单元:坐标轴的旋转

单元:坐标轴的旋转 高二十五的分解數學 單元:坐標軸的旋轉 主題,坐標軸的旋轉 (x,y)與新坐標(x?,y?)滿足 將原坐標軸繞原點旋轉θ角之後,原坐標 x Y x? cosθ sinθ y? -sinθ cosθ 範例一, 0 將坐標軸旋轉45後得一新座標系,求, (32,2), (1)點A(4,-2)所對應的新坐標 (2)若點B的新坐標為,求原坐標 類題, ,1.將坐標軸旋轉角後,得新坐標系S?=(O,x?,y?),試求, 3 33133，, (1)點P(3,1)的新坐標為, 解答,(,) 22 ,,,12323 (2)若點Q的新坐標為(-1,2),則點Q的坐標為, 解答,(,) 22 5,1,,tan2.將坐標軸旋轉角,則點P(-13,26)的新坐標為, 解答,(-2,29) 12 坐標軸的旋轉P1 高二十五的分解數學 71003.將坐標軸旋轉角θ(0<θ<90),使點P(3,4)對新坐標系的新坐標為P?,則θ=? (,) 22 ,(1)(2)(22,42), 點Q(6,-2)的新坐標為, 解答, 4 3,14.將坐標軸旋轉角 , cos,若(,)的新坐標為(2,,1),則點的原坐標為(,) , ,QrsQrs5 211211(A)(,,) (B)(,,) (C)(2,1) (D)(2,, 1) (E)(, 2,1) 解答:(C) 5555 87,65.設坐標系S旋轉銳角, 得坐標系S ,,若P點對於S與S ,的坐標分別為(3,6)與(,),Ss ,1313 5,1求, ,, 解答:cos 136.試將坐標系S旋轉90:得坐標系S ,,若P,Q的新坐標分別為P(3,2),Q(, 4,6),求P,S S ,,Q的原坐標。 解答:P(, 2,3),Q(, 6,, 4) SS範例二: ,22 將坐標系S旋轉,求方程式x , 2xy ， y , 4x , 4y , 0的新方程式。 224 2解答:y, , 4x, 範例三: 22 將原坐標系S旋轉45:,求5x , 6xy ， 5y , 8的新方程式。 22解答:x, ， 4y, , 4 坐標軸的旋轉P2 高二十五的分解數學 範例四: , 將坐標軸繞原點旋轉後,則曲線 , 1的新方程式為? xy4 22解答:x, , y, , 2 類題: 1.若將坐標系 - 旋轉135:,建立新坐標系,- ,,則方程式 ， 2 , 0的新方程式為?由此可知xyxyxy 22原方程式的圖形為?,寫出名稱即可, 解答:x, , y, , 4,雙曲線 3,122222.若將原坐標系旋轉cos,求7x , 48xy , 7y ， 50 , 0的新方程式。 解答:x, , y, , 2 5 3.設將坐標系S旋轉45:,試作下列變換方程式的問題。 坐標軸的旋轉P3 高二十五的分解數學 2(1)已知拋物線, 對S的方程式為x , 8y,求, 對S ,的方程式。 (2)已知直線L對S ,的方程式為7x, , y, , 5,求L對S的方程式。 2 22解答:(1), , 2,, ， , , 8, , 8, , 0 (2)4 ， 3 , 5 xxyyxyxy22 22224.設, , ,將坐標系旋轉45:,若方程式 ， ， , 8的新方程式為, ， , , 2,試求abRxaxyybxy 1a,b之值。 解答:a , , 6,b , , 2 主題,旋轉坐標軸後消去xy項 22 二次曲線F(x,y)=ax+bxy+cy+dx+ey+f=0,今將坐標軸旋轉θ角後原方程式xy項消去,而得新 22方程式F?(x,y)=a?x?+c?y?+d?x?+e?y?+f?