左手介质涂层平板镜像波导的快波与慢波模式

左手介质涂层平板镜像波导的快波与慢波模式 Vo l. 26 No. 4 海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版 第 26 卷 第 4 期 2008 年 12 月D ec12008 NA TURAL SC IENC E JO URNAL O F HA INA N UN IVERS ITY ( ) 文章编号 : 1004 - 1729 2008 04 - 0326 - 06 左手介质涂层平板镜像波导的快波与慢波模式 王筠 ()湖北第二师范学院 物理与电子工程系 , 湖北 武汉 430205 摘 要 : 对左手介质涂层平板镜像波导的快波与慢波模式特性进行了分析与推导 ,得到了 TE模和 TM 模的 特征方程 ,并对该方程式进行了数值计算 ,描绘出它们的色散特性曲线 ,并与常规介质平板镜像波导的模式 进行了比较 ,得出左手介质平板镜像波导模式的一些反常特性 . 关键词 : 左手介质涂层平板镜像波导 ; 麦克斯韦方程组 ; TE模 ; TM 模 ; 快波 ; 慢波 ; 模式特征方程 中图分类号 : TN 252 文献标识码 : A εμ介电常数 和磁导率 是决定电磁波在介质中传播性质的 2 个重要参数. 1964 年前苏联物理学家 εμV e se lago首次从理论上预言 :当介质的介电常数 和磁导率 同时小于零时 , M axw e ll方程依然成立 , 但波 矢 K与坡印亭矢量反向 , 物质将表现出不寻常的电磁特性 , 如反多普勒效应 , 反斯涅尔定律以及反契仑可 夫辐射等 . 由于这种介质的 E、H 、K三矢量之间满足左手螺旋法则 ,故称其为左手介质 . 1996 年 Pend ry指 ( ) 出 ,在一定条件下均匀排列的金属丝可表现出负的介电常数. 1999 年 Pend ry又提出裂环谐振子结构 SRR ε 在一定条件下有效磁导率在一定频率范围内可以是负值. 2001年有人沿用 Pend ry的方法构造出介电常数 μ和磁导率 同时为负的人工介质. 近年来 ,人们从实验中已经证明在左手介质与普通介质的交界面附近会出 现 TE和 TM表面波. 本文对左手介质涂层平板镜像波导模式色散特性进行了分析与推导 ,对模式特征方程进 行了数值计算 ,并与常规介质平板镜像波导进行了比较 ,得到只在左手介质涂层中才有的 TM表面波 ,并对该 表面波的色散特性进行了数值分析 ,得出左手介质平板镜像波导模式的一些反常特性. 模式特征方程1 平板镜像波导的结构如图 1所示 , 共有 3 层均匀介质 , 被分成 3个区域 , 依次是 : x < 0为区域 3, 是金 εμ属平板衬底层 ; 0 < x < t为区域 2, 是介质芯层 , 又称为波导层 , 其相对介电常数是 , 相对磁导率是 ; r2 r2 εμ x > t为区域 1, 是覆盖层 , 其相对介电常数是 , 相对磁导率是 . 设覆盖层为空气 , 它的相对介电常数r1 r1 εεμμεμ= 1, 相对磁导率 = 1, 它的折射率为 n= . 波导层是相对介电常数 和相对磁导率 同 r1r1 1 r1r1 r2 r2 με时为负的左手介质 , 即 < 0,< 0, 其折 射率 为 n= - r2 r2 2 εμ. 假设 | n| > n, 设覆盖层和金属平板衬底层分别延 r2r2 2 1 伸至无穷远 , 波导层的宽度远大于厚度 t, 则可以将在波导层中 沿 z轴方向传播的电磁波看作只在 x方向受到限制 , 电磁波沿 y 9 [ 1 ] ω方向没有变化 , 即 = 0. 对于频率为 , 沿 z方向传播的电 9y ωββ() 磁波 , 所有场量都有因子 exp [ - jt - z],是沿 z方向的相 位常数. [ 2 ] 根据时谐电磁场的麦克斯韦方程 ωμA = - j H , E× )( 1 ωε A = j E , ×H 收稿日期 : 2008 - 04 - 08 ( ) 作者简介 : 王筠 1966 - ,女 ,湖北武汉人 ,湖北第二师范学院物理与电子工程系高级讲师 . ( ) ( ) 对横电波 TE波 , 设电场沿 y方向极化 , 将 E = eE代入 1 式中 , 可得到磁场的 x和 z分量为 y y 9Eβ 1 y ( )H= - E , H = -,2 x yz ωμ ωμ j 9x 由于导行波在区域 2中传播 , 则区域 1中的场必须是沿 x方向衰减的凋落波 . 