，故时，（0，0）为系统的稳定焦点，时，（0,0）为系统的中心， ,x(t),,2y(t),,22，，,,x(t)，y(t),,(,,0)及,,4y(t),2x(t),时，（0，0）为系统的不稳定焦点；由（*）又可见，满足,,,(),cos2xtt,2,，，的解x(t),y(t)是原系统的在,,0时的周期解，可得一解：，其轨道是xy,,,0,,,,(),sin2ytt,2, 平面上中心在（0，0）的园周，随着从0变化为，这些园周形成空间中的一个旋转抛物面：，,,xy, 22,,0(x,y,,),(0,0,0)，故系统在处于原点（0，0）分叉出周期轨道，分叉点为，系统 ,,,4(x，y) 的分叉为一超临界Hopf分叉，分叉图如下： 2214.证明：，，故可得到，也x，，，，G(x),GG(x),G(x),xG(x),GG(x),G(x),x110001101 ddn22，，，，Gx,Gx是一维离散系统的周期2点。从而。 ,,G01dxdx15. 解：（1）对于，，（0 0 … 0 1 1 …）（共 ,,,0，存在q,0101？，l,n+1个0），，，。 dq,l,, ，， （2）证明：设t,0011？，设，，是周期轨道 s,sss？123 1 ,，存在一点s，使得 ，，，，dq,s,,,设k,log，1,即q,s,s,s,？,s,s,s,？,s2023k022 ，，，，dists,,,,。同理，，，，distq,t,,，所以有 q,t,t,t,？,t,t,t,？t2012k01k ，，，，。 q,s,s,s？,,s,t,t,t？,,t使得,distt,,,,012k012k