=0,則, a-ccot2θ=,其中θ為銳角 (1) b ,,(2)a+c=a+c, ,2222,,,(3)b+(a-c)=b+(a-c), 旋轉不變量,22,,,(4)b-4ac=b-4ac, ,,(5)f=f, 22,, (正負號與b同號) (6)()acbac,,,，, 範例一: 223 欲使方程式2x ，xy ， y ， 3x , 4y , 2 , 0經坐標軸旋轉一銳角, 後,可使方程式消去xy項,則 , ? , ,解答: 6 坐標軸的旋轉P4 高二十五的分解數學 範例二: ,22 設方程式x ， 2xy ， y ， 4x , 4y ， 8 , 0的圖形為G,則將坐標軸旋轉, 角,0 , , ,,222 使的新方程式,, - ,坐標系,中,不含,,項時, ,?,而新的方程式為?。 Gxyxy, ,2【解答】,, , 4, ， 4 , 0 xy4 範例三: 0022,,(090),, 將坐標軸旋轉角,得一新坐標系使得曲線Γ,11x-24xy+4y+20=0的新方程式 中沒有xy項,試求, (1)分別計算cot2θ,cos2θ,sinθ,cosθ (2)Γ焦點的原坐標及兩對稱軸的原方程式 22 (3)求x+y的最小值 坐標軸的旋轉P5 高二十五的分解數學 類題: 22221.繞原點轉軸,旋轉一個正銳角, 後,曲線,,8x ， 4xy ， 5y , 36的新方程式為ax, ， cy, , f, 21則(1)(cos,,sin, ) , ?(2)序組(a,c,f ) , ?。 解答:(1)(,) (2)(9,4,36) 55 222.旋轉坐標軸,使方程式4x , 4xy ， y , 45 , 0的新方程式不具xy項,則旋轉的正銳角, 為 341,,,,1111(1) tan (2) tan (3) tan2 (4) tan 解答:(3) 432 0022,,(090),,3.將坐標軸旋轉角,得一新坐標系使得曲線Γ,52x-72xy+73y=100的新方程式 中沒有xy項,試求, 7734,,,(1)分別計算cot2θ,cos2θ,sinθ,cosθ 解答, 242555 22,,xy(2)求Γ的新方程式並判斷Γ的圖形 解答,，,1,橢圓 41 (3)Γ焦點的原坐標及兩對稱軸的原方程式 43334333解答,(,),(,),, ,4x+3y=0,3x-4y=0 5555 坐標軸的旋轉P6 高二十五的分解數學 23,y222)4.將坐標軸旋轉角後,方程式x+axy+y=1的新方程式為則數對(a,b)=? 解答:(1, bx+=1,242 225.若方程式x ， 2xy ， 3y ， 7x , 6y ， 1 , 0經轉軸正銳角, 後,可消去xy項,則, , ,,,,,33(A) (B) (C) (D) (E) 解答:(D) 84463 ,226.二次曲線 ， 2 ， 3 , 2(6 ，) ， 2(1 , 6) ， 20 , 0經坐標軸旋轉角後的新方程x3xyy3x3y3222222式為(A)x, ， y, , x, , 5 , 0 (B)x, ， y, , 6x, ， 5 , 0 (C)x, , 6x, ， y, ， 5 , 0 (D)y, , 6y, ， 2x, ， 5 , 0 (E)x, , x, ， 6y, ， 5 , 0 解答:(C) 227.將坐標系S旋轉銳角,,使方程式3x ， 24xy , 4y ， 3x , y ， 30 , 0的新方程式不含有xy項, 34求sin,,cos, 之值。 解答:sin, ,,cos, , 55 範例四: 3,122 , 18 θ, cos,將原坐標系S旋轉, 得到新坐標系S ,,若, 的原方程式為13xxy ， 37y 10 , 40,則, 的新方程式為?,又在S中, 的位於第一象限內的頂點坐標為?。 6222解答:x, ， 4y, , 4,(,) 1010 坐標軸的旋轉P7 高二十五的分解數學 類題: 1.設, , , 2,將原坐標系旋轉( , 45:),則 的新方程式為?,又在原坐標系中, 位於 ,xy,, 22第四象限內的頂點坐標為?。 , , , , 4,(,,) 解答:xy22 222.設二次曲線,,4x , 4xy ， y ， 8x ， 6y ， 7 , 0,我們將坐標系旋轉, 角,使0: , , , 90: 1且cos, ,,若點P的新坐標為(x,,y,),而原坐標為(x,y),則點P的原坐標(x,y)用x,,y, 5 x,,2示時,,若, 對新坐標系而言,其方程式可化為5y, ， ax, ， by, ， c , 0,其,y,, 12,,,x,x,y,,5555中a,b,c為定數,則a ,?,b ,?,c , ?. 解答:,4,, 2,7 ,21,,,y,x，y,55, ,223.坐標軸繞原點旋轉, 角,0 , , ,,後,二次曲線,,5x , 6xy ， 5y , 16的新方程式缺xy項,2 求(1) , 的新方程式。 (2) , 的圖形。 (3) , 的對稱軸方程式。 22解答:(1) x, ， 4y, , 8 (2)表一橢圓,中心為原點 (3) x , y , 0及x ， y , 0 22334.設坐標系S旋轉18:,方程式3x ， 2xy ， y ， 2x , 2y , 0的新方程式為 22222ax, ， bx,y, ， cy, ， dx, ， ey, ， f , 0,試求(1)a ， c ,, (2)b , 4ac ,, (3)d ， e ,, (4)f ,, 解答:(1)4 (2)0 (3)16 (4)0 範例五: 22 點P為橢圓29x , 24xy ， 36y , 360 , 0上任一點,O表原點,設長的最大值為M,最小OP 值為m,求M與m之值。 解答:M , 3,m , 2 22 坐標軸的旋轉P8 高二十五的分解數學 主題,判斷二次曲線的圖形 22 二次曲線F(x,y)=ax+bxy+cy+dx+ey+f=0所表示的圖形,包含了有圓、拋物線、橢圓、雙曲線 一點、一直線、兩平行直線、兩相交直線及沒有圖形等九種。 主要的判別方法, 2 1.若b-4ac?0(有心錐線)方程式的改變先平移後旋轉 2ax+by+d=0, (a)找中心(h,k)利用解聯立方程式求出中心(h,k)則原方程式將變成 ,bx+2cy+e=0, 2222,,,,,ax+bxy+cy+f=0 其中f?=ah+bhk+ck+dh+ek+f(注意平移之後二次項不變) ac,cot2,, (b)再旋轉求將(a)中之方程式消去xy項 b ,,a+c=a+c,,利用 ,22,,a-c=(a-c)+b(,正負號與b同號),, 22,,,,,,,ax+cy+f=0將(a)中之方程式改為 2 2.若b-4ac=0方程式的改變先旋轉 歸類整理, 判別式 非退化 退化 2b-4ac<0 橢圓或圓 一點或沒有圖形 2b-4ac>0 雙曲線 兩相交直線 坐標軸的旋轉P9 高二十五的分解數學 兩平行直線 2-4ac=0 拋物線 b 一直線、沒有圖形 範例一: 在坐標平面上,下列方程式所表示之圖形為何, 2(1) x , 4x , 5 , 0 22(2) x + 4y , 4x ， 16y ， 21 , 0 22 , 2 ， 6(3) xyx ， 4y ， 7 , 0 解答:(1)平行兩直線 (2)沒有圖形 (3)相交兩直線 類題: 1.在坐標平面上,下列方程式所表示的圖形各為何, 22(1) ， 4 , 6 , 7 , 0 (2) ， 4 , 5 , 0 yxyyy 2222(3)4 ， ， 24 , 6 ， 45 , 0 (4) , 4 , 8 ， 8 ， 12 , 0 xyxyxyxy 解答:(1)開口向左的拋物線 (2)兩平行直線 (3)一點 (4)兩相交直線 2222.