洪峰流量预测 数学建模

2013年河南科技大学数学建模选拔赛承 诺 书我们仔细阅读了数学建模选拔赛的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：           队员签名 ：    日期：2013年08月23日2013年河南科技大学数学建模竞赛选拔编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅（评阅时使用）： 评阅人                     评分                     备注                                          洪峰流量预测摘要三峡大坝建成之时号称“固若金汤，可抵万年之洪”；五年之后，能防千年之大涝；时至今日，抗洪之任则不可博弈于三峡。就近年来三峡大坝的非全能抗洪能力的问题，本文从理性的角度，结合某水文站最大洪峰的观测值，运用相关数学知识，评估大坝的抗洪能力，探讨“百年一遇”洪峰流量值并对未来洪峰流量做出预测。对于问题一：“百年一遇”并非一百年出现一次，它是一个关于频率的概念。水文站“百年一遇”的问题亦属频率发生事件，首先我们用matlab画出历年洪峰流量折线图，然后对洪峰流量进行升序排列后进行数据分析猜测其可能满足正态分布。之后用spss做出Q-Q图对洪峰流量进行正态分析性检验，判断其数据是否服从正态分布，然后画出洪峰流量频率散点图，“百年一遇”即为图中频率为1%时的相应数据值。对于问题二：对于百年一遇的流量的计算，即为对问题一的定量分析，先用spss画出已给数据频率散点图，然后用matlab画出皮尔逊Ⅲ型曲线进行拟合从而确定频率P为1%时的最大洪峰流量值，在运算皮尔逊Ⅲ型曲线时可以通过配线法计算相关变量,“百年一遇”最大洪峰流量值即可迎刃。对于问题三：对于预测未来三年最高洪峰流量，属于预测问题，首先建立了三层BP神经网络预测模型，对预测的原理进行了有力的阐述，然后对所给的数据重新编排、整理，调整输入、输出数据，根据所建立的BP神经网络预测模型，使用Matlab编写计算程序，将整理的数据代入程序，即可预测出未来三年的最大洪峰流量值。关键词：PⅢ型曲线、配线法、水文频率计算、BP神经网络预测模型1、问题重述洪峰流量预测外界对三峡工程“万年一遇”“千年一遇”“百年一遇”等防洪说法不一提出质疑，并将相关报道整理如下：现假设附件中是某水文站的每年的最大洪峰流量观测值。1，有人说，百年一遇就是一百年内只出现过一次，能否这样理解？给出你对“百年一遇”的定义。2，能否计算出附件中水文站百年一遇的洪峰流量值；如能，给出具体的计算过程及结果。3，预测该水文站将来3年内每一年的最大洪峰流量。 年份 最大洪流量 年份 最大洪流量 1985 638.1 1999 521.35 1986 658.99 2000 535.82 1987 577.11 2001 348.53 1988 502.42 2002 463.45 1989 384.55 2003 502.04 1990 455.04 2004 597.32 1991 405.57 2005 472.09 1992 555.06 2006 433.74 1993 510.22 2007 610.67 1994 578.33 2008 512.23 1995 470.9 2009 465.35 1996 834 2010 555.56 1997 703.92 2011 485.52 1998 597.79 2012 672.23        2、符号说明:洪峰流量；:测量年数；:实测系列在n中从大到小排列序号；:样本频率；:模比系数；:均方差；:变差系数；:偏态系数；、：连接权系数；、：阀值；：隐含层输出；：实际输出；：校正误差；3、模型假设1、所有属性变量均为有序列属性变量2、不考虑属性变量和数值变量在模型中的交叉作用3、不考虑模型对变量的多次回归相关性4.、数据经转换后保留了原始数据的某些统计特征，即问题的可预测性5.、本文就以该水文站为单一研究对象，其他水文站不做参照6.、预测的最大洪峰流量值与之前数据的环境相同4、问题分析根据某水文站1985年到2012年洪峰流量的统计数据可统计出这28年间该地区洪峰流量的基本信息，然后经过对这些数据的数学处理，便可得到百年一遇的最大洪峰流量数值以及对未来三年洪峰流量进行科学预测。针对问题一：查阅相关文献给出“百年一遇”的文字定义，然后分析已有数据用matlab画出洪峰流量随时间变化折线图，对数据处理后用Q-Q图进行正态分析后，画出洪峰流量频率散点图，频率为1%时即为“百年一遇”的洪峰流量。针对问题二：根据统计数据画出的洪峰流量频率散点图，用matlab画出皮尔逊Ⅲ型曲线进行拟合从而确定频率P为1%时的最大洪峰流量值即为“百年一遇”的洪峰流量。针对问题三：建立三层BP神经网络预测模型，对所给的数据重新编排、整理，调整输入、输出数据，根据所建立的BP神经网络预测模型，使用Matlab编写计算程序，将整理的数据代入程序，即可预测出未来三年的最大洪峰流量值。五、模型建立及求解一“百年一遇”的科学解释1“百年一遇”的数学理解查阅相关资料我们可知所谓的“百年一遇”只是数理统计上的一个频率的概念。