【精品】[1]质量分别为57

【精品】[1]质量分别为57 第六章:中心力场 ,,r[1]质量分别为 m,m的两个粒子组成的体系，质心座标标为: R及相对座21 ,,,mr，mr1122= (1) Rm，m12 ,,,rr,r,r (2) 21 ,,,,,,,,P,p，pL,l，l试求总动量及总角动量在, 象中的 Rr1212 算符表示。 ,,,,,P,p，p1. [解] (a)合动量算符。根据假设可以解出r，r 1221 ,m,,2m,m，m令 : (,) r,R,r121m1 ,m,,1r,R，r (,) 2m2 ,,r(x,y,z)设各个矢量的分量是，, r(xy,z)111122,22 ,,R(X,Y,Z)x和。为了计算动量的变换式先求对， r(x,y,z)1 x等的偏导数: 2 m,,X,,x,,,1,，,, (5) ,x,x,X,x,xm,X,x111 m,,X,,x,,,2,，,， (6) ,x,x,X,x,xm,X,x222 ,,,,关于，，， 可以写出与(5)(6)类似的式子，因而: ,y,y,z,z2121 ^^^^^,,,,,P,(p，p),p，p,(，) 12xx1x2xi,x,x12 mm,,,,,,,12(,，，), = im,X,xm,X,xi,X ,,^,,,,,,,,, P,i，j，k,,R i,Xi,Yi,Zi ^^^,,,,,,(b)总角动量 L,l，l,(r，,，r，,)121122i ^,,,, L,(r，,，r，,)x1122xi ,,,,,=(y,z)，(y,z) 1122i,zi,z,y122 利用(3)，(4)，(5)，(6): ^mm,,,21L,Y,y, {()()ximm,Z,z mm,,21,(Z,z)(,) mm,Y,y mm,,12，Y，y， ()()mm,Z,z mm,,12,(Z，z)(，)} mm,Y,y m,,,,,1{(Y,Z),(Y,Z)= im,Z,Y,z,y mmm,,,,122,(y,z)，(y,z) m,Z,Ym,z,y m,,,,2，(Y,Z)，(Y,Z) m,Z,Y,z,y mmm,,,,122，(y,z)，(y,z)} m,Z,Ym,z,y2 ,,,,,{(Y,Z)，(y,z)}= i,Z,Y,z,y ,,,,= (R，,，r，,)Rrxii ^,,,,,因而 L,R，,，r，, Rrii 11,1,22[2]证明 ， [,,r],，[,,r],,2r,r2 122 (证明)第一式 (,r,r,),2 2221,,,222= (，，)(x，y，z,)2222,x,y,z 222,,,,,,1222 ,x，y，z，，()2222,x,y,z,x,,,222222x，y，z,，x，y，z 但 (),222,x,xx，y，z2,,x,222(x，y，z),( ,2222,x,xx，y，z ,,222 +x，y，z ),x ,,2222(x，y，z)(x，),x,,,x= 22232(x，y，z) ,,x2,,222,x + ，x，y，z222322(x，y，z),x 22,,,222222x，y，z,x，y，z即 ,22,x,x ,,,2x，2x,,x = ,22232222(x，y，z)x，y，z 同样写出关于y,z的式子，相加得: ,,,,,,2x，2y，2z11,x,y,z22(,r,r,),{, 22222x，y，z ,3,,} + 222x，y，z xyz,,,,,,,，，，= rxryrzr,,, ,1= (，),,rr ,因是任意函数，因而第一式得证。 第二式的证明:该式是矢量的恒等式，取等式左方一式的x分量 ,2r,并蒋它运算于任何函数，要注意 标量算符而 是矢量算符: , 11,222 [,,r],,(,x,,x,,)x22 2221,,,= {(，，)(x,)2222,x,y,z 222,,,,,,} ,x，，()222,x,y,z 222,,,,1,,,,= x，，x，x(2)222,x2,x,y,z 222,,,,,,,, ,x,x,x},222,x,x,y,z因此在出写出关于y,z的式子后有 ,,,1,,,,2[,,r],i，j，k,, 2,x,y,z [3]中心力场V(r)中的经典粒子的哈密顿量是 22lpr H,，，V(r)2m2mr ^1,,p其中。当过渡到量子力学时，要换为 prp,,rrr ^111,1,,,,prppri ,[,，,],,,(，)rrrrr2, ^,1,,问是否厄米算符,是否厄米算符。 ,,i,r,ppr,rr (解)对第一个算符取厄米共轭算符，加以变换，看其是否与原 算符相等，为此利用乘积的厄米算符公式 ^^^^^^，，，，CBAAB (C)= ^1,,若,则 prp,,rr ^^^^11,,,,，，，，， prppr ,(,,),,,()rrr ^1,,pr因为,,等自身是厄米的,因而有 r ^^^1,, ppr (),,rr ^^^，,要看出,的关系将作用于任意函数: ppprrr ^^1111,, prpxpypz ,,,,，,，,()xyzrrrr ,,x,y,z，，{()()()},,, = i,xr,yr,zr ,1,,,2,,,,{(x，y，z)，} = ir,x,y,zr ,,^^12r,p，(), = rr ^^^^^2,，，即 pp，因而不是厄米算符。