二次方程式4x , 4xy ， y ， 4x , 2y , 3 , 0利用配方法,可將它化為(2x , y) ， a(2x , y) ， b , 0 2的形式,其中a,b為定數,則a,b之值為何,若進一步可化為(2x , y ， h) , k的形式,其中 坐標軸的旋轉P10 高二十五的分解數學 h,k為兩定數,則h,k之值為何,由此結果可知此二次式的圖形為何,,寫出名稱即可, 解答:a , 2,b , , 3,h , 1,k , 4,兩平行線 3.判斷下列二次曲線為何種圖形, 22(1) 4 , 12 ， 9 ， 10 , 15 ， 4 , 0 xxyyxy 22(2) x , 4xy ， 4y , 6x ， 12y ， 9 , 0 22(3) 9x ， 6xy ， y ， 6x ， 2y ， 5 , 0 解答:(1)兩平行直線 (2)一直線 (3)無圖形 範例二: 22 k , R,方程式2x ， xy ， ky ， 3x , 3y , 2 , 0所表圖形為二相異相交直線。 (1)求k之值。 (2)已知此二直線有一交角,,求sin, 之值。 3解答:(1) , 1 (2) 10 類題: 221.若二次曲線x ， xy , 2y ， ax ， by ， c , 0表示相交於點(2,1)的兩直線,求a,b,c之值。 解答:a , , 5,b , 2,c , 4 222.設方程式x + kxy , 8y ， 2x ， 14y , 3 , 0的圖形表為兩直線且一直線過(, 3,1),則k , ?,兩 坐標軸的旋轉P11 高二十五的分解數學 52直線的交點為?。 解答:2,(,,) 33 範例三: 22 若二次曲線x , 2xy ， 3y ， 2x ， 2y ， k , 0的圖形僅表示一點,求k之值,並求此點之原坐標。 解答:(1) k , 3 (2)(, 2,, 1) 類題: 221.使方程式 ， , 6xyx ， ky , 2k ， 6 , 0的圖形表一點時,實數k之值為? 解答:, 6或, 2 9222.方程式x ， 2xy ， y ， 3x ， 3y ， a , 0的圖形表一直線時,實數a值為? 解答: 4範例四: 22 設二次曲線,,9x , 24xy ， 16y , 20x , 15y ， 20 , 0,若將原坐標系旋轉一個銳角,可使, 的 新方程式,x,- y,坐標系,中不含交叉項,即新坐標系x,- y,中,不含x,y,項,,則cot2, ,? cos, ,?,而新方程式為?,其正焦弦長,?。 7442解答:,,y, , x, ,,1 2455 坐標軸的旋轉P12 高二十五的分解數學 類題: 2221.設曲線,,4x ， 4xy ， y , 22x ， 14y , 1 , 0,則下列何者正確,(1)由坐標變換化為標準式得x, 3, , 25y, (2) , 的頂點之原坐標(1,1) (3) , 的焦點之原坐標(,0) (4) , 的正焦弦長, 2 45 解答:(1)(2)(3) 222. ， 4 , 50,,xxy ， 4yx , 75 , 0,則, 的頂點為?,焦點為? 解答:(, 1,3),(1,2) 22 , 2 ， 83.拋物線xxy ， yy ， 4 , 0的對稱軸方程式為?,又其頂點坐標為? 解答:x , y , 2,(1,, 1) 99yx4.方程式 ， , 3的圖形為拋物線, 的一部分,則, 的頂點坐標為? 解答:(,) 44範例五: 22 Γ,x ， xy ， y , 3,則, 所表示之圖形為?,又, 在第二象限內的頂點坐標為?。 33解答:橢圓,(,,) 類題: 坐標軸的旋轉P13 高二十五的分解數學 221.將二次曲線3x , 4xy ， 6y , 2x , 8y , 9 , 0標準化,並求兩焦點的原坐標。 22,,,,xy解答:，,1, (3,2)與(, 1,0) SS27 22 ， 4 ， 5 , 12 , 18 ， 20 , 0標準化並求其對稱軸的原方程式。 2.將2xxyyxy 22解答:6, ， , , 1, ， 2 , 4 , 0與2 , , 3 , 0 xyxyxy 223.