转 狭义相对论公式证明

转 狭义相对论公式 【狭义证明】相对论公式及证明符号单位符号单位坐标(x,y,z):m力F(f):N时间t(T):s质量m(M):kg位移r:m动量p:kg*m/s速度v(u):m/s能量E:J加速度a:m/s^2冲量:N*s长度l(L):m动能Ek:J路程s(S):m势能Ep:J角速度ω:rad/s力矩:N*m角加速度:rad/s^2α功率P:W一:牛顿力学(预备知识)(一):质点运动学基本公式:(1)v=dr/dt,r=r0+? rdt(2)a=dv/dt,v=v0+?adt(注:两式中左式为微分形式，右式为积分形式)当v不变时，(1)示匀速直线运动。当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。(二):质点动力学:(1)牛一:一切物体在没有受到力的作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态。(2)牛二:物体加速度与合外力成正比与质量成反比。 F=ma=mdv/dt=dp/dt(3)牛三:作用在同一物体上的两个力，如果等大反向作用在同一直线上，则二力平衡。(4)万有引力:两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)动量定理:I=?Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)动量守恒:合外力为零时，系统动量保持不变。动能定理:W=?Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)机械能守恒:只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2(注:牛顿力学的核心是牛二:F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)二、狭义相对论力学(注:"γ"为相对论因子，γ=1/sqr(1-u^2/c^2)，β=u/c，u为惯性系速度。)1.基本原理:(1)相对性原理:所有惯性系都是等价的。(2)光速不变原理:真空中的光速是与惯性系无关的常数。(此处先给出公式再给出证明)2.洛仑兹坐标变换:X=γ(x-ut)Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2)3.速度变换:V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))4.尺缩效应:?L=?l/γ或dL=dl/γ5.钟慢效应:?t=γ?τ或dt=dτ/γ6.光的多普勒效应:ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)(光源与探测器在一条直线上运动。)7.动量表达式:P=Mv=γmv,即M=γm 8.相对论力学基本方程:F=dP/dt 9.质能方程:E=Mc^2 10.能量动量关系:E^2=(E0)^2+P^2c^2(注:在此用两种方法证明，一种在三维空间内 进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。)*三、三维证明1.由实验总结出的公理，无法证明。2.洛仑兹变换:设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。可令x=k(X+uT)(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut)(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得Y=y(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得:x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x(5).(1)(2)(3)(4)(5) 满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，X=cT.代入(1)(2)式得:ct=kT(c+u)， u).两式相乘消去t和T得:k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入cT=kt(c- (2)(5)式得坐标变换:X=γ(x-ut)Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2)3.速度变换:V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)同理可得V(y),V(z)的表达式。4.尺缩效应:B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得:?X=γ(?x-u?t)，又?t=0(要同时测量两端的坐标)，则?X=γ?x，即:?l=γ?L,?L=?l/γ5.钟慢效应:由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故?t=γ(?T+?Xu/c^2)，又?X=0，(要在同地测量)，故?t=γ?T.(注:与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。)6.光的多普勒效应:(注:声音的多普勒效应是:ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b)，波数为N，B系的钟测得的时间是?t(b)，由钟慢效应可知，A?系中的钟测得的时间为?t(a)=γ?t(b)(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c，最终时刻为t2+(x+v?t(a))/c，则?t(N)=(1+β)?t(a)(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)?t(b)=ν(a)?t(N)(3).由以上三式可得:ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).7.动量表达式:(注:dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原 有的简洁形式。牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，(旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z))只要将分母替换为一个不变量(当然非固有时dτ莫属)就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv，将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量:相对论动量。(注:我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算)8.相对论力学基本方程:由相对论动量表达式可知:F=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。(相对论中质量是变量)9.质能方程:Ek=?Fdr=?(dp/dt)*dr=?dp*dr/dt=?vdp=pv-?pdv=Mv^2-?mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)- mc^2=Mc^2-mc^2即E=Mc^2=Ek+mc^2 10.能量动量关系:E=Mc^2，p=Mv，γ v^2/c^2)，E0=mc^2，可得:E^2=(E0)^2+p^2c^2*四、四维证明:1.=1/sqr(1- 公理，无法证明。2.坐标变换:由光速不变原理:dl=cdt，即 dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2 0称类空间隔，dS^2 0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变，因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论:dS是坐标变换下的不变量。由数学的旋转变换公式有:(保持y,z轴不动，旋转x和ict轴)X=xcosφ+(ict)sinφicT=-xsinφ+(ict)cosφY=y Z=z当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ得:tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得:X=γ(x-ut)Y=y Z=z T=γ(t-ux/c^2)3.4.5.6.略。7.动量表达式及四维矢量:(注:γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，下式中dt=γdτ)令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。(以下同理)四维动量:P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)四维力:f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力)四维加速度:ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)则f=mdV/dτ=mω8.略。9.质能方程:fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0故四维力与四维速度永远"垂直"，(类似于洛伦兹磁场力)由fV=0得:γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式))故dEk/dt=c^2dM/dt即?dEk=c^2?dM，即:Ek=Mc^2-mc^2故E=Mc^2=Ek+mc^2看完后，我得出结论:爱因斯坦是神…