因为 ,，p,pprrrrr ^^，p利用以上结果，或者直接对取厄米共轭式，都证明 p,prrr ^ 因此可认为是厄米的，证明在后面，但是关于这问学术上有争论， pr 因为它还需要满足另一些条件(Liboff)。 CfRLLiboff: American Journal of Physics 976(1973) ,,,, ^^^^^111,,,,，，prppr (),[,，,]rrr2 ^^^^^^111,,,,，，，，，，(p,r,()，()rp = 2rr ^^^^^111,,,,, = [p,r，r,p],pr2rr CfAMessian:Quantum Mecnanics P346(1961) ,,,, [4]经典力学中 ,,,,,,22222l,(r，p),r,p,(r,p) 在量子力学中此式是否成立,在什么条件下此式成立, ^^^^^^,,,,,,2(r，p),(r，p),(r，p) (解) ^^^^^^^^ = (yp,zp)(yp,zp)xyxy ^^^^^^^^ + (zp,xp)(zp,xp)xxxx ^^^^^^^^ (xp,yp)(xy,yp) + yxyx ^^^^^^^^^^^^2222 =(yp,ypzp,zpyp，zp) xyxyyz ^^^^^^^^^^^^2222 + (zp,zpxp,xpzp，xp)xzxzzx ^^^^^^^^^^^^2222(xp,xpyp,ypxp，yp) + yxyzxy ^^^^^^^^^^^^222222222222(yp，zp，zp，xp，xp，yp) = xyxzyx ^^^^^^^,, ,y(zp，)p,z(yp，)pxyyxii ~206~ 物83—309蒋 ^^^^^^^^,, ,z(xp，)p,x(yp，)pxzyxii ^^^^^^^^,, ,y(xp，)p,x(yp，)pxyyyii 最后一式加上下述这个等于零的式子: ^^^^^^^^^^^22222222222xp，yp，z,xp,yp,zp xyxyz ^^^^^^^^,,,,,,,,2222(r，p),(r)(p),(r,p)，2,ir,p得: ,因此经典角动量平方公式与量子力学的不相同，只有=0才相同。 [5]求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结 22p果，计算。用x表象中的氢原子波函数计算,并验证测不准关 xx 系式。 (解)本题是三维问题，氢原子基态波函数用座标表象时写作: r1,a,,,r,e (1) (,,)32,a 2,但是玻尔半径，将(1)代入三维的座标，动量波函数变换式， a,2,e 此式是: ^,,1,,,ip,rh3,(p),,(r)edx (2) 3,,,2(2),,, ,为使计算简单，可选择z轴与动量的瞬时方向重合，这样 p ,, p,r,prcos, ~207 ,将(2)中的,(r)用(1)式代入，进行积分，积分的次序是，，r: , r,iprcos,,1,a,()p,e 3,,,22,(2,)a,,r 2rsin,drd,d, r,cosipr,,1,2a =(esin,d,)rdr 3,,2,(2a),,r riprripr,，,,1,,,,aa(e,e)rdr3 = 0,2ipr,(2a),r riprripr,，,,1,,,aa =(e,e)rdr 3,2ip,(2a), ,111,, = {}32ripripip,a22,(2),,,,()()a,a, 32(2a,), = (3) 2222,(ap，,) 其次为了验证氢原子的测不准关系，需要计算座标动量的平均值，计 ,算与座标有关的平均值时，用为波函数，反之计算动量平 ,(r) ,均值时，可用动量波函数:测不准关系的验证，是通过一个指 ,(p) 定方向(如x轴)的分量间关系: r2,21,2a,x,(r)xdr,e 2,,,,,,,a,r,, 2(rsin,cos,),rsin,drd,d,,0 ~208~ 物83 –309蒋 21,222,xrxdr ,,()2,,,,,,,a,r,, 2r,2222aersin,cos,r,sin,drd,d, r2,,2,1432aerdrsin,d,cos,d, = ,,,2r,,,000,,a, 2r,,,1sin334aerdr,(，sin,)d, = 3,,r,0,0,44a, 2,11 ，(，cos2,)d,,,0,22 14!82 = (4) ,,,,a,326a,5()a 在计算动量有关平均值时，可采用动量相空间的球面极座标参考系， lllpr,,,,p设动量相空间直角坐标为，，p则球面极座标用表 yxz lr,p示， llll p,psin,sin,p,psin,cos,yx lp,pcos, z 352(2a),l,,, p(p)pr xx2,,,, pll2lll ，sin,cos,,psin,dpd,d,,,,222,(ap，),lll,,r 353,(2a),pdp = 22224,r0,,(ap，,) ,2,ll2，sin,d,cos,d, (5) ll,,,0,, ~209~ 2223l p,,(p)pdrxx,,, 354,(2a),pdp = 22224,r0,,(ap，,) ll,2,32ll (6) ，sin,d,cos,d,,,,,00,, 与p有关的积分可用替代ap,,tg,入(6)式的第一道积分，得: 4,,,pdp1242 ,sincos,d,222453,,0,,0(ap，,)a, 2,,,1cos2cos6 = (1,,cos4,，)d,53,,0,2216a, ,1 = 代入(6)得: 5364a, 35,,18,12lllp,,,(3sin,,sin3,)d, x532,,0,644a,, 2,1ll ，(1,cos2,)d,l,,0,2 ,221,,ll = 3coscos3,,,,,，,,22332a3a,0 代入测不准关系式: 2222x,p,x,(x),p,(p),, xxx ,,,,a,,, 23a3 [6]在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动 量的各个分量均为守恒量。 2eV(r),,(解)(一)建立动量表象的能量本征方程式，势能 r为此先写下座标表象的薛氏方程式(直角坐标还是球面极座标不分): 22,e,,,2,,,(r),,(r),E,(r) 2r, ,,1,ip,r,e遍乘，并对座标积分: 32(2,,) 2,,1,,,ip,r,23 (,)e,,(r)dx3,,,22,(2),,, ,,11,,ip,r,3,e,(r)dx 3,,,2r(2,),, ,,E,,ip,r,3,e,(r)dx (1) 3,,,2(2,),, ,等号左方第一积分用二次分部积分中的加以下述 ,(r) 福里哀变换，就得到动量表象的能量本征方程: ,,1,,ip,r,3l (2) ,(r),e,(p)dp3,,,2(2),,p 2,p,,,ll3l得: (3) ,(p)，G(p,p,)(p)dp,E,(p),,,2,p 2,,,le,1,,li(p,p),r,3式中 (4) Gppedx(,),,,,2,,r(2), ,,lG(p,p)(二)核的计算: 2e, 先作(4)式类似的计算，假设是个座标表象的波函数，它的 r ~211~ , 相应的动量表象函数是，则正逆两种变换是: G(p) 2,,e,,1ip,r,3 (5) Gpedx(),,,,2,,r(2), 2,,e1,ipr3,,,,G(p)edp (6) 3,,,2r,(2),p 将拉普拉斯算符 222,,,2 ,,，，222,x,y,z作用于两边，得: 11,2,,4e(r),(,)G(p) 2,,,,(2),,p ,,ip,r,2e,pdp (7) 3 根据(7)式写出它的逆变换式，并且与(5)式对比，有: 2,,p1,2,ip,r,3 ,c,4,e,(r)edx3,,,22,(2),,, 22e = 3,, 2,1,2 (8) G(p),,e2,p ,,,,,,llG(p,p)p,p,p将(4)(5)二式比较知道只需在中作置换， G(p) 1再乘 32(2,,) 2,e1,,l (9) Gpp,(,)22l2,,p,p 因此我们最后得到动量表象的三维能量本征方程式，专用于库仑场。 22pe,,l3 ，,(p),(p)dp,,,2,,l22,p,2,pp, , = (10) E,(p) (三)动量表象中，角动量分量守恒的证明。 有两面种，或用直角坐标表示角动量算符，或用球面极座标表 , 示，用前者较为简单，要证明角动量分量(例如)是守恒量，其必 lx ˆ要条件是它可以和哈密顿H算符对易，即: ˆˆ (11) ,,L,H,0x 这里，用动量表象写时，可以用直角坐标表标表象的式子加以适宜 的置换来得到这种置换是: ,,,y,,iz,,ix,,i ,p,p,pyxz因而得到 ,,ˆ,i(p,p) (12) l,zyx,p,pyz ˆˆl至于，的动量表象依类似方法。(10)式中的哈氏算符可从(10)看 lyz 出: l223ˆpedp3ˆ (13) ,,，，Hdp,,,22,,l2,2,,p,pp ,,l,(p)右方第二项是“积分算符”，当它运算于,(p)时，就相当于将 ˆˆ填入括号( )。设想对易算符作用在一个任意的动量表象的 ,,LH,x ,l,(p)波函数上面: ,ˆˆ (14) I[l,H](p),,x 假使能证明I=0，则因为任意，我们便证明了(11)，将(13) ,(p) 代入(14) l223ˆpedpˆˆˆˆˆ I,lH,,Hl,,l,,,{}xxx22,,,,,l,2,,2pp,p 22ˆ,ˆlpe3lxˆ,,,{ldp} x,,,22l,,,22,pp 122ˆˆˆˆ{lp,,pl,}= xx,2 2ˆ,l,e3l3lxˆ ,,{ldpdp}x,,,,,,222,,,,ll,,2,,pppp (15) 分别计算动能与势能这两部分的对易算符,先计算动能部分的: 122ˆˆˆˆ{lp,,pl,} xx,2 ,i,,222ˆˆˆ{(p，p)(p，p，p), = zyxyz,2,p,pyz ,,222ˆˆˆˆˆ,(p，p，p)(p,p),} xyzzy,p,pyz ,i,223ˆˆˆˆˆ{(pp，pp，p),= zxzyz2,,py ,232ˆˆˆˆˆ,(pp，p，pp), yxyyz,pz ~214~ 物83—309蒋 ,,,,222222ˆˆˆˆˆˆˆ()()},p，p，pp，p，p，pp xyzzxyzy,p,pyz ,i,,222ˆˆˆ{p(p，p，p)= zxyz2,,py ,,222ˆˆˆˆˆˆ + 2pp,,p(p，p，p)zyyxyz,pz ,,222ˆˆˆˆ,(p，p，p)p xyzz,py ,,222ˆˆˆˆˆˆ (16) ,2pp,，(p，p，p)p},0yzxyzy2,p 这证明了动能部份，是和角动量分量相能相对易的。 