矩阵论

红色目：2，20，21，22不会做，其他题目参照提示不难做出来 1 .计算Frobenius矩阵 的特征多项式 和最小多项式。修订版_ch0_例2.5 解 记 按第一行展开 递推得 其最小多项式就是特征多项式。 2 设 ，求证 的任一根 满足 提示：用上题和盖氏圆盘定理 3. 设矩阵 为Hermite矩阵，满足 证明 正定。参考修订版_ch4_例4.5 证明  A为Hermite矩阵，故其特征值均为实数。只需证明 的特征值全大于零。（反证）若 有特征值 ，则存在某个盖尔圆 ，使得 。即 =                                     (1) 事实上， ，故 = 。这与条件(1)相矛盾。证毕。 4.  设 证明（1） 与对角矩阵相似；（2） 的特征值全为实数。修订版_ch4_例4.6 证明 （1） 的 个盖尔圆半径为 个盖尔圆为 显然， 不相交，知一个盖尔圆中恰有一个特征值，从而 的 个特征值互异，故 与对角矩阵相似。 （2）由于 关于实轴对称，故 的特征值全为实数。否则，如果 有复特征值，由于 是实矩阵，那么特征值必共轭成对出现，它们同属于某一个盖尔圆，这与一个盖尔圆中恰有一个特征值矛盾。 5  设 是非奇异矩阵，证明：存在多项式 ，使得 。 提示：用Hamilton-Cayley定理。 证明：由Hamilton-Cayley定理，设 是 的特征多项式，则 。因为 是非奇异矩阵，则 存在。设 ，则存在多项式 = ，使得 。 6  设 ，证明 与 有相同的非零特征值。 一：证明 （设 ）见修订版ch0定理2.9 方法二：直接用特征值的定义证明。 ，要说明 证明  （1） 这说明 与 有相同的非零特征值。 （2）设矩阵AB的非零特征值和对应的非零特征向量为 和 ，则 ， ，显然 ， 否则若 ，由 知 ，与 矛盾。 故命题得证。 7  证明Sylvester不等式 提示：见修订版ch0定理3.12。注：还可用其他方法。 证 设 ，由相抵标准形定理知有可逆矩阵 使 因此 这就证明了 。又 移项得 ，即 。 8  设 ， （1）证明： （2）证明： 的最小多项式是 （3）讨论 何时可对角化。 提示： （1）满秩分解，（2）可对角化 最小多项式没有重根 证明：（1） ,由满秩分解定理，存在列满秩矩阵 和行满秩矩阵 ，满足 其中 。 （2）易知 ,而 。因此，令 ，则 ，说明 是 的一个化零多项式。同时它也是 的最小多项式。这是因为，次数比 更低的多项式 必为 （ 是常数），但 。（因为若此时 则 , 与已知矛盾。） （3）由定理5.4  阶矩阵 相似于对角矩阵的充分必要条件是 的最小多项式 没有重零点。即要求 无重根。 亦即 ，此时A可对角化。 9  设初等矩阵 ， 求 的Jordan标准形。 ：当 时， 当 时， 注（1） （2）Householder矩阵 的行列式为 (3) 可逆 ， ， 10 证明 分解的“唯一性”。 （1）设 ，则 的QR分解 几乎是唯一的。即如果 有两个QR分解式 和 ，则 ，其中 。也就是，分解因子除相差一个对角元为 的对角矩阵外是唯一的。 （2）设 为非奇异矩阵，当限制 的 分解式中 的对角元为正数时，则分解是唯一的。 证明：（1）设 ，由此得 式中 仍为具有正对角元的上三角矩阵。由于 即D为正交矩阵，因此 .也就是，分解因子除相差一个对角元为 的对角矩阵外是唯一的。 （2）设 为非奇异矩阵，当限制 的 分解式中 的对角元为正数时, 由（1）知D为正交矩阵，故 ，因此D为单位矩阵（正规上三角为对角阵） 故 ，分解是唯一的。 11 设 是可逆矩阵，如果矩阵 满足 ，则 是可逆矩阵。 证明：选取向量范数 ，使得 与 和 相容。若 ,则 有非零解 ，即 , .。 又 是可逆矩阵， ， 矛盾。即有 则 是可逆矩阵。 12 设 是 阶实对称正定矩阵，证明 提示：方法一： 再递推 方法二： 用Cholesky分解 再递推 13 设 为 阶的Hermite矩阵，其特征值 ，证明对任意非零向量 有 提示：如果 是实对称正定矩阵，这是线性代数常见题。证法是一样的。 证明：由定理3.4 ，对Hermite矩阵 ，其特征值 均为正实数，则 且满足 ， 又 ，则 。 14 ，证明： 提示：由2－范数的定义证明。见修订版ch4最后 证明  设 ， 为 的行，则 所以 特别地取 等。得 从而 15 设 是非奇异矩阵， 是方程组 的一个近似解， 是其精确解，记残向量 ，则 这里所用的矩阵范数与向量范数是相容的。 提示：见修订版ch4最后。 证明 由 得 ，两边取范数得 ， 两边同乘 并注意 得 因此 16 证明Schur不等式：设 是矩阵 的 个特征值，则 其中等号成立的充分必要条件是 正规矩阵。 提示：书上的定理。 证明：  由Schur定理，对于任意的 存在 阶酉矩阵 使得 其中 为对角元为 的特征值 的上三角矩阵。 对上式两端取共轭转置并两式相乘得： 即 与 酉相似。从而 。 因为 的对角元为 的特征值，所以 Schur不等式取等号当且仅当 即 时， ，此时 为对角矩阵，根据第二章定理知 为正规矩阵。 17 设 的SVD为 验证 证明：只需验证 满足下面四个方程。 18 设 的SVD由上题给出， 的列向量记为 ， 的列向量记为 ，则 （1） （2） 证明：设 容易验证 （1） （2） , 而 故 19 设 ，证明 ，从而再证明 是 的通解。 提示：由 的SVD达式证明 证明：( 1 )  设 ,则 （广义逆的定义P1）， 故 ，亦即 成立。 （2） ， 又由（1）知 故 是 的通解。 20 证明 是极小化问题 唯一的最小F范数解。 提示 记 ，则 21 设 均为 阶实对称矩阵，且 是正定的，试证明，存在非奇异矩阵 使 且 其中 为 相对于 的广义特征值（即 ） 提示：这是众所周知的同时（）对角化问题，一般参考书都有，网上应该能找到。 22 证明任何 阶实方阵必有下面极因子分解 其中 是正交矩阵， 都是半正定矩阵 提示：用SVD证。 23 对于向量 ，如果 ，令Householder变换 为 （ ） 则 。 提示：直接验证。 证 其中 下面证明 即证 设 ， 因为 ，故 。 从而 则 。 24 证明准对角矩阵 （ 为方阵）的最小多项式等于其诸对角块的最小多项式的最小公倍式。 提示：见修订版ch3定理5.2 证明：不妨只证 的情况。设 是 与 的最小公倍式（也是首1多项式），则 ，说明 是 的化零多项式。另外，如果 ，则 ，从而 ，必有 ，说明 是 与 的公倍式，因此 。这就证明了 是 的最小多项式。 25 证明 证明：由 ，并利用绝对收敛的级数可以逐项求导，得 和