2015年高考文科数学试卷全国卷2(解析版)

2015年高考文科数学试卷全国卷2（解析版） 1．已知集合 , ,则 （  ） A．   B．   C．   D． 【答案】A 【解析】 因为 , ,所以 故选A. 考点：本主要考查不等式基础知识及集合的交集运算. 2．若为 实数,且 ,则 （  ） A．   B．   C．   D． 【答案】D 【解析】由题意可得 ,故选D. 考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念. 3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（  ） A．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著  B．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效  C．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势  D．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D 【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D. 考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解 4．已知 , ,则 （  ） A．   B．   C．   D． 【答案】C 【解析】 试题：由题意可得 , 所以 .故选C. 考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算. 5．设 是等差数列 的前 项和,若 ,则 （  ） A．   B．   C．   D． 【答案】A 【解析】 试题解析：由 ,所有 .故选A. 考点：本题主要考查等差数列的性质及前n项和公式的应用. 6．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（  ） 【答案】D 【解析】 试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的 ,剩余部分体积是正方体体积的 ,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 7．已知三点 ,则△ 外接圆的圆心到原点的距离为（  ） 【答案】B 【解析】 试题分析：△ 外接圆圆心在直线BC垂直平分线上即直线 上,设圆心D ,由DA=DB得 ,所以圆心到原点的距离 . 故选B. 考点：本题主要考查圆的方程的求法,及点到直线距离公式. 8．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的 分别为14,18,则输出的 为（  ） 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：本题主要考查程序框图及更相减损术. 9．已知等比数列 满足 , ,则 （  ） 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意可得 ,所以 ,故 ,选C. 考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算. 10．已知 是球 的球面上两点, , 为该球面上的动点.若三棱锥 体积的最大值为36,则球 的面积为（  ） A.   B.     C.     D. 【答案】C 【解析】 试题分析：设球的半径为R,则△AOB面积为 ,三棱锥 体积最大时,C到平面AOB距离最大且为R,此时 ,所以球O的表面积 .故选C. 考点：本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力. 11．如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记 ,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数 ,则的图像大致为（  ） 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意可得 ,由此可排除C,D；当 时点 在边 上， ， ，所以 ,可知 时图像不是线段,可排除A,故选B. 考点：本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力. 12．设函数 ,则使得 成立的 的取值范围是（  ） A．   B．   C．   D． 【答案】A 【解析】 试题分析：由 可知 是偶函数,且在 是增函数,所以 .故选A. 考点：本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法. 13．已知函数 的图像过点（-1,4）,则a=        ． 【答案】-2 【解析】 试题分析：由 可得 . 考点：本题主要考查利用函数解析式求值. 14．若x,y满足约束条件 ,则z=2x+y的最大值为        ． 【答案】8 【解析】 试题分析：不等式组 表示的可行域是以 为顶点的三角形区域, 的最大值必在顶点处取得,经验算, 时 . 考点：本题主要考查线性知识及计算能力. 15．已知双曲线过点 ,且渐近线方程为 ,则该双曲线的方程为        ． 【答案】 【解析】 试题分析：根据双曲线渐近线方程为 ,可设双曲线的方程为 ,把 代入 得 .所以双曲线的方程为 . 考点：本题主要考查双曲线几何性质及计算能力. 16．已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切,则a=        ． 【答案】8 【解析】 试题分析：由 可得曲线 在点 处的切线斜率为2,故切线方程为 ,与 联立得 ,显然 ,所以由 . 考点：本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题. 17．（本小题满分12分）△ABC中D是BC上的点,AD平分 BAC,BD=2DC. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ,求 . 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得： （Ⅱ）由诱导公式可得 由（Ⅰ）知 , 所以 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得 因为AD平分 BAC,BD=2DC,所以 . （Ⅱ）因为 所以 由（ ）知 , 所以 考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力. 18．（本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表. A地区用户满意度评分的频率分布直方图 B地区用户满意度评分的频率分布表 满意度评分分组 频数 2 8 14 10 6             （Ⅰ）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可） B地区用户满意度评分的频率分布直方图 （Ⅱ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意         估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.