多元函数的极值

多元函数的极值 实验六 多元函数的极值 【实验目的】 1( 多元函数偏导数的求法。 2( 多元函数自由极值的求法 3( 多元函数条件极值的求法. 4( 学习掌握MATLAB软件有关的命令。 【实验内容】 42z,x,8xy，2y,3求函数的极值点和极值 【实验准备】 1(计算多元函数的自由极值 对于多元函数的自由极值问,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义多元函数z,f(x,y) 步骤2.求解正规方程,得到驻点 f(x,y),0,f(x,y),0xy 222,z,z,z(x,y)步骤3.对于每一个驻点,求出二阶偏导数A,B,C,,,,0022,x,y,x,y 22(x,y)步骤4. 对于每一个驻点,计算判别式,如果,则该驻点是AC,BAC,B,000 1 2极值点,当为极小值, 为极大值;,如果,判别法失效,需进一步判断; AC,B,0A,0A,0 2如果,则该驻点不是极值点. AC,B,0 2(计算二元函数在区域D内的最大值和最小值 DD设函数在有界区域上连续，则在上必定有最大值和最小值。z,f(x,y)f(x,y) D求在上的最大值和最小值的一般步骤为: f(x,y) D步骤1. 计算在内所有驻点处的函数值; f(x,y) D步骤2. 计算在的各个边界线上的最大值和最小值; f(x,y) D步骤3. 将上述各函数值进行比较，最终确定出在内的最大值和最小值。 3(函数求偏导数的MATLAB命令 MATLAB中主要用diff求函数的偏导数,用jacobian求Jacobian矩阵。 diff(f,x,n) 求函数f关于自变量x的n阶导数。 jacobian(f,x) 求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。 可以用help diff, help jacobian查阅有关这些命令的详细信息 【实验方法与步骤】 42z,x,8xy，2y,3 练习1 求函数的极值点和极值.首先用diff命令求z关于x,y的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y ,z,z3,4x,8y,,,8x，4y.即再求解正规方程，求得各驻点的坐标。一般方程组的符,x,y 号解用solve命令，当方程组不存在符号解时，solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB代码为: >>clear; >>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y') 结果有三个驻点，分别是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判别式中的二阶偏导数: 2 >>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>A=diff(z,x,2) >>B=diff(diff(z,x),y) >>C=diff(z,y,2) 结果为 A=2*x^2 B =-8 C =4 由判别法可知和都是函数的极小值点，而点Q(0,0)不是极值点，实际上，P(,4,,2)Q(4,2) 和是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍P(,4,,2)Q(4,2) 点。 >>clear; >>x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^4-8*X.*Y+2*Y.^2-3; >>mesh(X,Y,Z) >>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') 结果如图6.1 图6.1 函数曲面图 可在图6.2种不容易观测极值点与鞍点,这是因为z的取值范围为[-500,100],是一幅远景图, 局部信息丢失较多,观测不到图像细节.可以通过画等值线来观测极值. >>contour(X,Y,Z, 600) >>xlabel('x'),ylabel('y') 结果如图6.2 3 图6.2 等值线图 由图6.2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点 和.根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指P(,4,,2)Q(4,2) 向函数增加的方向.由此可知,极值点应该有等高线环绕,而点周围没有等高线环绕,不Q(0,0)是极值点,是鞍点. z,xy练习, 求函数在条件下的极值..构造Lagrange函数x，y,1 L(x,y),xy，,(x，y,1) L求Lagrange函数的自由极值.先求关于x,y,,的一阶偏导数 >>clear; syms x y k >>l=x*y+k*(x+y-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,k) ,L,L,L,,,y，,,x，,,x，y,1,得再解正规方程 ,,x,y, >>clear; syms x y k >>[x,y,k]=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k') 111得进过判断,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值.x,,y,,,,,,222 22z,x，y练习3 抛物面被平面x，y，z,1截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离. 4 这个问题实际上就是求函数 222f(x,y,z),x，y，z 22z,x，y在条件及下的最大值和最小值问题.