频率具有抽象的数学意义，如果某事件的发生与否事先无法预知，只有通过大量的实测资料，用数理统计方法估算出现机率，这种机率成为经验频率，在水文计算中称“频率”，即“重现期”，它表示在许多次试验中某一事件重复出现的时间间隔的平均数具有统计平均概念，不能机械地把它看成多少年一定出现一次；如“百年一遇”的雨量并不是指某地雨量大于等于这个雨量正好一百年出现一次，事实上也许一百年中这样的值出现好多次，也许一次也不会出现.只有在大量的过程中或对长时期而论是正确的。对于本题洪峰流量的“百年一遇”亦是如此。2检验是否满足正态分布对于涉及到频率的“百年一遇”这一数学概念，就必须结合数据根据相关数学理念对其进行科学的解释。“百年一遇”解释的核心在于其频率分布。因此，检验数据是否满足正态分布成了先决条件。 首先用matlab画出附件给出数据的折线图如图所示：观测出从1985年的2012年洪峰流量出现的大致趋势。然后我们对洪峰流量数据进行升序排列并进行数据分析后作出大胆假设：升序处理后的数据可能满足正态分布。下面我们用Q-Q图进行检验是否满足正态分布。图像如下：通过对洪峰流量Q-Q图的分析可以看出除去在可接受范围的一点外其余个点很好的逼近直线，及已给数据满足正态分布。3对“百年一遇”做出解释重现期指某水文变量的取值(x≥xp)在很长时期内平均多少年出现一次。重现期(T)与频率(P)的关系对研究洪峰流量时,采用设计频率P<50％,则T＝1/P(年)。即当P=1％时，得T=100年，即称为百年一遇的洪峰流量。所谓百年一遇是指大于或等于这样的洪水在很长时期内平均每百年出现一次，而不能理解为恰好每隔百年出现一次。对于具体的100年来说，超过这种洪水可能不止一次，也可能一次都不出现，而只是说明长时期内平均每年出现的可能性为1％。可以作出上述定义，即当频率分布直方图中频率Pm=1%时所对应的最大洪峰流量Qm，p即为“百年一遇”的洪峰流量。二 水文站百年一遇的洪峰流量值要确定各个值出现的频率，可以通过附件中给出的数据建立相应的数学模型。计算系列的均值、变差差系数，偏态系数等统计参数，点绘系列经验频率点，根据统计参数以及配线法来画出PⅢ型曲线，根据适线结果来计算各个重现期的雨量值，从而确定百年一遇的洪峰流量。1数据统计根据已给出的28年洪峰流量资料，把实测洪峰流量系列用excel进行从大到小排序算出实测系列洪峰流量经验频率：， 计算结果如下： 1996 834 0.034 2008 512.23 0.517 1997 703.92 0.069 1993 510.22 0.552 2012 672.23 0.103 1988 502.42 0.586 1986 658.99 0.137 2003 502.04 0.621 1985 638.1 0.172 2011 485.52 0.655 2007 610.67 0.207 2005 472.09 0.69 1998 597.79 0.241 1995 470.9 0.724 2004 597.32 0.276 2009 465.35 0.759 1994 578.33 0.31 2002 463.45 0.793 1987 577.11 0.344 1990 455.04 0.828 2010 555.56 0.379 2006 433.74 0.862 1992 555.06 0.414 1991 405.57 0.896 2000 535.82 0.448 1989 384.55 0.931 1999 521.35 0.483 2001 348.53 0.966            将以上数据用spss软件做出对应的散点图，如下：根据已得到的散点图我们引入PⅢ型曲线对数据进行拟合从而找出=1%时的洪峰流量即为“百年一遇”洪峰流量。2PⅢ型曲线的引入参考文献，PⅢ型曲线方程为：=(-)e   （1）式中为的伽马函数；、a0为参数，与样本总体的统计参数平均数、变差系数、偏态系数具有如下：（2）由此可推求大于某一最大洪峰流量的概率=  (3)令=（x-）得：=           (4)其中=(-)        (5)将式（2）代入式（5）可得：=  (6)令，则有：（7）将式（7）代入式（6）可得：（8）从而当=1%时即为百年一遇的最大洪峰流量。其中变差系数、偏态系数矩法分析求出：模比系数：x’==/均方差：=变差系数：=/偏态系数：=3模型求解将其中均方差、变差系数、偏态系数用excel求出：均方差=104.5966变差系数=537.425偏态系数=0.194626偏态系数=0.733319由此带入上述表达式:=4/=7.06=2/(**)=0.026a0=(1-2/)=251.51将上述参数带入便可利用matlab画出洪峰流量的概率分布图像如图所示：根据拟合出的曲线可计算出：当=0.01，=0.194626，=0.733319时所对应的最大洪峰流量为805.34，即=805.34即为百年一遇最大洪峰流量。三 水文站未来三年最大洪峰流量值的预测对水文站“百年一遇”的洪峰流量做出分析之后，可建立模型，利用往年的最大洪峰流量值的数据，对未来三年的最大洪峰流量值做出预测。为了较为科学的对未来三年洪峰流量做出评估，本文引用了BP神经网络方法来进行模型的建立。1三层BP神经网络预测模型建立根据相关文献得到了BP神经网络的学习预测算法，步骤如下：