其次计算(15)式中与势能有关部分的对易式，即(15)式第二个 大括号内一式，能够证明，括号内两项相抵消，为此从第二项开始 变形: l3dp1l3ˆˆ ,,,,,(l))l()dpxx,,,,,,22llll,,pppppp 1l3,(l),dp x,,,2llp,pp ,,1ll3l =,i(p,p)(,,)dp zy,,,ll2,,l,p,pyzp,p ,,1ll3l,[,i(p,p)],dp zy,,,ll2,,l,p,pyzp,p llll,(,,)pppp,zxyzlll, =idpdpdp xyz222,,,llll,(,)，(,)，(,)pppppppyxxyyzzpppxyz ~215~ llll,()pppp,yxyzlll ,,idpdpdpxyz222,,,lll,p(,)，(,)，(,)ppppppzxxyyzzpppxyz 1,llll[ dp,dp,dp,,ip xyzz2l,,,,,l,pyp,p ,1llll,p],dpdpdp (17) yxyz2l,,l,pp,pz p前一式的第一二个积分分别为对分动量和p进行积分后，分别代入 yz积分限，p(,,,,)，如果是个三维 p(,,,,),(ppp)zyxyz的平方可积函数，即当时，则在代入分限 p,p,p,,,,,0xyz 后被积函数也趋于零，只剩下三个积分: l3dpˆ l,,()x2,,,llp,pp llllp(p,p),p(p,p)zyyyzzlll3l = ,,i,2,,(ppp)dpxyz,,,4llp,pp llllllpp,pp,pp,pp)zyzyyzyzlll3l = 2,i,(ppp)dpxyz,,,4llp,pp llpp,pp,pp，pp)zyzyyzyzlll3l = 2,i,(ppp)dpxyz,,,4lp,p ll,p(p,p)，p(p,p)yzzzyylll3l = 2,i,(ppp)dpxyz,,,4llp,pp ,,1lll3l,i(p,p),(ppp)dp= yzxyz2,,,l,p,plzyp,pp ~216~ 物83—309蒋 ,,1lll3l = ,i(p,p),(ppp)dp yzxyz2,,,,,l,p,plzyp,pp 13lˆl,dp= (18) x2,,,,,llp,pp (18)式最前一式和最一式的关系相当于(15)式第二部分为零。 ,ˆˆ I,[l,H],(p),0x ˆˆˆ因为是任意函数，因而说明是守恒量。同理 ,(p)l[l,H],0xx ˆˆ可以证明l，在动量表象的有心力问题中也是守恒的。 lyz [7]设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区(E—V =T〈0 〉的几率。 (解)在经典力学中，当总能量一定时，轨道半径受到限制， r设玻耳半径a，则总能量 e2 E,, 2a 2e,粒子的势能则随着到核的距离r而变，表示作，动能是一者的 r差数:(从理论上讲，距离r可以扩展到无限远处。) 22eeT(r),,， (1) 2ar 使T(r)>0,r<2a,在量子力学中，电子可以在离核任何距 离r处出现，它在经典力学中不允许范围中出现的几率是: 2,,,2,,,d, ,,,00r0,,,,, r22,,,12a(erdr)sin,d,d, = 3,,,a,,0,0r,0,, 2 r,,24aerdr3 = ,,a2 r,a 2r2r2r,,,44a22aaa = erdr,(,)erd(e)33,,2aar2ar2a,, ,2r2r,,22aa,re，2redr = 2,2aa8a 2r2r,,,4e24,aae，,re，edr8() = 2,,2a2aa2a ,4,4(8，2，1)e,13e = [8]证明，对于库仑场，(是 T,,EV,2EE,T,V总能量) 1(证明)对于库仑场中的束缚电子，在基态以外的情形的计 r算比较专门。(参看Landau-Lifsshitz Quantum Mechauics 1958Appendicos&f) , 它的公式是: Z1 (Z原子序，a波尔半径，n主量子数)。 (),2rna 先计算(n,T.m)在任意的势能平均值。 2*ZeV,,(,),d, nlmnlm,,,r *12 = ,Ze,(,),d,nlmnlm,,,r ____221Ze2,Ze(,) == 2rna 又因为类氢原子的能级是: 2422ZeZe,E,,,,, n2222,n2na 因而 V,2E 总能量E，动能T，势能V的关系是: E=T+V 取平均值 E,E,T，Vn 222222ZeZeZeT,E,V,,，, n2222nana2na T,,E (9)对于氢原子的，计算 22,,，r,r[R()r]dr ,,,1,,2nl, (解)第一法:本题公式是由氢原子的正交归一化波函数 ,(r,,,,),R(r)Y(,,,) nlmnllm ,R(r),Y(,,,)来计算的平均值的公式 简化而成，但假定 rnllm ~219~。 