范希尔理论范希尔几何认知理论
层 次
思维对象
水平框架描述
直观化
形状、实物
学生把图形看作整体,能通过整体轮廓辨认图形,并能操作其几何构图元素(如边、角);能画图或仿画图形,使用标准或不标准名称描述几何图形;能根据对形状的操作解决几何问题,但无法使用图形之特征或要素名称分析图形,也无法对图形做概括的论述。
描述/分析
形状的类
学生通过图形的性质来识别图形,并能确定图形的特征。能分析图形的组成要素及特征,并依此建立图形的特性,利用这些特性解决几何问题,但无法解释性质间的关系,也无法了解图形的定义;能根据组成...
范希尔几何认知理论
层 次
思维对象
水平框架描述
直观化
形状、实物
学生把图形看作整体,能通过整体轮廓辨认图形,并能操作其几何构图元素(如边、角);能画图或仿画图形,使用标准或不标准名称描述几何图形;能根据对形状的操作解决几何问题,但无法使用图形之特征或要素名称
图形,也无法对图形做概括的论述。
描述/分析
形状的类
学生通过图形的性质来识别图形,并能确定图形的特征。能分析图形的组成要素及特征,并依此建立图形的特性,利用这些特性解决几何问题,但无法解释性质间的关系,也无法了解图形的定义;能根据组成要素比较两个形体,利用某一性质做图形分类,但无法解释图形某些性质之间的关联,也无法导出公式和使用正式的定义。
抽象/关联
形状的性质
学生能形成抽象的定义,区分概念的必要条件和充分条件。能建立图形及图形性质之间的关系,可以提出非形式化的推论,了解建构图形的要素,能进一步探求图形的内在属性和其包含关系,使用公式与定义及发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定理的重要性,不能由不熟悉的前提去建立证明结果的成立,也未能建立定理网络之间的内在关系。这各阶段是标志性的飞跃。
形式推理
性质之间
的关系
学生在公理化系统中建立定理。学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“定理”和“公理”的意义,确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的,理解解决几何问题必须具备充分或必要条件;能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测,能够以逻辑推理解释几何学中的公理、定义、定理等,也能推理出新的定理,建立定理间的关系网络,能比较一个定理的不同证明方式;能理解证明中的必要与充分条件。
严密性/
元数学
几何的演绎
的公理系统
在最高思维水平,思维对象转变成公理系统本身而不是在一个系统里的演绎。他们感兴趣的是不同公理系统之间的关系和区别。这是大学数学系学生的思维水平,他们学习几何,把它作为数学的一个分支。
水平
特征
视觉期(Visualization)
形状、实物——图形概念化
外观、知觉主宰——直观辨认、非标准语言(像。。。)
● 学生把图形看作整体,能通过整体轮廓辨认图形,并能操作其几何构图元素(如边、角);
例如:三角形、正方形、长方形与圆等,学生可以通过移动、旋转与翻转等方式,直观地辨识某类图形。
● 能画图或仿画图形,使用不标准名称描述几何图形;
如长方形是瘦瘦的、长长的或是像门的样子;
● 也可以使用标准的语言描述图形的形状,但是并不理解这些数学语言的定义。
用正方形的构成要素来定义一个正方形,是有四个边与四个角及其关系是四个边等长与四个角都是直角。
● 能根据对形状的操作解决几何问题,但无法使用图形之特征或要素名称分析图形,也无法对图形做概括的论述。
分析期(Analysis)
图形的类——图形的性质(细化)
图形的性质与图形
● 丰富的视觉辨识经验
● 能进一步观察图形构成要素与图形之间的关系,可以开始寻找出某一类图形的共同性质。
例如:以图形组成要素来说,当注意到长方形的边长时,学童可以发现长方形都有四个边,这四个边刚好分成两组,一组是两个长边,一组是两个短边,而且两个长边等长,两个短边也等长。
● 无法解释这些几何性质间的关系。