构造Lagrange函数x，y，z,1 22222L(x,y,z),x，y，z，,(x，y,z)，,(x，y，z,1) L求Lagrange函数的自由极值.先求关于的一阶偏导数 x,y,z,,,, >>clear; syms x y z u v >>l=x^2+y^2+z^2+u*(x^2+y^2-z)+v*(x+y+z-1); >>diff(l,x) >>diff(l,y) >>diff(l,z) >>diff(l,u) >>diff(l,v) 得 ,L,L,L,2x，2x，,,2y，2y，,,2z,，,,,,,, ,x,y,z ,L,L22,x，y,z,,x，y，z,1 ,,,, 再解正规方程 >>clear; >>[x,y,z,u,v]=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0', 'x^2+y^2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v') 得 511,1,3,,,3,3,,,,7,3,x,y,,z,2,3. 332 上面就是Lagrange函数的稳定点，求所求的条件极值点必在其中取到。由于所求问题存在 22{(x,y,z):x，y,z,x，y，z,1}最大值与最小值(因为函数f在有界闭集，上连续，从而存在最大值与最小值)，故由 ,1,3,1,3f(,,2,3.),9,53 22 9，539,53求得的两个函数值，可得椭圆到原点的最长距离为，最短距离为。 2222z,x，y,4x,2y，7x，y,16,y,0练习4 求函数在上半圆上的最大值和 5 最小值。 首先画出等高线进行观测，相应的MATLAB程序代码为: >>clear; >>x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4; >>[X,Y]=meshgrid(x,y); >>Z=X.^2+Y.^2-4*X-2*Y+7; >>contour(X,Y,Z,100) >>xlabel('x'),ylabel('y') 4 结果如图6.3 2 0 y -2 -4 -4-2024 图6.3 等值线 x D观测图6.3可看出，在区域内部有唯一的驻点，大约位于在该点处汉书趣的最(2,1)小值。在圆弧与直线的交点处取得最大值，大约位于。下面通过计算加以验证。(,4,2) D求函数在区域内的驻点，计算相应的函数值。求z关于x,y的偏导数 >>clear; syms x y; >>z=x^2+y^2-4*x-2*y+7; >>diff(z,x) >>diff(z,y) ,z,z,2x,4,,2y,2,结果得解正规方程 ,x,y >>clear; [x,y]=solve('2*x-4=0','2*y-2=0','x','y') 得驻点为(2,1),相应的函数值为2。 求函数在直线边界y,0,,4,x,4上的最大值和最小值。将y,0代入原函数，则二 元函数变为一元函数 2z,x,4x，7,,4,x,4. 首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为: >>x=-4:0.01:4; y=x.^2-4*x+7; >>plot(x,y); >>xlabel('x'),ylabel('z') 结果如图6.4所示 6 40 35 30 25 20 15z 10 5 0-4-3-2-101234 x 图6.4 函数图 由图6.4可看出，当时函数取得最大值，时函数取得最小值。下面用计算x,,4x,2 验证。对函数求导 >>clear; syms x ; >>z=x^2-4*x+7; diff(z,x) dz得，可知驻点为，而边界点为，计算着三个点上的函数值可得当,2x,4x,2x,,4dx 时函数取得最大值39，时函数取得最小值3。 x,,4x,2 22x，y,16,y,0求函数在圆弧边界线上的最大值和最小值。此边界线可用参数方程 x,4cost,y,4sint,0,t,, 示。则二元函数变为一元函数 z,,16cost,8sint，23 首先观测此函数图形，相应的MATLAB程序代码为: >>t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; >>plot(t,z); >>xlabel('t'),ylabel('z') 40 结果如图6.5所示 35 30 25 20z 15 10 500.511.522.533.5 t 图6.5 函数图 由图6.5可看出，当时函数取得最小值，x,,时函数取得最大值。下面用计算t,0.5 7 验证。对函数求导 >>clear; syms t ; >>z=-16*cos(t)-8*sin(t)+23; diff(z,t) dz得,解正规方程 ,18sint,8costdt >>clear; >>t=solve('16*sin(t)-8*cos(t)=0','t') >>numeric(t) %求出t的数值 1得，边界点为，计算着三个点上的函数值可得当时t,0,,t,arctan,0,4636t,0.46362 函数取得最小值0.5111，时函数取得最小值39。 t,,,(x,,4,y,0) 综上所述，在点(2,1)处函数取得最小值2，在点(-4,0)处函数取得最大值39。 【练习与思考】 44z,x，y,4xy，11. 求的极值，并对图形进行观测。 2222，，fx,y,x，2yx，y,12. 求函数在圆周的最大值和最小值。 222x，y，z,13. 在球面求出与点(3,1,-1)距离最近和最远点。 22x，y,14. 求函数在平面与柱面的交线上f(x,y,z),x，2y，3zx,y，z,1 的最大值。 22z,x，y5. 求函数在三条直线所围区域上的最大值和最小x,1,y,1,x，y,1 值。 8