范希尔理论

范希尔几何认知理论 层 次 思维对象 水平框架描述 直观化 形状、实物 学生把图形看作整体，能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形之特征或要素名称图形，也无法对图形做概括的论述。 描述/分析 形状的类 学生通过图形的性质来识别图形，并能确定图形的特征。能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也无法导出公式和使用正式的定义。 抽象/关联 形状的性质 学生能形成抽象的定义，区分概念的必要条件和充分条件。能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明结果的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系。这各阶段是标志性的飞跃。 形式推理 性质之间 的关系 学生在公理化系统中建立定理。学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“定理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公理、定义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证明中的必要与充分条件。 严密性/ 元数学 几何的演绎 的公理系统 在最高思维水平，思维对象转变成公理系统本身而不是在一个系统里的演绎。他们感兴趣的是不同公理系统之间的关系和区别。这是大学数学系学生的思维水平，他们学习几何，把它作为数学的一个分支。       水平 特征 视觉期(Visualization) 形状、实物——图形概念化 外观、知觉主宰——直观辨认、非标准语言（像。。。） ● 学生把图形看作整体，能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）； 例如：三角形、正方形、长方形与圆等，学生可以通过移动、旋转与翻转等方式，直观地辨识某类图形。 ● 能画图或仿画图形，使用不标准名称描述几何图形； 如长方形是瘦瘦的、长长的或是像门的样子； ● 也可以使用标准的语言描述图形的形状，但是并不理解这些数学语言的定义。 用正方形的构成要素来定义一个正方形，是有四个边与四个角及其关系是四个边等长与四个角都是直角。 ● 能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形之特征或要素名称分析图形，也无法对图形做概括的论述。 分析期(Analysis) 图形的类——图形的性质(细化) 图形的性质与图形 ● 丰富的视觉辨识经验 ● 能进一步观察图形构成要素与图形之间的关系，可以开始寻找出某一类图形的共同性质。 例如：以图形组成要素来说，当注意到长方形的边长时，学童可以发现长方形都有四个边，这四个边刚好分成两组，一组是两个长边，一组是两个短边，而且两个长边等长，两个短边也等长。 ● 无法解释这些几何性质间的关系。 例如：无法透过推理，理解为什么四个角都是直角的四边形，它们的对角线一定会等长且互相平分。 关联期(Relation)或非形式演绎期(Informal Deduction) 图形的性质——图形的性质间关系 图形的性质间关系、不同图形之间的关系 ● 已经能掌握各种图形的构成要素； ● 可以进一步探索图形内在属性关系，不必将所有的属性都描述出来之后，才能确认某一类图形。 例如：两双对边相等的四边形一定是平行四边形；对角线等长且互相平分的四边形一定是长方形。 ● 不同类图形之间的包含关系； 例如：能够理解长方形一定是平形四边形的意义，也能够推论当平行四边形有一个角是直角时，该平行四边形一定是长方形。 形式演绎期(FormalDeduction) 图形的性质间关系——公理体系 证明定理、建立定理的网络结构关系 ● 能用演绎逻辑证明定理，并建立相关定理的网脉结构关系。 ● 可以在一个公设系统中建立理论，他们不只是记忆图形之间的各种性质，并且能够证明与理解一个定理可以有很多不同证明的方法； ● 理解一个定理的充份或必要条件的内在关系，并发现正逆命题间的差异性。 严密性(Rigor)或公理性(Axiomatic) 公理体系——不同的公理体系 达到这个层次的人们，可以在不同的公设系统中建立定理，并分析或比较这些定理的特性，例如：能区分欧氏几何与非欧几何系统间的差异，也可以理解抽像的几何推理，甚至可以自创一套几何公设系统。一般的人很难达到这个层次，即使是以数学为专业者也不易达成。     范希尔几何思维水平的应用 ● 诊断、评价学生 平移与旋转：史伯卿 长方体认识 ● 设计教学活动 平移与旋转：史伯卿 长方体认识 学习活动 学习目标 行为现 思维表现 1.说特征：说一说你心目中的长方体有什么特征？ 不提供实物，让学生第一次描述长方体的特征。了解学生活动前的认知基础。 此题具有开放性，了解学生对长方体各要素认识的原有认知。 能说出长方体的面是长方形的。 学生是用思考长方形的边、角要素的二维图形的思维描述三维的长方体。 2.看实物：借助长方体盒子，独立探究，看看你对长方体的特征有哪些新的发现？ 给学生提供一般长方体盒子1个，相对面是正方形的长方体盒子2个（牙膏盒状、月饼盒状各1个）。从中选出自己认为是长方体的盒子进行研究。学生可以通过观察、测量、比较等手段独立探索特征，之后让学生第二次描述长方体特征。 能够发现长方体面的形状、大小、数量。 能发现长方体有6个面，是长方形的，并能指出某一组或几组对着的面相等。 能分析出长方体面的要素特征，但对面的位置关系认识不是很清晰。 3.拼形体：用长方形拼一个长方体。 让学生自己思考设计需要几个什么样的长方形（给学生提供方格纸、剪刀、胶条），然后根据自己的设计拼长方体，没有拼成功的在操作中调整，在失败或成功的操作活动之后，再次独立设计拼长方体需要的长方形。在学生经历拼长方体的过程后，让学生第三次描述长方体的特征。 能够发现长方体有3组（2组）相对的面，能够找到相邻面的匹配关系，初步感知棱与棱之间的匹配关系。 第一次设计多数学生不成功，但通过再次或几次调整均能成功。 能够清晰地把握面的位置关系，意识到相对面、相邻面的关联。 4.搭框架：用小棒搭一个长方体。 让学生自己思考设计需要几根几种长度的小棒（给学生提供4种不同长度的小棒各8根、橡皮泥小球），然后根据自己的设计搭长方体框架，没有搭成功的在操作中调整，在失败或成功的操作活动之后，再次独立设计搭长方体框架需要的小棒。在学生经历搭长方体框架的过程后，第四次描述长方体的特征。 能够发现长方体有12条棱。找到3组（2组）不同长度的棱之间的匹配关系。（顶点） 第一次设计多数学生成功搭出长方体，并能够发现棱的数量、长度、对应关系。 能够清晰地把握棱的位置关系，发现棱与棱之间的关联。 5.辨形体：“月饼盒”是不是长方体的？为什么？ 从学具中再次拿出“月饼盒”让学生辨析是否是长方体，并说明理由。 能够利用特征正确判断“月饼盒”是长方体的。 学生能够指出正方体有6个面都相等，但月饼盒只有2个面相等。 以特征作为标准进行初步的演绎推理。