已归一化。Kramers导得有关，，，三者的递推式如下:,1,2,,,rrr 2,,，12l2 (1) ,(2,，1)，[(2，1),,],022,,2rarnar,14,, 它的证明根据有关r的微分方程式[从略]，在运用此式时，可先令=1代入(1)式得: ,22ralla (2) ,3，(，1),020,3nrr 2式中是与电子势能平均值成正比的[仅相差系数e ,2r 2e22v,R(r)[,].rdr r,r 根据维里定理，在库仑场情形 1 T,,V2 T，V和能量世关系式:En= 22eeVEn,2,2,(,),, 22nana2 1 (3) ,,2,1nar 又径波函数归一化条件相当于的情形，因而 0r (4) ,10r (3)和(4)代入(2)，得: ll1(1)，22nnaralla {3(1)2}{3},，，,,，2222nan 将=2代入(1): , 23a22r,5a，(4l，4l,3),020 (5) r2nr 将和=1代(5)得: 0rr 1ll，，(1)2na42,{2，3[1,]}222rn (6) 的表示式不能由(1)求得，用直接积分可有: ,2r 1 ,21r23an(l，)2(C.f.A.Messiah:Quantum Mechanics Vol I.p.431.Ex.1.) 第二法:利用Laguerre函数，氢原子的径向波函数可表示为: ERnl(r),Nnl,,??? 2 2r 但ξ (7) ,na ,,,,(ξ)是自变量ξ的缔合(或名连带)Laguerre函数，它的定义是: hkhddk,E L,(),{e,(,e)},F(h,k,h，1,,)khhdd,, 2l，1波函数(7)中的(ξ)满足以下微分方程式。(课本ξ6.3式17，217) Ln，1 22dLdLl,, ，[2，2,],[l，1,n]L,02,,dd 题给的的公式，可以通过式(7)转变为ξ的积分如下: r, 22l，1nae,E,2l，2，2 ,N(,)，3,,{L(,)}d,E,0,nll，nr2, 4(n,l,1)12,,但 N43nln[(n，l)1a] E.schrodinger导得了一个和前式相似的积分求值式，使用它可以解决所需的平均值。此式是: ph1kk11,pe,E()d,(,1)，k!k!(p,h)!,,,11ILhhkk,h1 , (p，8)!，,111(k,h,8)!(p,k，8)!(k,h,8)!(p,k，8)!s,s0! 8的取值应使各阶乘数是正的，在此式中令 11ll,h,h,2，1,k,k,n，1,p,2，2，.,:得 11n,, (9) ,(2l，2，，8)22,l，，,,[(n，l)!]2(，1)!，,I222???1l，n，s![(n,l,1,8)][(l,n，,，2，8)!]81, 从此式看出，8的取值应满足: ?8? n,l,1n,l,,,2 例如当λ=1时，可取决8=三个值所相当的三项，当λ=1时，取n,l,1,n,l,2,n,l,3 8=的一项，详细的计算从略。 n,l,1 C.f.Mott.Sneddon:Wave Mechanics and its Applica tions.p.380-381。 # +-[10]根据氢原子光谱理论，讨论(1)“电子偶素”(指e—e的束缚态)的能级。(2) +-μ介原子的能谱。(3)μ介子素(指μ-e束缚态)的能谱。 [解] (1) 电子偶素(氩positronium)指低温时超导现象中的导电媒介，即正负电子对， 按类氢原子理论，氢的能级是由折合质量计算的，在正常氢原子情形，设质子质量m，则折 合质量μ mMμ ,m，M 但 22,,m,0.51me/c,M,938.3me/c 2,,e,eE,,,(n,1,2,3,)？ n222a2n, ,,0.9995m 在电子偶素情形，可用正电子代替氢核的质子，折合质量 142emm,1,,,(n,1,2,3？),= E22n2m,m2,n 11,,0.5m,0.5,,0.5En En -(2) μ介原于是被氢核荐的μ介子构成的原子，这种原子的折合质量是 ,mM2,, ,,但m,105.7me,/c,m，M, n,,,,207, ,,0.9m, 4,,e,(介原子能级),,,，207E ,,,nE22n,2n +-(3) μ介子素是正电μ介子与电子结合成的体系(μ—e束缚态)，折合质量: nm,mm,,, ,,,,,0.995mm1m，m,1，1，m207, ,,,,E()介于素能级 4 ,,,e,,,,0.995En222hn 基特尔等著:力学(伯克利物理学教程第一卷)中译本，第九章，ρ.396—397.科学 出版社(1979) # (11)在Y态下，求τ=, 怎样解释, 11x ˆ(答)当体系处在用Y(θ,Ψ)所表示的状态下时，对角动量进行测量时，所计l11x , 算得到的平均值即。 lx ,ˆ前在第四章习题(16)中证明过:在的本征态下=0 llxx 下面给出一个直接用波函数来计算的解释: ,,2Y(,,,)llY(,,,)我们知道(ξ4.3.P.128)球谐函数是的共同本征态，因而也11811 ,,2ˆll是共同本征态，在此态中没有确定值，因为=1，所以m取1，0，-1三种值，llxx ˆ测时，各以一定几率而得到三种值。 ,,0,,,lx ˆˆY(,,,)不是的本征态，但是依叠加原理，这种态可以认为是的本征态的线性ll11xx ,,2ˆˆll叠加式。和一样当=1时，有三种不同的本征态，它们是()的共同本lllxx8 征态，可以用球谐函数表示为示为: :,,,,Y(,,,)， Y(,,,)1110 ,,Y(,,,) 11 是用,,,轴代替,,,轴时，所对应的极角和方位角。参看附图。 ,,,,, ˆ,,,,Y(,,,)Y(,,,)Y(,,,)使用(,,,)座标系时，的本征态用，，表示，l101111x 它们的函数形式可用缔合勒让德函数表示 3Y11,(,,),sm,ei, 8, 3x，iy, (1) 8,r 33z,,,,,,y(,) (2) 104,4,r 33xiy,,i,,,,y1(,)slne,,, (3) 18,8,r 111现在若改用(x,y,z)参考系，座标之间就有了轮换的变化 111x,z,y,x,z,y ,,2,,Y(,,,)因此用后一座标系时(ll)表象中不是本征矢，而是Y(,,,)的叠加10x11 式;设 13x，iy,,,,y(,), 118,r 13z,,,,,y(,) 104,r 113x，iy,,,,y,1(,), 18,r ,,,,,,l,ly(,),y11(,);表象中不是本征矢而是的叠加式设211x在 y,(,,),cy,(,,)，cy,(,,)，cy,1(,,,)1111121031, 1,33x，iyz，ix,,即 8,8,,rr 11,,,x，iyzx,iy3,{c，2c，c} (4) 122,rrr8 后二式比较系数，得 i,c，c0,c,c (5) 1,2c12122 1ic,即 ,,cca1a22 2ˆˆ最后得到所述态: Y用(ll)本征态表示的叠加式11x i1i,,,,,,(,)(,)(,)1(,)Y,,,Y,,，Y,,，Y,,, 1111101222 ,,0,,,的几率是2ˆˆll002,ii1c,()(),;1224 ˆ因此在Y态(习惯上 指共同本征矢)中，测量得到实测值 l1112xc,;22 2ii1c,,,()()3224ˆ在Y态中平均值 l11x 222lx,c,，c,0,c(,,),0 123 ˆ又几率分布也可用矩阵法求解，见下题。因此，可以有两种求法。 llxx ˆˆˆ(12)在()表象中，的子空间是几维,求在此子空间的矩阵表示式，再利用llll,12xx ˆ矩阵形式求出本征值及征矢。 lx (解)采用角动量表象时，态用希尔柏特空间的多维矢量表示，按一般定义，角动量表象的希氏空间的基矢空间的基矢代不无得并的本征态，无简并的本征态用座标表象时为波函数 ,,因为取值？取值？？故空间的维数Ym(,),l(t,0,1,2,3,,),m(m,,,,2,,1,0,1,2,,) 2不同本征矢数是但对的那分空间来说因所以仅有三个无得并(),,l,1,m,1,0,,1, 态用座标表象是故子空间是维的Y,Y,Y,3..1111m, ˆˆˆˆ其次用角动量表象来解本征值和本征矢按一般理论理用矩阵法在,(l,l),,(l,l)22xx c，，1,,ˆˆˆˆ表象中表象中的本征矢当然不是基矢可用单列矩阵表作的矩阵的算(l,l)lc,l22xxx,, ,,c8，，法是用一般定义 1ˆ,(lx),YlYd,,,lmllm,(1)lmxlmx,,, ˆˆˆl,l，il后一表示法用狄拉克符号，矩阵元的计算利用角动量理论的方法，令 ，xyˆˆˆˆl,l,l,il， ,xxy 11ˆˆˆˆˆˆ[反变换 ] l,(l，l)l,(l,l)x，,y，,22i 能证明人 ， 有以下运算法则: ˆˆll，,ˆl，l,m,,(l,m)(l，m，1),l,m，1, (2) ˆll,m,,(l，m)(l,m，1),l,m,1 (3) , ˆˆ根据前述的反变换式，只需将前两个运算式相加、相减，并除以2，便得到和运算法则: llyx 1ˆll,m,,(l,m)(l，m，1),l,m，1,，(l，m)(l,m，1),l,m，1 (4) x2 1ˆll,m,,{(l,m)(l，m，1),l,m，1,,(l，m)(l,m，1),l,m,1y2i 2ˆˆ利用这二公式，以及()空间的基矢的正交归一关系: l,ll,m,x ,,,, (6) l,mlm,,,,,,11mm ˆ可求得算符的3×3矩阵如下，其中,指示m的排列凡自左向右，自上到下都是按照ll,1x 递减的顺序。 ˆˆˆ，，,1,11,1,,1,11,0,,1,11,,1,lllxxx,,,,ˆˆˆ (l),,1,0l1,1,,1,0l1,0,,1,0l1,,1,xxxx,,,,ˆˆˆlll,1,,11,1,,1,,11,0,,1,,11,,1,,,xxx，，,，，0？？0,,2,, ,,,,,？0？ (7) ,,22,, ,,,0？？0,,2，， ˆ根据(7)可以建立的本征方程式，设本征值是λ: lx ,，，？？00,,2,,cc，，，，11,,,,,,,,？？？,0c,c 22,,,,,,22,,,,,,cc33，，，，,,,？？00,,2，， ,,cc,212 ,,(c，c),c即: (8) a122 ,c,,c232 方程组(8)有非凡解(c=c=c=0是平凡解，无意义)的条件是(8)的系数行列为零: 12a ,？,？