课题:两条直线的位置关系平行与垂直

课题:两条直线的位置关系平行与垂直 课题:《两条直线的位置关系——平行与垂直》 昌平二中 郑莉 教学目标: 1、知识与技能:使学生掌握两条直线平行、垂直的充要条件～能够根据直线方 程判断两条直线位置关系。 2、过程与方法:通过对两直线平行与垂直的探究～使学生体会由特殊到一般以 及类比研究的研究方法～掌握“数形结合思想”和“分类讨论思 想”在充要条件推导过程中的应用。 3、情感态度与价值观:引导学生关注学习过程～培养学生周密分析～严格论证 的能力、创新能力和勇于探索的科学精神。 教学重点:掌握两条直线平行和垂直的充要条件 教学难点:对“两条直线垂直的充要条件”的分析与证明 教学方法:启发探究式教学 教学用具:CAI课件、多媒体计算机、实物展台 教学过程: 一、复习提问: 教师:前面我们学习了直线～请同学们思考:在平面直角坐标系中～描述直线倾 斜程度的量有哪些, 学生1:描述直线倾斜程度的量有:倾斜角、斜率、方向向量。 教师:平面上两条直线的位置关系有哪几种, 学生2:三种:平行、垂直、重合。 ,设计意图:通过总结描述直线倾斜的量～指明学生在分析两条直线的位置关 系时的研究直线方程的研究。培养学生的分析问题的能力～ 教会学生研究方法。, 二、探索研究 教师:请同学们判断直线的位置关系～并说明理lxylxy:20,:2210,，,,，,12 由。 学生1:由直线方程可得: 0kk,,,,,1,145,,1212 1又2,//,,？ll122 所以两条直线平行。 教师:很好。请同学继续思考～你能再列举几条与平行的直线的方程吗,并说l1 明你是如何得出的。 学生2:因为所有与平行的直线的方程可写为y=x+b ,b?2,形式～所以与平ll11 行的直线还可以有:y=x+5～y=x-3～y=x+10等。 教师:回答的很好。通过以上分析～我们发现两条直线是否平行～与什么量密切 相关,是什么关系, kk,,12学生:与直线的斜率和在y轴上的截距密切相关～关系为 ll?,,12bb,12,,设计意图:通过观察直线的方程和直线的位置关系～发现规律～引导学生大 胆做出猜想。培养学生观察、分析能力。, 教师:这个结论对于平面内任意两条直线都成立吗,请同学们讨论分析～并证明。 (学生小组讨论、分析～教师巡视、指导) 教师:好～哪个小组派一名代表来给大家介绍一下你们的分析过程和分析结果, 学生3:,1,若两直线都存在斜率～ 不妨设直线 lykxblykxb:,:,，,，111222 kk,,12则: ,,ll?,,,,1212bb,12, ,2,若两条直线都不存在斜率～ 图2不妨设 lxxlxxxx:,:,,,,且112212 则 llxx//,,1212 通过以上分析～我们得到: ,1,两直线若都存在斜率～则它们平行的充要条件是: kk,,12 ll?,,12bb,12, ,2,、若两条直线都不存在斜率,不妨设: lxxlxx:,:,,1122 则 llxx//,,1212 教师:分析的非常好～过程清晰明了～思维严谨～讨论了斜率存在和不存在两种 情况下～两条直线平行的充要条件。同学们都是用这种方法来推导的吗, 学生4:在斜率存在时～我是用向量的方法来推导两个斜率相等的: 直线l方向向量a=(1，k),11 直线l方向向量b=(1,k)22 k=k,21 即? ab,,bb,12, k=k,21l//l ,,12bb,12, 教师:好～向量是我们研究平行与垂直问题的一个好的工具～刚才同学的这个证 明过程就应用的很好。 ,设计意图:培养学生探究质疑能力。通过分组讨论～培养学生的研究热情和 合作探究的意识。通过对斜率的存在与否的分析～培养学生的严 谨的思考问题的习惯。通过讲解探究过程～培养学生语言表达能 力。