例如:无法透过推理,理解为什么四个角都是直角的四边形,它们的对角线一定会等长且互相平分。
关联期(Relation)或非形式演绎期(Informal Deduction)
图形的性质——图形的性质间关系
图形的性质间关系、不同图形之间的关系
● 已经能掌握各种图形的构成要素;
● 可以进一步探索图形内在属性关系,不必将所有的属性都描述出来之后,才能确认某一类图形。
例如:两双对边相等的四边形一定是平行四边形;对角线等长且互相平分的四边形一定是长方形。
● 不同类图形之间的包含关系;
例如:能够理解长方形一定是平形四边形的意义,也能够推论当平行四边形有一个角是直角时,该平行四边形一定是长方形。
形式演绎期(FormalDeduction)
图形的性质间关系——公理体系
证明定理、建立定理的网络结构关系
● 能用演绎逻辑证明定理,并建立相关定理的网脉结构关系。
● 可以在一个公设系统中建立理论,他们不只是记忆图形之间的各种性质,并且能够证明与理解一个定理可以有很多不同证明的方法;
● 理解一个定理的充份或必要条件的内在关系,并发现正逆命题间的差异性。
严密性(Rigor)或公理性(Axiomatic)
公理体系——不同的公理体系
达到这个层次的人们,可以在不同的公设系统中建立定理,并分析或比较这些定理的特性,例如:能区分欧氏几何与非欧几何系统间的差异,也可以理解抽像的几何推理,甚至可以自创一套几何公设系统。一般的人很难达到这个层次,即使是以数学为专业者也不易达成。
范希尔几何思维水平的应用
● 诊断、评价学生
平移与旋转:史伯卿
长方体认识
● 设计教学活动
平移与旋转:史伯卿
长方体认识
学习活动
学习目标
行为
现
思维表现
1.说特征:说一说你心目中的长方体有什么特征?
不提供实物,让学生第一次描述长方体的特征。了解学生活动前的认知基础。
此题具有开放性,了解学生对长方体各要素认识的原有认知。
能说出长方体的面是长方形的。
学生是用思考长方形的边、角要素的二维图形的思维描述三维的长方体。
2.看实物:借助长方体盒子,独立探究,看看你对长方体的特征有哪些新的发现?
给学生提供一般长方体盒子1个,相对面是正方形的长方体盒子2个(牙膏盒状、月饼盒状各1个)。从中选出自己认为是长方体的盒子进行研究。学生可以通过观察、测量、比较等手段独立探索特征,之后让学生第二次描述长方体特征。
能够发现长方体面的形状、大小、数量。
能发现长方体有6个面,是长方形的,并能指出某一组或几组对着的面相等。
能分析出长方体面的要素特征,但对面的位置关系认识不是很清晰。
3.拼形体:用长方形拼一个长方体。
让学生自己思考设计需要几个什么样的长方形(给学生提供方格纸、剪刀、胶条),然后根据自己的设计拼长方体,没有拼成功的在操作中调整,在失败或成功的操作活动之后,再次独立设计拼长方体需要的长方形。在学生经历拼长方体的过程后,让学生第三次描述长方体的特征。
能够发现长方体有3组(2组)相对的面,能够找到相邻面的匹配关系,初步感知棱与棱之间的匹配关系。
第一次设计多数学生不成功,但通过再次或几次调整均能成功。
能够清晰地把握面的位置关系,意识到相对面、相邻面的关联。
4.搭框架:用小棒搭一个长方体。
让学生自己思考设计需要几根几种长度的小棒(给学生提供4种不同长度的小棒各8根、橡皮泥小球),然后根据自己的设计搭长方体框架,没有搭成功的在操作中调整,在失败或成功的操作活动之后,再次独立设计搭长方体框架需要的小棒。在学生经历搭长方体框架的过程后,第四次描述长方体的特征。
能够发现长方体有12条棱。找到3组(2组)不同长度的棱之间的匹配关系。(顶点)
第一次设计多数学生成功搭出长方体,并能够发现棱的数量、长度、对应关系。
能够清晰地把握棱的位置关系,发现棱与棱之间的关联。
5.辨形体:“月饼盒”是不是长方体的?为什么?
从学具中再次拿出“月饼盒”让学生辨析是否是长方体,并说明理由。
能够利用特征正确判断“月饼盒”是长方体的。
学生能够指出正方体有6个面都相等,但月饼盒只有2个面相等。
以特征作为标准进行初步的演绎推理。
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