抛物线的定义

抛物线的定义 ?2(16 抛物线的定义、方程以及几何性质的应用 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生进一步理解抛物线的定义、掌握抛物线的标准方程和几何性质( (二)能力训练点 通过对抛物线定义、标准方程和几何性质的进一步研究，培养学生综合运用抛物线的 各方面知识的能力( (三)学科渗透点 抛物线的定义、标准方程以及几何性质是来源于实践的理论，同时服务于实践，通过 本次课可进行辩证唯物主义教育( 二、教材分析 1(重点:用抛物线的定义、标准方程及几何性质解决一些实际问题( (解决办法:多加强这方面的题型训练，使学生掌握它们的规律() 2(难点:抛物线的焦半径和弦长问题( (解决办法:先证明焦半径公式，再用它解决一些问题() 3(疑点:抛物线的焦半径公式的复杂性( (解决办法:将抛物线的焦半径用一格小结出来() 三、活动 提问、填表、讲解、演板、口答( 四、教学过程 (一)复习提问 1(定义:(请一名同学回答) 平面内与一定点F和一定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在 直线上)(定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线( 2(标准方程、图象及性质:(教师事先准备一块小黑板，设计如下表格，请 两名同学填写，其他同学纠错，教师巡视) (二)应用举例 例1 顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线，被直线y=2x+1截得的 分析:方程可能有两种形式，故用一般形式y2=2ax较好，求a的值正、负均可， 否则在y2=2px中，易出现p,0的误解( 解:设抛物线方程为y2=2ax( ??=[2(2-a)]2-4×4×1=4a2-16a,0， ?a,4或a,0。 设直线与抛物线交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)( ?|a-2|=4，?a=6或a=-2( 故所求抛物线方程为y2=12x或y2=-4x( 例2 (1)证明:设P(x0，y0)为抛物线y2=?2px或x2=?2py(p,0) (2)设P为抛物线y2=-32x上一点，其横坐标为x0，焦点为F，求|PF|( 准线l，垂足为Q，由抛物线的定义可知:|PF|=|PQ|( 其他三种情况用抛物线定义类似证明( 解:(2)由学生口答(|PF|=8-x0( 例3 求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切(图 2-37)( 则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切( 证明: 作AA1?l于A1，BB1?l于B1，M为AB的中点，作MM1?l于M1，则由抛物线的定义可知: |AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|( 又在直角梯形BB1A1A中 故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切( 小结:以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切(类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离;以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交(以上结论均可用第二定义证明之( 例4 在抛物线y2=2x上，求一点P，使P到焦点F与到点A(3，2)的距离之和为最小(图2-38)( 设抛物线的点P到准线的距离为|PQ|( 由抛物线的定义可知: |PF|=|PQ|( ?|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|( ?当P、Q、A三点共线时， |PQ|+|PA|最小( ?A(3，2)，设P(x1，2)代入y2=2x得:x1=2( 故点P的坐标为(2，2)( 小结:同法可以证明:如果A点为椭圆(或双曲线)内部(含焦点的部分)，F是与A较近的一个焦点，在椭圆(或双曲线)上求一点P，使|PA|+ 交点(e为离心率)( (三)课堂练习 1(抛物线的顶点是双曲线16x2-9y2=144的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线的方程( 由学生练习，口答(y2=-12x)( 2(已知两抛物线的顶点在原点，而焦点分别在点F1(2，0)和F2(0，2)，求它们的交点( 由学生演板(解:顶点在坐标原点，焦点分别是F1(2，0)、F2(0，2)的抛物线的方程是: 所以它们的交点为A(0，0)，B(8，8)( 的取值范围( 本题教师引导学生完成(注意:不但要分析直线与抛物线相交的弦 略(解答为: 由直线y=2x+k与抛物线y2=4x联立方程组并整理得: 4x2+4(k-1)x+k2=0( 由?=[4(k-1)]2-4×4×k2=16(1-2k),0得: (四)小结 本课主要研究了抛物线的定义、标准方程以及几何性质的应用，着重分析了定义、焦半径、直线与抛物线相交等问题，一些方法带有一般性，请同学们注意掌握好( 五、布置作业 1(过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证:直线MQ平行于抛物线的对称轴( 2(点M与点F(4，0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程，并且画出图形( 3(设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，求?OPQ的面积( 作业答案: 1(设抛物线方程为y2=2px，P、Q、M的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)(由课本结论可知: 因为y2=y3，所以直线MQ平行于抛物线的对称轴( 2(由题设知:点M到点F(4，0)的距离等于它到直线x=-4的距离，由抛物 线的定义可得点M的轨迹方程( 3(设抛物线方程为y2=4ax，P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则S?OPQ= ?y1y2=-4a2( 又?|PQ|=b，由焦半径关系可得: b=x1+x2+2a( ?P(x1，y1)、Q(x2，y2)在抛物线上， ?(y1-y2)2=-2y1y2+4a(x1+x2)( 六、板设计