, 好～刚才我们推导出两条直线平行的充要条件: 教师: ,1,两直线若都存在斜率～则它们平行的充要条件是: kk,,12 ll?,,12bb,12, ,2,、若两条直线都不存在斜率,不妨设: lxxlxx:,:,,1122 则 llxx//,,1212 下面我们来回顾一下探究两条直线平行充要条件的过程～首先由两条具体 直线的方程～观察、总结出直线平行与直线斜率、截距的关系。进而～提 kk,,12出问题:“是否对于平面上任意两条直线都成立,” 将特ll?,,12bb,12, 殊推广到了一般。从斜率存在和不存在两种情况分析问题～并证明。最终 得出平面上两条直线平行的充要条件。在研究的过程中～用到了哪些数学 思想方法, 学生5:数形结合、分类讨论的数学思想。 教师:下面请同学们类比研究两条直线平行的充要条件的过程及方法～小组探究 平面内两条直线垂直的充要条件。 ,学生小组讨论研究～教师巡视、指导, 教师:好～哪个小组派一名代表来给大家介绍一下你们的探究过程和结果, 学生6:,1,若两条直线都存在斜率,不妨设: lykxblykxb:,:,，,，111222 直线l的方向向量a=(1，k),11 直线l的方向向量b=(1,k)22 ab,?kk=-112 ？,l?lkk=-1 1212 0,2,若直线l斜率不存在～即α=90～ 11 0 若则,,0～则l斜率为零～且以上分析可逆 ll?2122 综上得两条直线垂直的充要条件为: ,1,若直线有斜率: llkk,,,,,1 1212 ,2,若一条直线斜率不存在～则ll,的充要条件为另一条直线斜率为0 。 12 学生7:我没有用向量的方法～而是用倾斜角之间的关系推导出两条直线垂直时～ 斜率的关系的: ,,,,,,,,,？,,,,，tantan()tan22 1,，,？,,,tancot,,,,112tan,1 1？,,,,,tan,tantan1即221,,,tan1, 即kk,,,112 教师:好～两种方法都很好～但相比之下～在斜率都存在时～用向量的方法来推 导两条直线垂直的充要条件～显得更简捷～运算量更小些。最终～我们探 究出两条直线垂直的充要条件: ,1,若直线有斜率: llkk,,,,,11212 ,2,若一条直线斜率不存在～则的充要条件为另一条直线斜率为0。 ll,12 ,设计意图:让学生体会类比的研究方法～培养学生团结协作意识。, 三、归纳小结～巩固提高 教师:这节课我们研究了两条直线的位置关系——平行与垂直～同学们有什么样 的收获, 学生8:探究出了两条直线平行、重合的充要条件。 教师:在应用充要条件时我们应该注意什么, 学生:应该注意讨论直线斜率是否存在 教师:在探究过程中～我们用到了哪些数学思想和研究方法, 学生9:运用了由特殊到一般和类比的研究方法～数形结合、分类讨论的数学思 想。 ,设计意图:小结归纳～培养学生反思的习惯～总结学习方法。, 教师:回答的很好～下节课我们再来练习充要条件的应用。 今天的作业是: 1,P54 :2、5、3、7 2,思考题:若两直线方程为: ～,A、A、B、B、C、C均lAxByClAxByC:0,:0，，,，，,12121211112222 不为零, 则它们平行和垂直的充要条件分别是什么, 教师:好～下课。 ,设计意图:通过练习巩固所学知识。思考题为第二节课研究直线的位置关系 与一般式系数之间的关系作铺垫。, 教学设计: 高二学生开始学习解析几何～在本节课之前～学习了直线的倾斜角、斜率以及直线的方程～本节课是进一步研究两条直线的位置关系。对两条直线的位置关系——平行、垂直这一节～我安排了两课时～本节课是第一课时。考虑到学生刚刚接触解析几何～再结合本班学生的水平～他们对于如何来研究解析几何问题还不是很清楚。如果直接提出问提——研究两条直线的位置关系～就放手让他们去研究～学生会感觉无从下手～所以这节课的重点除了让学生掌握平行与垂直的充要条件～更要让学生更多的关注学习过程～学习研究问题的方法。在引导学生一起研究平行的充要条件之后～让学生类比研究平行的过程和方法～自己探究垂直的充要条件。本节课也准备了几道例题～在教学中应灵活处理～若学生探究充要条件过程比较顺利～有剩余时间～就可以练习应用,若时间比较紧张～则可以留到第二节课再处理。