笔算开立方

笔算开立方 筆算開立方 3一天,我遇到了一道需要用到的近似值的物理題。我沒帶計算器或《中10 學數學用》,只好逐個計算一些數的立方,並與10比較,好不容易才把小數點後第二位元數字確定下來。這促使我尋求筆算開立方的。 筆算開平方的方法我是掌握的。我想筆算開立方的方法應該與它有些關聯,不妨先把筆算開平方的主要步驟回憶一下, 1, 將被開方數的整數部分從個位起向左每兩位分為一組, 2, 根據最左邊一組,求得平方根的最高位數, 3, 用第一組數減去平方根最高位數的平方,在其差右邊寫上第二組 數, 4, 用求得的最高位數的20倍試除上述餘數,得出試商。再用最高 位數的20倍與試商的和乘以試商,若所得的積不大於餘數,試商就 是平方根的第二位數,若大於,就減小試商再試。 5, 用同樣方法繼續進行下去。 類似地,若要寫出筆算開立方的法則,顯然第1步中的“兩”應改為“三”,第2、3步中的“平”應改為“立”,而第5步不變化。關鍵是第4步如何進行。 222當天晚上,我想到完全平方公式是(a+b)=a+2ab+b,完全立方公式是 33223(a+b)=a+3ab+3ab+b。於是我猜想“20倍”應該與“2ab”有關。我先後想出了幾種可能的方法,經檢驗,都是行不通的。那麼我有必要分析筆算開平方的本質。 2222以兩位數為例,= (10a+b)=100a+20ab+b。這裏a代表平方根的abab 2最高位數,b代表試商。事實上,100a已在第3步裏被減去了。那麼剩下的就 2是20ab+b,即(20a+b)?b,也就是“求得的最高位數的20倍與試商的和再乘以 2試商”。這樣,如果被開方數是(10a+b),那麼最後所得的餘數恰好為零,如果 2被開方數比(10a+b)大,就把10a+b看作a繼續進行下去。同樣的道理,這個法則對多位數、一位元數和小數也適用。 332233類似地,(10a+b)=1000a+300ab+30ab+b,其中1000a在開立方法則第3 步裏被減去了。那麼我就應該把求得的最高位數的平方的300倍與試商的積,求得的最高位數的30倍與試商的平方的積和試商的立方寫在豎式的左邊,用第3 步所得餘數減去它們的和。舉幾個簡單的例子驗證一下, 222(300=1×300×1 (600=1×300×2 (1200=2×300×1) 222 30=1×30×1 120=1×30×2 60=2×30×1 333 1=1) 8=2) 1=1) 3為了進一步驗證這種方法的正確性,我求出了的近似值,並與計算器的結10 果進行比照: (為了書寫簡便,我把10.000……後面的“0”省略了。) 用這種方法算出10的立方根約等於2.1544,而計算器的結果是2.1544347,這說明求出的結果是正確的。 現將筆算開立方的方法總結如下, 1, 將被開立方數的整數部分從個位起向左每三位分為一組, 2, 根據最左邊一組,求得立方根的最高位數, 3, 用第一組數減去立方根最高位數的立方,在其右邊寫上第二組 數, 4, 用求得的最高位數的平方的300倍試除上述餘數,得出試商, 並把求得的最高位數的平方的300倍與試商的積、求得的最高位數 的30倍與試商的平方的積和試商的立方寫在豎式左邊,觀察其和 是否大於餘數,若大於,就減小試商再試,若不大於,試商就是立 方根的第二位數, 5, 用同樣方法繼續進行下去。 這種方法肯定早就有人發明了。其運算量相當大,實用價值也不高。但我畢竟是獨立地發現了它。雖然欣喜無法與發現新大陸相比,但這至少使我體驗到在數學世界中探索的快樂。 此後不久,我居然發現這種方法在期中考試中發揮了作用?? 期中考試物理試卷中有這樣一道題,“神舟”三號飛船的運行週期約是91分 鐘,地球半徑約是6370?,求飛船的軌道高度,以km為單位,保留兩個有效數字,。 這道題並不難。根據所學知識,我很快就列出方程,並求出了結果的運算式。 3經過近似計算和約分、化簡,結果大約是(1000-6370)?。我想大多數同學300 3能夠算到這裏,而對於就束手無策了。 300 但它難不倒我。我運用了筆算開立方的方法。由於法則是自己總結的,所以 32記得很牢,用起來也得心應手。很快,我求出?6.7,最終結果約是3.3×10300 ?。嚴格地說,這個答案是不可靠的。要保證最終結果的第二個有效數字準確, 3應該把計算到百分位。但因時間有限,且300這個數本身就是不準確的,300 我只好這樣寫。後來我看到答案,知道我的結果是正確的。 我感到高興,因為我自己發現並總結出的規律在考試中得到應用。我覺得這種筆算開立方的方法不能為大家所知似乎是個遺憾。但它的應用似乎僅限於這類由週期求軌道半徑的物理題,除此之外,別的意義很是寥寥。換言之,這種方法僅是雕蟲小技而已。然而探索的過程使我體會到初步的數學研究方法,或許將有更大的意義??因為“對真理的探求比對真理的佔有更為可貴”。