关于实数的戴德金分割理论

A与B之间的“空隙”只能容纳一个点，才能将此“分割”定义为一个(无理数)实数，但戴德金并未作此证明，就将此分割定义为一个实数而不是若干个甚至无数个实数，此空隙内是否还有非实数存在，戴德金也未给出否定的证明，这是否是戴德金实数理论的缺陷,批评者说，数学家戴德金是为了证明实数的完备性才这样定义实数的，他用这个不合理的实数定义回避了无穷小危机。对此有反对者说，以上批评者说的“空隙”一词，是没有意义的;其说的“一个点“的”点“字也是没有意义的，而戴德金的“分割”一词是有严格的定义的，采用的是经典的集合论的概念。按照集合论中的概念，“同一个“分割和”不相同“的分割，区分是很明确的，逻辑是很严密的;“同一个“分割定义成同一个实数，”不同的“分割是不同的实数，因此说”空隙“是否”一个点“的问题天然就不存在。 根据戴德金方法定义的实数体系以及几何上直线上的点，可以证明实数与直线上的点是“同构“的——证明方法可以用”辗转相截法“——凡到起点的距离与单位线段之比存在最大公比的点，对应于一个有理数，不存在公比的点，对应于一个无理数。用这种办法建立了”实数区间“和”线段“之间的”同构“以后，”一个实数“才能看作和”一个点“对应。也就是说，一个确定的有理点的”分割“，可以唯一确定一个辗转相截法的序列;”有理点的分割“和”无理点“之间是一一对应的(保持左右次序关系)。 不过目前有认为，对批评者反对的人说的戴德金实数“分割“的完备性是成立的;而批评者说的空隙内是否还有非实数存在，戴德金虽然未给出否定的证明，也是成立的。理由来自美国数学家鲁滨逊1960年建立的实线拓扑学的非分析，鲁滨逊的内部集合论指出:数轴上能表达出来的自然数、整数、有理数、无理数、实数、虚数等，都是标准数，但数轴上还有不能表达出来的非标准数;实数可以用一条被称为实线的直线上的点表示，它由整数(正整数和负整数)、有理数(能够表为分数的数)和无理数(不能表为分数的数)等三类标准数组成，而与它们相联系的无穷小量则称为非标准数。 由于19世纪的数学家们为无穷小发明了一种技术替代法，即所谓的极限理论;而该理论是如此周全，众多研究者都能把无穷小从芝诺悖论中驱逐出去。但是与极限理论不同，鲁滨逊认为无穷小为运动的细节提供了细微的观察。他的非标准分析法不是把无穷小驱逐出去，而是把人的观察责任驱逐出去。非标准分析是一种“点内数学“，最著名的例子是希腊神话中的飞毛腿阿基里斯追不上龟的悖论;从芝诺悖论到点内空间，正确的处理是思维与存在、物质与真空存在零点界面。但点内非标准分析涉及最多的还仅仅是平面和球面解析，缺少环面解析，而这恰恰属于不确定性解析的范畴。 现在再说康托方法。康托无疑是连续统(有理数与无理数的统称)理论的创始人之一，有人说他是“实数理论研究的终结者”。但是他在创建连续统理论的时候首先涉及的概念是有限与无限，但是他也没有给出严格的定义，因为这也是很困难的，因为有限与无限是一对矛盾。 1)，有限却没有“限”(界)。 2)，“每一个自然数都是有限的”，所有有限的自然数却构成了无限的自然数集。 3)，“势(或称基数)”是刻划集合元素“数目”的一个概念。并且给出了一个可列(或称可数)集的“势”(设其为a)，这个“势即a”显然有“最大自然数”的意思。并且有a+a=a,a×a=a,a^n=a(n为有限自然数)。但却有2^a>a，这就是说二进制自然数的位数不能是a，即a位的二进制自然数是不允许的。但谁也不敢把这个“不允许”说出来，因为谁都知道这个“不允许”是不合理的。因此这个可数集“势”这一概念本身就是自勃的，不清晰的。从这些不清晰的，甚至是自相矛盾的概念，能推出正确的结论吗,显然不能。因此康托只是“实数理论研究的开辟者”。 3