第二节课主要是练习充要条件的应用。 本节课整体分为问题情境、探索研究、知识应用、归纳小结、作业五部分～以问题导学。探究过程中采取猜想证明、由特殊到一般、类比的方法来研究问题～并渗透数形结合、分类讨论的数学思想。具体设计如下: 一、复习提问 提出问题让学生回答～为新课做好铺垫 二、探索研究 1、平行充要条件的探究 引导学生对平行的充要条件进行探究～最终让学生体会并掌握研究问题的方法:一种是利用倾斜角的关系～分析出平行直线斜率的关系～另一种是用向量的方法分析平行直线的斜率的关系。此外要让学生意识到探究中要分为直线的斜率存在和不存在两种情况去分析。培养学生的分类讨论思想。 2、垂直充要条件的探究 让学生类比探究平行的充要条件的方法～以小组为单位进行探究～并进行交流。目的是培养学生分析问题能力～让学生学会类比的研究方法。 三、归纳小结 培养学生的反思习惯～引导学生关注研究问题的方法和过程～及时进行总结归纳。 四、作业 1) 题主要是对知识的巩固～ 题是为下节课讨论两直线方程为一般式时～平行和垂直的充要条件作准备。 课件设计: 本节课的课件主要是用PowerPoint和几何画板两个软件制作的: 幻灯片1:显示1:请同学们判断直线的位置关系～lxylxy:20,:2210,，,,，,12 并说明理由。 显示2:图片: 幻灯片2:几何画板作出学生所说的与平行的直线的方程所对应的图形 l1 幻灯片3:作业: 1,P54 :2、5、3、7 2,思考题:若两直线方程为: ～,A、A、B、B、C、C均lAxByClAxByC:0,:0，，,，，,12121211112222 不为零, 则它们平行和垂直的充要条件分别是什么, 教学反思: 本节课我主要是以问题引导教学活动的开展～引导学生主动的去发现并探究。通过实践证明问题的设置比较合理～符合学生的思维发展顺序～能够引导学生层层深入的探究问题。在探究过程中采取以小组为单位讨论研究～开展合作学习～并选派代表陈述探究过程及及结果～以及方法的补充～使每一个同学都参入到了课堂中来～拓宽了思路～开阔了视野～效果很好。但探究两条直线平行的充要条件的过程节奏稍慢～致使探究垂直充要条件和归纳小结稍显仓促。所以考虑应将前面的问题稍作调整～并稍微加快些节奏～时间的分配可能就会合适了。 点评:(高丽娟) “两条直线的位置关系——平行与垂直”是一节启发探究式的课～郑莉老创造了一个有利于学生学习的情景～使学生始终在参与学习活动。 一、创设情境～引入问题 首先～联系学生已有知识～对两直线的位置关系学生曾经从图形的角度研究过。教师提出问题能否用代数的方法研究～激起学生的学习兴趣。 二、以学生的探究思维活动为主线设计教学过程 教师首先给出了学生熟悉的两条直线～通过图形猜想位置关系～然后证明～这样学生很容易猜想“斜率相等的两直线平行”。教师设计了让学生找与已知直线平行的直线～从而学生发现截距与平行的关系。而这一结论是对特殊的两直线而言的～对一般的是否有同样的结论呢,学生分小组进行研究。教师的活动是启发学生的思维～用多种方法论证～概括方法和规律～进行学法指导。第二阶段体现了数学中的类比～学生完全自己探究了两直线的垂直的充要条件。体现了学生学习过程的发现、探索、研究的思维过程～使学生在学会知识的过程中学会学习。 三、体现了数学学科特色。 本节课在数学思维活动的体现、数学思想方法、学法指导是突出体现了数学 学科特色。在能力培养上有很好的效果。 在教学过程中～渗透解析几何的思想～注重数形结合、分类讨论、类比的思想方法。并渗透了观察、猜想、验证、证明的推理方法。学生能够初步使用这一推理方法探究两直线垂直的充要条件。 四、信息技术手段的使用是恰当有效的。 教师利用几何画板的对学生找到的直线马上画出来～并归纳结论。给学生以直观的印象～提高了效率。 总之～这节课体现了新课程理念～设学生在获得知识的同时～锻炼了思维～提高了学习能力。