（ ）由直方图得 的估计值为 , 的估计值为 ,所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 试题解析：（Ⅰ） 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散. （Ⅱ）A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 记 表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”； 表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得 的估计值为 , 的估计值为 , 所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大. 考点：本题主要考查频率分布直方图及概率估计. 19．（本小题满分12分）如图,长方体 中AB=16,BC=10, ,点E,F分别在 上, 过点E,F的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （Ⅱ）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（Ⅰ）见试题解析（Ⅱ） 或 【解析】 试题分析：（Ⅰ）分别在 上取H,G,使 ；长方体被平面 分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为 或 试题解析： 解：（Ⅰ）交线围成的正方形 如图： （Ⅱ）作 垂足为M,则 , , ,因为 是正方形,所以 ,于是 因为长方体被平面 分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为 （ 也正确）. 考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算. 20．（本小题满分12分）已知椭圆 的离心率为 ,点 在C上. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见试题解析 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由 求得 ,由此可得C的方程.（ ）把直线方程与椭圆方程联立得 ,所以 于是 . 试题解析： 解：（Ⅰ）由题意有 解得 ,所以椭圆C的方程为 . （Ⅱ）设直线 , ,把 代入 得 故 于是直线OM的斜率 即 ,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值. 考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力. 21．（本小题满分12分）已知 . （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）当 有最大值,且最大值大于 时,求a的取值范围. 【答案】（Ⅰ） , 在 是单调递增； , 在 单调递增,在 单调递减；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由 ,可分 , 两种情况来讨论；（ ）由（ ）知当 时 在 无最大值,当 时 最大值为 因此 .令 ,则 在 是增函数,当 时, ,当 时 ,因此a的取值范围是 . 试题解析： （Ⅰ） 的定义域为 , ,若 ,则 , 在 是单调递增；若 ,则当 时 ,当 时 ,所以 在 单调递增,在 单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当 时 在 无最大值,当 时 在 取得最大值,最大值为 因此 .令 ,则 在 是增函数, ,于是,当 时, ,当 时 ,因此a的取值范围是 . 考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想. 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点. （Ⅰ）证明 ； （Ⅱ）若AG等于圆O半径,且 ,求四边形EBCF的面积. 【答案】（Ⅰ）见试题解析；（Ⅱ） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）要证明 , 可证明 ；（Ⅱ）先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF的面积转化为△ABC和△AEF面积之差来求. 试题解析： （Ⅰ）由于△ABC是等腰三角形, 所以AD是 的平分线,又因为圆O与AB,AC分别相切于E,F,所以 ,故 ,所以 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 , ,故AD是EF的垂直平分线,又EF为圆O的弦,所以O在AD上,连接OE,OF,则 ,由AG等于圆O的半径得AO=2OE,所以 ,因此,△ABC和△AEF都是等边三角形,,因为 ,所以 因为 所以OD=1,于是AD=5, 所以四边形DBCF的面积为 考点：本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,曲线 （t为参数,且 ）,其中 ,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 （Ⅰ）求 与 交点的直角坐标； （Ⅱ）若 与 相交于点A, 与 相交于点B,求 最大值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）4. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）把 与 的方程化为直角坐标方程分别为 , ,联立解方程组可得交点坐标；（Ⅱ）先确定曲线 极坐标方程为 进一步求出点A的极坐标为 ,点B的极坐标为 ,,由此可得 . 试题解析： 解：（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为 ,曲线 的直角坐标方程为 ,联立两方程解得 或 ,所以 与 交点的直角坐标 . （Ⅱ）曲线 极坐标方程为 其中 ,因此点A的极坐标为 ,点B的极坐标为 , 所以 ,当 时 取得最大值,最大值为4. 考点：本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设 均为正数,且 .证明： （Ⅰ）若 ,则 ； （Ⅱ） 是 的充要条件. 【答案】 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由 及 ,可证明 ,开方即得 .（Ⅱ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明. 试题解析： 解：（Ⅰ）因为 由题设 , ,得 ,因此 . （Ⅱ）（ⅰ）若 ,则 ,即 因为 ,所以 ,由（Ⅰ）得 . （ⅱ）若 ,则 ,即 因为 ,所以 , 于是 因此 ,综上 是 的充要条件. 考点：本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件.