,20 ,,？？,2,2,0 (9) ？,？,02, 解方程式，得本征值,,,,0,,,(自大到小).。 将每一个值代入(8)可得一组关系式，但这三个齐次方方程式不足解出c,c,c,尚需加入归12a 一化条件: 222c，c，c,1 (10) a12 得到三组本征矢 1/2，， ,, ,,1/2相当座标表象,,,1,, ,,1/2，， 111,Y，Y，Y, (11) 111101,1222 ，，1/2,, ,,？0相当于 ,,02,, ,,,12，， 11,Y,Y, (12) 2111,122 1/2，， ,, ,3,,12相当于 ,,,,,, ,,1,2，， 111,Y,Y，Y, (13) 311101,1222 ,,,101312Y,，，,l,,，,,,0从(11)-(13)得 x11222222# m,1*lmY,(,,)Y,(,,),常数(与,,,无关)由此证明地(n,l)(13)证明 lm,m,,1 能级上满布电子的情况下，电荷分布是各向同性的。 (证明)题给的关系式是“球谐函数加法定理”，设想原来有一叁考系(xyz)，以原点为中 心的单位球面上有二点: p(1,,,,)p(1,,,,)111222 考察下述谐函数积的总和工: m1, I,Y(,,)Y(,,) (1) ,lm11lm22m1,, ˆ能够证明，若将参考系施行一次旋转R后，对新座标来说该总和仍是不变的。按么正变换 ,,,,,,(,,)理论，若座标系x,y,z被旋转成为，原来的一个函数就被变成 x,y,zlm 11ˆ,,,,(,),R,,(,,),l,(,,,) (2) ,lmlmmlmDm,mm l,lm是一系列变换系数(用Wignet代表文),它与旋转过的角度(例如用欧勒角a,,Dm r表求)有关.(2)式又存在逆变换 lˆ(,),R(,),(,),,,,,,,,,,1lmlm,D,mmlm,mm 当座标系进行变换时，总和工被变换成的结果，可用(3)代入(1)得到 lll11,,ˆˆ,,I,{RY,(,)}{RY(,,)},{,} ,,,1122lmlmDD21mmmm112,,mmm *,,,,(,,)(,,)Ylm (4) 11222Ylm1 ，ˆˆˆRR,I因为旋转B是一种么正变换，它应满足，因而 l*l,, (5) ,m1m2DDmm2mm1m 结果有: 11**,,,,I,Y,(,)Y,(,),Y(,,)Y(,,) (6) lmlm,,11lm2211lm22m,,m,,11 1ˆR即I对旋转是守恒的。现在我们这样来选择这种旋转，使转后的座标系里，P点在Z轴1 11上，P点则在X 0 z 座标面上，根据公式(课本) 2 (l,m)!(2l，1)mmei,(p,30):Y(,),(,1)() ,,,,lmP1(l，m)!4, dmmm(),()P(),,,,,,再利用 1P1md(),, 2l，1,,,Y,(,,),Y(0,,),,om又Y(,,,)得 lm11lm1lm2224, llm2，1(,)!m, Y,(0),,(,,),2,2lmP1lm4(，)!, 1*,,,,,,,,I,Y()Y()lm,lm112,,m1于是有: 2l，12l，1(l,m)!m,,,,,(,,)mo,2P144(l，m)!,,m 2l，10,,,,(,),得,改为,,得公式:22P1 4, 12l，1*,P,,(),Y(,,,)Y(,,,) (7) lm,111224,,1m ,,,这里,代表OP,OP两个位置矢量间的夹角,这是个普遍公式.再将前式中212 ,的,,()令之等于零得到待证公式:(这时,,,,,,,)21212 12l，1*,Y(,,,)Y(,,,) (8) lm,lm4,,,m1 依据以上结论，假写我们要计算有心力场中电子在核周围形成的电荷密度分布，就可以按几率密度一样计算(?6.3,P.222几率密度随角度的变化一段) 径向电荷密度 ,d,,q.Y(,)常量,,lmd, d,是指在方位(,,,)上单位立体角内电子出现的总几率q是电子电荷,可见电 荷分布是各向同性的 (14)证明一个球方势阱(半径a,深度V)恰好具有一条l?0的能级的条件是:V与a应满足 00 ,2V0jl,1(a),0 2, (解)是有限深势阱问题，令 此处有图,,,,/ 及势阱外(r,a)的薛定谔径向方程式则在球势阱内(r,a) 2l(l，1)2,,,R，R，{k,}R,0(r,a)？？(1)1212rr 2l(l，1)1,,,R，R,{k，}R,0(r,a)？？(2)2222rr (1) 的解需满足r=0处有限，它的特介是 R(r),Akljl(kr) (3) 1 的解需满足r,,处趋近于零,特介是(2) (4) ,R(r),Bkh(ikr)2lll 要使波函数及其一阶导数在r=a这个势能突点上连续，应有 R(a),R(a)即12 ,Aklul(ka),Bklhl(ika) dR(a)dR(a)12 V 0,drdr d,Ajl(ka),B(ika)klkllar 为了运算的方便(主要利用球贝塞耳函数j，和球韩格耳函数h的一阶导数公式)(6)，(5)1 1两边相除，并加上相同的 (l，1)得:a 11()ka,()ikaj11l，l，h11 ，,，,()()2jkaahika11 此式等效于: dd1，11，1,, (7) en{(kr)j(kr)}en{(ilr)h(ikr)},11,01r,0drdr从课本附录六的公式得 d1，11，1 (xjl),xj(l,0)1,1dx d1，11，1 (hhl),xh(l,0)1,1dx ,,ikh(ika)1,1kj(ka)1,11,(7)式成为 (8) ,j(ka)1h(ika)1x按照题意，若势阱的深度V，宽度(并径a)的大小恰足以产生一个束缚能级，那就表示势0 阱深V正好和能级E相等，而E则依赖于a，所以:E= V 00 2(V,E),0,的条件使波数 k,,0 ,2 从(8)看来，等式右方因含有因数k而等于零，一般 1 ,h(ika),h(0),, 1,11,1 ,2Ej(ka),j(a),0因而等式左方为零 ,,11112,解此方程得到所需的E (15)采用平面极座标，求出轴对称谐振子势场中，粒子能量的本征值本征函数，读者讨论 简并度。 (解)本题是有精确解的二维问题，和图示的极座标 ,(,)势能r ,,r22(),Vr2 定态的,,,方程式是: 222,,,,,1,,1,2r (1) ()，，[,],,0rE22,,2rrr,,r,2 用分离变量代换 (2) ,(r,,),R(r),(,) 方程(1)可分离为不同自变量的二部分: 222,,,r,,R2r1,,2 ,(r)，(E,)r，,02,R,r,r,22,, 222,,r,,R2r1,,22令 (3) (r2)，(E,)r,,,m(常量)2,,R,r,r22,, 2前式相当于两个方程式:前式中常量m是正数，否则,(,)将不符波函数要求: 222,,,1,,R2rm(r)，{(E,),}R,022r,r,r2r, 2,,2，m,,02,, (5)的解是 ,(,),Ceim, 为符合单值要求 im,im(,，2x,)e,em是整数 现再处理主程式(4)，作常数替代 2,Em,k,a, 2,, 22,R1,Rm42，，(k2,,ar)R,0(4)式变成 (6) 22r,r,rr ,(6)有r=0，r=的奇点，试求其奇点的近似解，在r=0附近方程式近似为 22dR1dRm，,R,0 22rdrrdr 2这个方程容许R=r形式的解，代入后得 m,m 8,m,,m,但r在r,0点发散故合理的解r 在无限远入(6)的近似形式 22ar2,dR422,arR,0它的近似解R,e 2dr 因此可以合理地假设(6)的解是: 22ar,2 (7) R(r),rme 将(7)代入(6)经过一番整理后，得到u(r)满足的方程式如下 2dudu2222r，(2m，1,2ar)，[k,2(m，1)a]u,0 (8) 2drdr 22作自变量交换ξ=ar代入(8)式，其中 22dududududu22,,aa，4，2,，2a d,d,d,drd, 代入(8)式，经过简化后得到: 22mduduk1,,，(m，1,)，(,,)u,0 (9) 2,,dd224a 此方程式中的代表磁量子数的绝对值，(9)式与合流超几何方程式完全一致，后者一般m 形式是: 2dudu1,,，(v,),au,0 (10) 2,d,d 1(9)中的a本应照习惯写法，写作a，为了避免与(8)式中的a混淆，改为加撇，(10) 的解是: ro,,,a(a，1)？(a，v,1),F(a,r,),, (11) ,r(r，1)？(r，v,1)v!,0v 2m1k22u(r),F(，,,m，1,ar)因而 (12) 2224a 完整的径向波函数是 lm,,(r,,),R(r)e 22ar2e,m1k2m22,常数,F(，,,m，1,ar) (13) 2224a i由于合流超几何级数收敛性质和相似，故其无穷级数形式不适于作为波函数的解，欲使e ,其能作为波函数的一个因式，这个级数要中断，设最高幂p,由(11)可知+p=0 a 2m1,，,，p,0 2224a m1222,,4a(，，p),2a，(m，1，2p)即 22 2,E2因 用磁量子数m表示E: ,,2, 2222,,,,,,2E,,a(m，1，2p),(m，1，2p) 2,,,, 得到所需能级: (15) E,(m，2p，1),, n是能量量子数，当n给定时，与该能量相对应的不同态的数目(简并度)可依n奇数或,偶数分别讨论，列表如下: n奇数 n偶数 n,1P取值 n0，1，2，„„ 0，1，2，„„ 22 n,n-2,n-4,„„1 n,n-2,n-4,„„0 取值 m 简并度 n+1 n+1 , 因为时，每一种的值都对应二种态m和-m，因此当n为奇数时，m的取值(即m,0m 能量相同的不同态)是 n,1n 种，当n为偶数时的态又有种，因此m的不同取2，(1，),m，1m,022 n值也是有1+2，=n+1 种，总的说来，简并度是n+1. 2 # [16]设粒子在无限长的园简内运动，简半径是a，求粒子的能量。 (r,,,z),(r,,,z)[解] 用柱面极座标其意义见附图，设波函数是则薛氏方程式是: 221,,,1,,,,2,(r)，，，[E,V],0 (1) 2222r,r,rr,,z,, 0(r,a), (2) V(r,,z),,,,(r,a), 第一次分离变量试用 ,,F(r,,)Z(z)(2)代入(1)，当r手册

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