將二次曲線5x ， 6xy ， 5y , 16x , 16y ， 8 , 0標準化,並求焦點之原坐標。 22,,,,xy66,解答:(1)，, 1 (2) (1,,1) S2214 範例六: 22 雙曲線4x , 24xy ， 11y , 20的對稱軸方程式為? 解答:4x ， 3y , 0,3x , 4y , 0 類題: 22221.下列二次曲線何者為雙曲線,(1) 13 , 10 ， 13 , 72 , 0 (2) , 6 ， ， 8 , 0 (3) xxyyxxyyxy 22, 2x ， y , 6 , 0 (4) 3x , 10xy ， 3y , 12y , 8 , 0 解答:(2)(3)(4) 142.,,y , x ，,, 表示的圖形為何,, 之兩焦點間的距離(2c)為何, 解答:雙曲線,4 2x 223.試將二次曲線x ， 6xy , 7y ， 10x , 2y ， 1 , 0標準化,並求兩焦點的原坐標。 坐標軸的旋轉P14 高二十五的分解數學 22,,,,xy223232解答:(1),,1 (2) (, 2,, 1),(,, 2,,, 1) 222241 4.曲線xy , 2的圖形,,則下列何者正確,(A) , 的頂點為(2,0),( , 2,0) (B), 的頂點為(,2 ),( ,, ,) (C)的二焦點為(2,2),( , 2,, 2) (D)的二焦點為 , , 2222222 (2,0),(, 2,0) (E)的對稱軸為 , , 0及 ， , 0 解答:(B)(E) , xyxy22 範例七: 22 試就實數的值討論方程式(1 , ) ， ， 2 , 0的圖形。 kkxkyx 1解答:(1)橢圓,0 , , 1且 , (2)雙曲線, , 0或 , 1 kkkk2 1(3)拋物線,k , 1 (4)圓,k , (5)兩平行直線,k , 0 2 類題: 22221.設,,試就值的範圍判別下列方程式的圖形,2 ， 3 ， 2 , 2 ， ( ， 2 , 1) , 0 ,R,xyx,xy 335解答:, , , 2時,圖形為一拋物線,, , ,時,圖形為二平行直線x , , 2 , ,, , ,或, , , 222 3時,圖形為一圓或橢圓,, , , 1時,圖形為一圓,, 2 , , , ,時,圖形為一雙曲線 2 22xy2.就實數k的值討論方程式，,1的圖形。 k,28,k 解答:(1)當2 , k , 8,k , 5為橢圓 (2)當k , 2或k , 8為雙曲線(3) k , 5為圓 坐標軸的旋轉P15 高二十五的分解數學 (4) k , 2,8為 , 2223. ,,k(x , y , 2y) ， 4y , 8 , 0,k為實數, (1) 表二平行直線時, , 。 ,k (2) 表一橢圓時,值的範圍為 。 ,k (3), 表一雙曲線時,k值的範圍為 。 解答:(1)0 (2)0 , k , 4但k , 2 (3)k , 4或k , 0 範例八: 2222 設x,y , R且3x , 4xy ， 3y , 2,設x ， y之最大值為p,最小值為q,則下列何者正確,2 (A) p ， q , 12 (B) pq , 4 (C) p , q , pq (D) p ， q , pq (E) pq , 0 解答:(A)(B) 類題: 22PQ1.設P為橢圓5x ， 8xy ， 5y - 18x , 18y ， 9 , 0上一點,Q點為(1,1),求長的最大值 坐標軸的旋轉P16 高二十五的分解數學 與最小值。 解答:最大值3,最小值1 222.設P(x,y)在方程式2x , 2xy ， y , 6x ， 2y ， 1 , 0的圖形上,試求x與y的個別範圍。 解答:0 , , 4,1 , 2 , , 1 ， 2 x y22 坐標軸的旋轉P17