于是 TE模场的解的形式可以 [ 2 ] 写为 ( α)( ) ( )= A exp - x x ? t,3 E1 y ( ( ) )( ) E= B exp jkx + B exp - jkx 0 ? x ? t,( ) 4 2 y1 x 2 x 且 2 2 2 2 2 2 2 β ωμε( )= k- , k= 5 = kn, k 2 2r2r2x0 2 22 22 2 22α βωμ ε ( )= - k, k= = k n ,6 1 1 r1 r1 0 1 ( ) ( ) α式 3 和式 4 中的 A , B , B 是积分常数 , k是区域 2中沿 x方向的相位常数 ,是区域 1中沿 x方向的衰 1 2 x 减常数.[ 3 ] () 1. 1 快波模式当 k为实数时 , 在区域 2 波导层 中传播的是快波模式 . 应用边界条件 , 消去积分常 x 数后可得 μ r1( )α7 t = - ktco tkt,x x μ r2 ( ) ( ) ( ) 结合式 5 和式 6 , 式 7 又可写成 2 2 μβ- n 2 2 2r1 β π( )+ m, 8 ktn- = - a rc tan 0 n 22 μ r2β - n1 ββ 其中 = , 称为归一化传播常数 .k 0[ 4 ] ( ) ( ) 式 7 和式 8 就是 TE波模的特征方程 . ( ) 同理对横磁波 TM 波 , 设磁场沿 y轴方向极化 , 即 H = eH, 由麦克斯韦方程可推得 y y 9Hβ 1 y ( )E= - 9 H , E =, x yz ωε ωε j 9x [ 4 ]同样利用边界条件消去积分常数后可得 TM 波模的特征方程为 ε r1( )α10 t = - kttankt,x x ε r2 又可以写为 2 2 βε - n 2 2 1r2 β π( )- = - a rc tan + m. 11 ktn 0 22 2 ε r1βn- 2 [ 3 ] γ() 1. 2 慢波模式k为虚数时 , 令当 k= i , 在区域 2中传播的则是慢波模式 , 即波导层 芯层区 中 x x 的电磁波是衰减的表面波 . 对 TM 波 , 同样设 H = eH, 令 y y ( α)H= A exp - t 1 y ( ) 12 ( γ(γ) ) = B exp - x + B exp x H1 2 2 y [ 4 ]利用边界条件消去积分常数后可得 TM 波模的特征方程为 ε 1(γ) ( )γαt co th t, 13 t = - ε2 或 2 2 βε2 2 - n 21 β( ) 14 - n= a r co thkt . 2 0 - 22 ε 1β n- 2 通过下面的数值计算可以得出此时在芯层区中的表面波只有TM 模式惟一存在 . 海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版2008年328 αβ特性由特征参数 , k,决定 . 一般 , 覆盖层和波导层的介质折射率 n, n和介质层厚度 t是已知的 , 于是联 x 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) α( ) ( ) β立式 5 、式 6 、式 8 和式 11 , 可以求得 , k,, 但是式 8 和式 11 是超越方程 . 为了得到模式色 x ( ) ( ) 散关系曲线 , 可以借助于 MA TLAB 软件对式 8 、式 11 进行数值求解 . 为便于比较 , 对左手介质波导层 μμ(β β取 n= - 2. 5,= - 1; 对常规介质波导层取 n= 2. 5,= 1. 以 kt为横轴 , 归一化传播常数 = 2 r2 2 r2 0 β) ( ) ( ) / k为纵轴 , 绘出左手介质平板镜像波导中 TE模和模 TM的色散关系曲线 ,如图 2 a所示. 图 2 b0 m m ( ) 是常规介质平板镜像波导中 TE模和模 TM的色散关系曲线. 在图 2 a中有 a, b, c, d, e 5 处异常变化m m () ( ) 如图 2 a中的虚线处所示 ,为了更清楚地了解这 5处的异常变化 ,将它们在图 3中分别单独绘出 ,如图( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 a, b, c, d, e所示 . ()(图中粗曲线表示 TM 模 ,细曲线表示 TE模 , 图中粗曲线表示 TM 模 ,细曲线表示 TE模 ) 虚线部分表示出现的异常变化 ( ) ( ) 观察图 2 a, b可知 ,在常规介质波导层中基模 TM模存在 ,而左手介质波导层中基模 TM模不存 0 0 ( ) ( ) 在 . 比较图 2 a, b还可以发现一个有趣的现象 :左手介质波导层中 TM模与常规介质波导层中的基模 1 TM模相对应 ,依次左手介质波导层中的 TM模与常规介质波导层中的 TM模相对应 . 从图 2中得到在常 0 2 1 规介质波导层中 TE模和 TM模色散关系曲线无异常变化 ,但是在左手介质波导层中的 TE模和 TM模的色 散关系却出现了异常变动 :当 kt在接近截止点附近时 ,低阶模 TM, TE, TM, TM, TM的归一化传播常 0 1 1 2 3 4 2 β( ( ) (β) 数 与 k t的关系曲线呈 “ ”形 , 即同一频率电磁波 k t相同 在波导层中可以以不同的传播常数 但 0 0 具有相同模式类型的 2种波传播 , 而且这些异常变动情况各低阶模分别在不同的 kt取值极小范围内分段 0 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t < 1. 2范围内< k存在 如图 3 a, b, c, d, e所示 ,例如 TM模的这种异常情况只在 0. 9154 0 1 存在 , 而 TE模在 2. 009 < kt < 2. 03范围内 .1 0 2. 2 慢波模式( ) TM 波模存在 , TE模 对式 14 进行数值计算得到 :在左手介质波导层中的表面波只有 无解 ,而对于常规介质的波导层中根本不存在表面波 ,所以 TM 表面波只在左手介质波导层中才出现 . 对 ( ) 式 14 数值计算得到 TM表面波的色散关系曲线如图 4所示 . 图 4中可看到了 TM表面波的色散关系随波 导层介质的折射率 n的变化情况 , 还可看到随着折射率 n的绝对值的增大 , TM波模存在的频率区间变得 2 2 越狭窄. 3 TE模和 TM 模的场分布 以 kx为横轴 , E/ H为纵轴 , 利用 MA TLAB 软件还可以描绘出在直角坐标系下的快波和慢波各模式 0 y y () 的 电 /磁场分布图 见图 5、图 6和图 7 . 图 5为左手介质波导层中的快波模的场分布 . 为了便于比较 ,同时 画出了常规介质波导层中快波 TE模和 TM模的场分布图 ,如图 6所示. 图 7所示为慢波 —TM 表面波的 m m 场分布. 比较图 5与图 6可以发现 ,左手介质波导层中 TE模的场分布与常规介质波导层中 TE模的场分布恰 (( ) ( ) 好相反 ,如左手介质波导层中 TE1模的场分布与常规介质波导层中 TE模的场分布 如图 5 a与图 6 a1 ) (所示 ;左手介质波导层中 TM模的场分布与常规介质波导层中 TM模的场分布是相互对应并反相 如 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 图 5 c的 TM模与图 6 c的 TM模 , 图 5 d的 TM模与图 6 d的 TM模 . 与常规介质波导层中的 1 0 2 1 () TE模和 TM 模的场分布相似 ,电场 或磁场 在左手介质波导层中沿横向是振荡分布的 ,在覆盖层中沿横 向是衰减的 ,由于横向方向波导结构不对称 ,所以振荡分布是不对称的 . 图 7 中的场分布曲线进一步证明 了 TM 慢波是表面波 ,在距左手介质边缘越远 ,场衰减越厉害 . 海 南 大 学 学 报 自 然 科 学 版2008年330 4 结论 本文推导得到了左手介质涂层平板镜像波导中的低阶 TE模和 TM 模的色散特征方程 ,通过数值计算 得到了色散关系曲线 , 并与常规介质平板镜像波 导中相应的低阶 TE 模和 TM 模的色散特性进行 了比较 ,从而得出左手介质平板镜像波导中 ,在给 定参数的前提下 ,当 kt取接近截止点的极窄范围 0 内 ,低阶模 TM, TE, TM, TM, TM 4 的归一化传 1 1 2 3 β播常数 与 kt的关系是非单调的 ;在左手介质波 0 导层中有 TM 慢波模式即表面波存在 , 并且只有 惟一模式 —TM 模表面波存在 ; 得到了关于各模 式的场分布 ,快波 TE模在左手介质涂层平板镜像 波导中的电磁场分布与常规介质平板镜像波导中 的相应模式的场分布是相反的 ,基模 TM在左手 0 图 7 左手介质波导层中 TM 表面波的场分布 介质平板镜像波导中不存在 . 以上结果对于左手 介质波导元器件的研究有一定实际参考价值 . 参考文献 : [ 1 ] YAR IV A. 现代通信光电子学 [M ]. 陈鹤鸣 ,施伟华 ,张力译 ,译 . 北京 :电子工业出版社 , 2004: 372 - 374. 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Som e abno rm a l p rop e rtie s of gu ided mode s in left2handed m a te ria l slab m irro r w avegu ide s a re d iscu ssed. Key word s: L eft2handed m a te ria l slab m irro r w avegu ide s; M axw e ll equa tion; TE mode; TM mode; mode cha rac te ristic s equa tion